专题02 非线性回归方程(原卷版)

1、专题2非线性回归方程例1某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数.（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程0=50.8x+169.7；模型：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y=aebx的附近.

2、（1）根据表中数据，求模型的回归方程0=aebx.（a精确到个位，b精确到0.01）.（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）.回归方程y=50.8x+169.70=aebx乙(yy.)2iii考公式、参考数据及说明：对于一组数据（v，w），（v，w），（v，w），其回归直线矗=&+0v的斜率和截距的最小二乘法1122nnii八估计分别为卩=,（0=w-卩莎.乙（V-V）2ii=1工（y.-y.）2ii刻画回归效果的相关指数R2=1g乙（yy）2ii=1参考数据：e

3、5.46235，ei.43=4.2.xyu昱(xx)2ii=1昱(xx)(yy)iii=1昱(xx)(uu)iii=15.54496.058341959.00表中uuii=叫:u=10刃i=1施游人数yA)例2近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至2018年底，中国铁路运营里程达13.2万千米，这个数字比1949年增长了5倍；高铁运营里程突破2.9万千米，占世界高铁运营里程的60%以上，居世界第一位.如表截取了2012-2016年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）.年份20122013201420152016年份代码12345高铁密度9.7511.4917.1420.6

4、622.92已知高铁密度y与年份代码x之间满足关系式y=axb（a，为大于0的常数）.若对y=axb两边取自然对数,得到lny=blnx+lna，可以发现lny与lnx线性相关.（1）根据所给数据，求y关于x的回归方程（lna,b保留到小数点后一位）；（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过30千米/万平方千米.参考公式：设具有线性相关系的两个变量x,y的一组数据为（x.,y）（i=1,2,n）,ii工(x-x)(y-y)ii则回归方程y=bx+a的系数：b=,a=y-bx.乙(x-x)2i参考数据：工lnxlny-5lnxlnyu0.92,工(lnx)2-5(lnx)2u1.6,

5、工iiii=1工lnyu14,2u7.4,ii=1i=1i=1i=1ln30u3.4.例3某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的质量指数在50,70）的为三等品，在70,90）的为二等品，在90,110的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.1）求每件产品的平均销售利润；-1v=v5ii=1（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用X和年销售量y（

6、i=12345）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.iiii=1fvii=1为(u-U)(v-v)iii=1工(u-u)2ii=116.3024.870.411.64表中u=lnxiiv=lny，uii5ii=1根据散点图判断，y=axb可以作为年销售量J（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程.（刖）建立y关于x的回归方程；（刖）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润-营销费用，取e4.159=64）参考公式：对于一组数据：（u,v）,（u,v）,（u,v），其回归直线v=a+pu的斜率和截距的最小1122nn厶（

7、u-u）（v-v）aii乘估计分别为p=1y，a=v-fAu乙（u-u）2ii=1例4近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日）为入住天数（单位：），以频率作为各自的入住率，收费标准X（1）若从以上六家农家乐中随机抽取两家深入调查，记E为“入住率超过0.6的农家乐的个数，求g的概x5010015020030040

8、0t906545302020与“入住率”y的散点图如图率分布列；（2）令z=lnx，由散点图判断y=bx+a与y=bz+a哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程.（b结果保留一位小数）i=1（3）若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额l最大？（年销售额L=365-入住率-收参考数据：入工nxy-nx-yb=_i乙nx2-nx2i=11费标准x）a=y-bx,x=200,y=0.45,工x2=325000,z沁5.1,工yz沁12.7,iiii=1i=1工z2沁158.1,e3沁148.4ii=1例5.已知某种细菌的适宜生长温度为ic25C

9、，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温其中k=lny,k=ii7i度x（单位：c）变化的规律，收集数据如下:温度x/C12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如下表所示：xk工(x-x)2ii=1工(k-k)ii=1工(x-x)(y-y)iii=1工(x-x)(k-k)iii=118663.81124.3142820.5（1）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y二bx+a与y=ce迎哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型（结果精确到0.1）；（2）当温度为25C时，该种细菌的繁殖数量的

10、预报值为多少？参考公式：对于一组数据C，v）C=l，2,3，.,n），其回归线v=0u+d的斜率和截距的最小二乘估计分别ii工(u-u)(v-v)iia=v-0u.参考数据：e5.5u245.为：0=十亍乙(u-u)2ii=1例6噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D（单位：分贝）与声音能量（单位：W/cm2）之间的关系，将测量得到的声音强度D1和声音能量I（i=1，2，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.i=101020304050声音能量xl（y门眈用IDW昱(II)2ii=1穷(WW)2iI=11.04x10-1145.711.51.

