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文档简介

1、第7章 无穷级数7.1 常数项级数一. 无穷级数的概念二. 级数收敛的必要条件三. 无穷级数的基本性质 第1页，共30页。7.1.1无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列 un: u1 , u2 , , un , 为一个无穷级数, 简称为级数.称 un 为级数的一般项或通项.则称表达式第2页，共30页。第3页，共30页。下列各式均为常数项级数例1第4页，共30页。2. 级数的敛散性定义无穷级数的前 n 项之和：称为级数的部分和.若存在, 则称级数收敛.S 称为级数的和：第5页，共30页。若不存在 ( 包括为 ) ,发散.则称级数当级数收敛于S时，称为级数的余项，且有第6页，共30页。讨论等比

2、级数的敛散性.等比级数的部分和为：当公比 | r | 1 时,当公比 r =1时,Sn=a, n为奇数0, n为偶数当公比 | r | 1 时, 等比级数收敛；当公比 r = 1时,当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.综上所述,第8页，共30页。讨论级数的敛散性.解例3第9页，共30页。而故即该级数收敛, 其和为例7.1.3讨论级数的敛散性.解第10页，共30页。所以，级数发散。第11页，共30页。7.1.2 常数项级数的性质 有相同的敛散性, 若 c 0 为常数, 则与1. 性质 1且有第12页，共30页。证的部分和为的部分和为故同时收敛或同时发散,即与且有第13页，共30页。2.

3、性质 2第14页，共30页。证的部分和为：故即 级数收敛, 且第15页，共30页。 因为等比级数所以级数例7第16页，共30页。问 题 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的第17页，共30页。问 题 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定第18页，共30页。 但对收敛级数来说, 它的和将改变.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后, 所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.3. 性质 3第19页，共30页。证设级数的部分和为 Sn , 去掉级数的前面 m 项后得到的级数的部分和为第20页，共30页。由于 Sm 当 m 固定时为一常数,所以故 级数与级数第21页，共30页

4、。级数仍然收敛, 且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新 在级数运算中, 不能随意加上或去掉括 号, 因为这样做可能改变级数的敛散性.4. 性质 4第22页，共30页。问 题 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定第23页，共30页。问 题 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定第24页，共30页。问 题 如果加括号后的级数仍发散, 原级数是否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛,去括号可引起发散.第25页，共30页。 级数收敛的必要条件若级数收敛, 则必有定理证设第26页，共30页。由于故该级数发散.解例4第27页，共30页。证明调和级数是发散的:调和级数的部分和有：证 例7.1.4第28页，共

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