1.4向量的线性关系与向量的分解课件

1、第四节 向量的线性关系与向量的分解向量的加法和数与向量的乘法统称为向量的线性运算。1、线性组合：由向量 与数量 所组成的向量：称为向量 的线性组合，或称向量第1页，共24页。第2页，共24页。定理1、第3页，共24页。第4页，共24页。定理2、第5页，共24页。第6页，共24页。第7页，共24页。第8页，共24页。第9页，共24页。定理3、第10页，共24页。第11页，共24页。第12页，共24页。第13页，共24页。第14页，共24页。例1、已知三角形OAB，其中OA=a，OB=b，而M，N分别是三角形两边OA，OB上的点，且有OM=a,ON=b,(01,01)，设AN与BM相交于P，试把矢

2、量OP=P分解为a,b的线性组合。解：因为P=OM+MP或 P=ON+NP而 OM=aMP=mMB=m(OB-OM)=m(b-a)而 ON=b,NP = nNA= n(OA-ON)=n(a-b)所以P=a+m(b a)=(1m)amb （1）P=b+n(a b)= (1n)bna （2）因为a,b不共线，故根据定理2及（1）（2）可得abONPABPM第15页，共24页。由上方程组得所以得：即第16页，共24页。例2、证明四面体对边中点的连线交于一点且互相平分。证：设四面体ABCD一组对边AB，CD的中点为E、FEF的中点为P1，其余二组对边的中点分别为P2，P3。下证P1，P2，P3重合。如

3、图，取不共面的三矢量AB=e1,AC=e2,AD=e3则而代入得同理可得即P1，P2，P3重合。P1e1e2e3ABCDEF第17页，共24页。2、第18页，共24页。第19页，共24页。第20页，共24页。定理6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关。证：设两矢量a与b，若它们线性相关，则 a+b=0 (,不全为零） 设0，则a= (/)b 若b0,由定理1知a,b共线； 若b=0，显然a 与b共线。 反之，设a与b共线，如果b0，则由定理1知 a=xb 即 axb=0 故a与b线性相关； 如果b=0，则由定理5的推论知a与b线性相关. 定理得证。定理7 三矢量共面的充要条件是它们线性相关。第

4、21页，共24页。定理8 空间任意四个矢量必线性相关。推论 空间四个以上矢量必线性相关。例3、设OPi=ri(i=1,2,3)，试证P1，P2，P3三点共线的充要条件是存在不全为零的数1,2,3,使得1r1+2r2+3,r3=0且1+2+3=0证：设P1，P2，P3三点共线，则 P1P3，P2P3共线，从而 P1P3，P2P3线性相关。故存在不全为零的数m,n，使mP1P3+nP2P3=0即 m(r3-r1)+n(r3-r2)=0 由此得 mr1+nr2-(m+n)r3=0 OP2P1P3r2r3r1第22页，共24页。令1=m,2=n,3=(m+n)，则有不全为零，使1r1+2r2+3,r3=0且1+2+3=0反之，设有不全为零的数1,2,3，使1r1+2r2+3,r3=0且1+2+3=0根据条件不妨设3=（1+2）0，代入上式整理得 1(r3-r1)+2 (r3-r2)=0即 1P1P3+2P2P3=0但1+20，知1，2不全为零，所以P1P3，P2P3共线，即P1，P2，P3三点共线。第23页，共24页。例4、设a,b为两个不共线的矢量，证明矢量u=a1a+b1b,V=a2a+b2b共线的充要条件是证：因为u,v共线的充要条件为存在不全为零的数， 使 u+v =0 即(a1+a2)a+(b