11、56x10-210.51昱(II)(DD)iii=1昱(WW)(DD)iii=16.88x10-115.1声音强度/分贝2nnV110表中W二lgI,W=芳W。ii10ii=1（1）根据散点图判断，D=a+bl与D=a+blgI哪一个适宜作为声音强度D关于声音能量的回归方1122程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度D关于声音能量的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P共受到两个声源的影响，这两14个声源的声音能量分别是11和I2，且1+=1010.己知点P的声音能量等于声音能量t与，2之和。请根12据（1）中的回归方程，判

12、断P点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由。附:对于一组数据（U,v）,（u,v）,.,（u,v）.其回归直线V=a+0u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122nn0=-i=1=v0u艺（u-u）2i例7.某芯片公司为制定下一年的研发投入计划需了解年研发资金投入量班单位:亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型y=a+px2，y=严+t，其中均为常数，e为自然对数的底数现该公司收集了近12年的年研发资金投入量/和年销售额y.的数据,=1,2,12，并对这些数据作了初步II处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值令=巒耳=ny.（i=1,2,12）

13、，经计算得如下数据:Xyi=l12工8-刃2i=1uV20667702004604.20T2i=112工（吗厂丁i=l12工（匕）2i=112工（脸-元）（匕-）i=13125000215000.30814（1）设/和y.的相关系数为人，%.和?的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更II丄II2好的模型；（2）（/）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于%的回归方程（系数精确到0.01）;（）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量X是多少亿元？附：相关系数r=右i（乍亦莎_=，回归直线夕=a+处中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：2为二訶2b=（叫沃y_

14、V），a=ybx；鹉（平）2参考数据：308=4X77，（90-9.4868，e4.4998Q90.例8.习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，这将进一步推动新能源汽车产业的迅速发展。以下是近几年我国新能源乘用车的年销售量数据及其散点图：年份20132014201520162017年份代码x12345新能源乘用车年销量y（万辆）1.55.917.732.955.6（1）请根据散点图判断，y二ax+b与y二cx2+d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立

15、y关于x的回归方程，并预测2018年我国新能源乘用车的销售量（精确到0.1）.附:1.最小二乘法估计公式：_八一y-bt乙(t-1)(y-y)/iib=,a=一乙(t-t)2ii=1y2为(ww)ii=1工(x-x)(y-y)iii=1Y(w-w)(y-y)iii=122.72374135.2851.2其中W=x2ii例9.某企业为确定下一年投入某种产品的硏发费用，需了解年硏发费用x（单位：干万元）对年销售量y（单位：干万件）的影响，统计了近10年投入的年硏发费用x与年销售量y.G=12,10）的数据，得到iI散点图如图所示：（町利用散点图判断，y=a+bx和y=cxd（其中c，d为大于0的常

16、数）哪一个更适合作为年硏发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（町对数据作出如下处理：令u=Inx，u=lny，得到相关统计量的值如下表:ii二7-：二1CMWi-i二7-：30.5151546_5根据（町的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程;27（惻）已知企业年利润z（单位：千万兀）与x,y的关系为z=y-x（其中e=2.71828），根据（惻）e的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据（u,u）,（u,u）,（%,u），其回归直线u=u+卩u的斜率和截距的最小二乘估计分别为艺Cu）C-6）刀iB=-i=17

17、V工（U-U丄ii=11122nnu6-nu6iii=弋片，&=6-pun乙u2一nu2ii=1例10近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展.某网络旧货交易平台对2018年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图.现把直方图中各组的频率视为概率，用x（单位：年）表示该设备的使用时间，y（单位：万元）表示其相应的平均交易价格.:甲均业易檢村&万元鹦20卜155?*i：1255473（1）已知2018年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间x&2,20的4台设备，再从这4台设备中随机抽取2台，求这2台设备的使用时间都在（12,16的概率.（2）由散点图分析后，可用y=ebx+a作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格y关于其