2021-2022学年安徽省淮南高一英创班下学期第三次段考（线上测试）数学试题【含答案】

1、2021-2022学年安徽省淮南高一英创班下学期第三次段考（线上测试）数学试题一、单选题1复数，则复数的虚部是（）ABCDA【分析】利用特殊角的三角函数值以及复数的概念求解.【详解】解：因为复数，所以复数的虚部是，故选：A2已知，则向量，的夹角为（）ABCDB【分析】设与的夹角为，根据平面向量数量积的定义求出，即可得解；【详解】解：设与的夹角为，因为，且，所以，即，解得，又，所以故选：B3下列说法中正确的个数为（）各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥ABCDD【分析】

2、根据正棱锥定义依次判断各个选项即可.【详解】对于，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，错误；对于，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，错误；对于，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，错误；对于，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，正确.故选：D.4半径为1的球的表面积为（）ABCDD【分析】利用球的表面积公式求解.【详解】解：，故选：D5已知是所在平面上一点，若，则是的（）A重心B外心C内心D垂心B【分析】由已知可得，由此可得出结论.【详解】因为，则，所以，是的外心.故

3、选：B.6如图，ABC是水平放置的ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（）AABC是钝角三角形BABC是等边三角形CABC是等腰直角三角形DABC是等腰三角形，但不是直角三角形C【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解.【详解】解：将其还原成原图，如图，设，则可得，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：C.7如图，长方体中，那么异面直线与所成角的正弦值是（）ABCDC【分析】作出异面直线与所成角，解三角形求得异面直线与所成角的正弦值.【详解】连接，根据长方体的性质可知，所以是异面直线与所成角，依题意，故可设，在三角形中，,所以.故选：C8设直线平面，过平面外一点与都成

4、30角的直线有且只有：A1条B2条C3条D4条B【分析】过与平面成30角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成30角），然后考虑这些母线中与直线成30角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得【详解】如图，以为轴，为顶点作一个圆锥，圆锥轴截面顶角大小为120，则圆锥的母线与平面所成角为30，因此过的所有与平面成30角的直线都是这个圆锥母线所在直线，过圆锥底面圆心作直线，交底面圆于两点，圆锥的母线中与直线夹角为30的直线是母线，也只有这两条直线，故选：B二、多选题9设，为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系

5、，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：若，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，则，故选项B正确；对C：若，则或与相交，故选项C正确；对D：若，则，故选项D正确.故选：BD.10如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（）AB平面C与平面所成角是D与所成的角等于与所成的角AB【分析】根据空间位置关系的判定即空间角的定义直接判断各选项.【详解】A选项，为正方形，又平面，又，平面，A选项正确；B选项，为正方形，又平面，且平面，平面，B选项正确；C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；故选：AB.1

6、1如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（）A直线与平面所成的角等于B点到面的距离为C两条异面直线和所成的角为D三棱柱的体积是AB采用逐一验证法，根据线面角、点面距、线线角的概念以及柱体体积公式进行计算和判断，可得结果.【详解】正方体的棱长为1，对于选项直线与平面所成的角为，故选项A正确.对于选项如图由平面，平面，所以又,，面所以面，所以点到面的距离为长度的一半，即，故选项B正确.对于选项如图由/，所以异面直线和所成的角为连接，所以为等边三角形则两条异面直线和所成的角为，故选项C错误.对于选项如图三棱柱的体积是，故选项D错误.故选：AB本题考查线面角、点面距、线线角的概念以及柱体体积

7、公式，牢记概念，属基础题.12如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上的动点.将分别沿折起，使两点重合于，连接.下列说法正确的是（）APDB若把沿着继续折起，与恰好重合C无论在哪里，不可能与平面平行D三棱锥的外接球表面积为ABD【分析】A选项，线面垂直得到线线垂直；B选项，利用边长相等，得到与恰好重合；C选项，找到M点使得平面，D选项，求出外接球半径，进而得到三棱锥的外接球表面积.【详解】连接BD，与EF相交于G，连接PG，因为正方形中，点是的中点，点是的中点，所以BE=BF，ADECDF，故DE=DF，所以BD是EF的垂直平分线，所以G是EF的中点，因为PE=PF，所以PG

8、EF，因为，所以EF平面PBG，因为平面PBG，所以，A正确；因为，故把沿着继续折起，与恰好重合；B正确；连接AC交BD于点O，则BO=DO，因为是的中点，点是的中点，所以AC，且，当位于靠近P的三等分点时，可得：PB，因为PB平面MEF，MG平面MEF，可得：平面，故C错误；由，由余弦定理得：，所以，设DEF的外接圆半径为，由正弦定理得：，如图，过点P作PHBD于点H，则PH平面DEF，又因为PE=PF=1，EF=，所以PEPF，且PG=，设HG=m，则HD=，由勾股定理得：，即，解得：，所以，所以，设球心为I，则IQ底面BFDE，过I作INPH于点N，连接ID，则，设，则，设外接球半径为r

9、，则ID=IP=r，即，解得：，所以，三棱锥的外接球表面积为，D选项正确.故选：ABD三棱锥外接球题目，要先找到球心在其中一个平面三角形的投影，然后利用正弦定理或其他知识求出这个三角形的外接圆半径，找到顶点在次三角形上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球半径，进而求出外接球的表面积或体积.三、填空题13是虚数单位，则的值为_.1【分析】根据复数的计算法则计算即可.【详解】.故1.14已知，则的取值范围是_.【分析】将向量进行线性运算后，按照向量的求模公式，结合辅助角公式求最值即可.【详解】因为，所以，故答案为.15圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为_【分析】先算出母线长，就可以算侧面

10、积的扇形面积【详解】如图，圆锥的母线，圆锥的展开侧面为扇形，故侧面积为故16如图，在三棱锥中，平面，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为_.【分析】根据三棱锥外接球的表面积为可得：外接球半径，设外接圆半径为，根据外接球和三棱锥的位置关系可得：，由，代入可得，由正弦定理即得：，再利用余弦定理结合基本不等式即可得解.【详解】如图所示：设三棱锥的外接球球心为，半径为，外接圆半径为，圆心为M，连接，AO，AM，则，解得，在，故：，故，又，当且仅当时取等号，三棱锥的体积.本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，

11、属于难题.四、解答题17若(mR)为纯虚数，求的值1.【分析】由题可得，进而即得.【详解】因为=是纯虚数，所以解得m=2于是当m=2时，=i4=1;当时，=1综上，=118已知不共线的向量满足.(1)是否存在实数，使与共线？若存在请求出，若不存在请说明理由；(2)若，求实数的值.(1)存在，；(2)或.【分析】（1）假设存在实数满足题意，根据平面向量的共线定理，即可求得参数值；（2）求得，以及，结合向量垂直则数量积为零，带值计算即可.【详解】(1)假设存在实数，使得与共线，则存在实数，满足.因为不共线，有，解得，存在实数，使与共线.(2)由已知，解得，由已知，得，则，即，解得或.19已知向量，

12、满足.(1)将表示为的函数，并求的最小正周期;(2)已知分别为的三个内角A，B，C的对应边，若，且，求的取值范围.(1)，(2)【分析】（1）由向量数量积的坐标表示可得函数，利用二倍角、降幂公式和辅助角化简，然后可得；（2）先由求出角A，然后利用正弦定理表示出，由三角函数的性质可解.【详解】(1)(2)，即由正弦定理可得，又即的取值范围为.20长方体的体积为，是的中点，是上的动点，求四面体的体积.【分析】因为是上的动点，且，可求出，再根据，即可求出四面体的体积.【详解】设长方体的长、宽、高分别为，则有.是的中点，所以，因为是上的动点，且，所以，所以.21如图，在四棱锥中，分别为线段，的中点，证

13、明：平面平面.证明见解析【分析】连接，交于，连接，由已知条件可证得为的中点，然后结合已知利用三角形中位线定理可证得，从而由面面平行的判定定理可证得结论【详解】证明：连接，交于，连接，因为为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，分别为线段，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面所以平面平面.22如图,四棱锥的底面为菱形且ABC=120,PA底面ABCD,AB=1,PA=,E为PC的中点.(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小；(2)求二面角E-AD-C平面角的正切值；(3)在线段PC上是否存在一点M,使PC平面MBD成立.如

14、果存在,求出MC的长；如果不存在,请说明理由（1）（2）2（3）【分析】（1）连接AC,BD交于O，连接EO，可证明DO是平面PAC的垂线，即可得到线面角为，解三角形即可求解（2）作交AD于F, 连接EF，可证明就是二面角E-AD-C的平面角，解三角形即可求解（3）过O作于M，可证明PC平面MBD成立，根据中位线确定M点位置，即可求出CM的长.【详解】（1）连接AC,BD,则由PA底面ABCD，得平面PAC底面ABCD于AC,又由底面ABCA为菱形可得BDAC于O，平面PAC.连接OE，则OE为DE在平面PAC上的射影，即为DE与平面PAC所成的角.E为PC中点可得,由菱形性质可得，在中，在中，.（2）因为，PA底面ABCD，所以底面ABCD，作交AD于