高中数学-函数的单调性与导数

1、 3 3.1 函数的单调性与导数（ 教师用书独具）三维目标1. 知识与技能能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间， 能由导数信息绘制函数大致图象2过程与方法通过知识的探究过程培养学生细心观察、 认真分析、 严密推理的良好思维习惯， 让学生 感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程3情感、态度与价值观通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、 善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯重点、难点重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间难点：利用导数信息绘制函数的大致图象采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量， 通过数形结合， 图、 表并用，

2、使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解，以达到突破重点、难点的目的（教师用书独具）教学建议为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课宜运用“问题一一解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法.通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神.为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法：.合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；.自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动；.探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知.教学流程创设问题情境，引出问题：若函数图象上任一点的导数都大

3、于小于 零，函数单调性如何?引导学生结合导数的几何意义，观察、比较、分析，揭示导数的正负与函数单调性的关系?|通过例1及其变式训练，使学生从形的角度认识函数图象与其导函数图象的内在联系?I通过例2及其变式训练，使学生掌握用导数求简单的函数的单调区间的方法 一通过例3及其变式训练，学习对含有参数的函数的单调性的讨论问题.归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(对应学生用书第55页)函数的单调性与其导数的1.理解在某区间上函数的单调性与导数的关系(难点)课标解读2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能够根据函数的单调性求参数.(重点)(难点

4、)正负的关系【问题导思】.导数的几何意义是什么?【提示】 函数y= f(x)在x=x0处的导数等于y=f(x)的图象，在x=x0处切线的斜率.若函数y=f(x)在xCa, b的图象上任一点的切线的斜率均为正值，则y=f(x)在xe a, b的单调性是怎样的?【提示】单调递增的.1. 一般地，设函数 y=f(x),在区间(a, b)上(1)如果f (x)0,则f(x)在该区间上单调递增.(2)如果f (x)00跳角上升递增00时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有 D正确.【答案】 D判断函数与导数图象间对应关系时， 首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意

5、以下两个方面：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间 (a, b)内，若f (x)0,则y = f(x)在(a, b)上单调递增；如果f (x) 0且越来越大函数值增加得越来越慢f x 0且越来越小函数值减少得越来越快f XV 0且越来越小绝对值越来越大函数值减少得越来越慢f XV 0且越来越大绝对值越来越小图 3 3 2已知函数y=xf (x)的图象如图3 3 2所示(其中f (x)是函数f(x)的导函数, 卜列四个图象中，y= f(x)的图象大致是()【解析】由y= xf (x)的图象可知当x1时，x0Hfz (x)0,所以当x1时,f(x)单调递增，只有C成立.故选C.【答

6、案】C求函数的单调区间求下列函数的单调区间.y = 2x3 3xf (x) =3x22ln x.【思路探究】求定义域求导数解不等式y 0写单调区间当xC(步,时，函数为减函数.解得一当【自主解答】（1）由题意得V, =6x2-3.令 v =6x230,解得 xv乎或 x，当 x e( -oo,时，函数为增函数，当 xC （乎，+8）时，函数也为增函数.令 y = 6x2- 30,即 2- 3x-1 0. x且x0,可解得x）；令 f (x)0,即 2-曳二1 0 得，0vxv之3，f（x）的增区间为（g,+8）,减区间为（0,1在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，

7、只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.2当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“U”连接，如(1)题中的增区间.求函数f (x) = 2x3 9x2+ 12x 3的单调区间；(2)求函数y=x3 2x2+x的单调区间.【解】 (1) 此函数的定义域为R，f (x) = 6x2-18x+ 12=6(x1)( x 2).令 6(x-1)( x-2) 0,解得 x2或 xvl,所以函数f(x)的单调递增区间是(2, +OO), (8, 1).(2)此函数的定义域为RV = 3x24x+ 1,令 3x24x+ 1 0,解得 x 1 或 x1. 3因此y=

8、x32x2+x的单调递增区间为一“ 2-1再令 3x -4x + 1 0,解得- x(Tx0, (x2-1)20,X2+ 1 x2 12V 0.，当b0时，f (x) V0. .函数f (x)在(0,1)上是减函数；当b 0,.函数f (x)在(0,1)上是增函数； 又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知: 当b0时，f(x)在(一1,1)上是减函数；当b0(f (x)V0)在给定区间上恒成立.一般步骤为：求导数f (x);判断f (x) 的符号；给出单调性结论.导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论.，一一 b,，、一、求函数y =

9、x+（ bw。）的单倜区间.x【解】b函数 y= x + -（bw。）的te义域为x|xw。, xy = i-b x2- b当b0恒成立，所以函数的单调递增区间为（一8, 0）和（0 , 十刃；当b0时，令y 0,解得x4b或xv m，所以函数的单调递增区间为 （8, _）和（，b, 十）；令 g V0,解得一，bvxyb 且 xW0,所以函数的单调递减区间为（也 ，0） 和（0,b).（对应学生用书第57页）导数在解决单调性问题中的应用(12 分)设函数 f(x) = ax丹21n x. x若f (2) = 0,求f(x)的单调区间；(2)若f (x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.

10、【思路点拨】【规范解答】 a=5.3 分; f (x)的定义域为(0 , 十刃 f (2) = 0,且 f ( x) = a+-a-,x xa a+ 1 = 0, 44222.f(x) = 5+57 x=57(2x5x+2)1八由 f (x) 0 结合 x0,得 0vxv2或 x2,1.f(x)的递增区间为(0,8和2, +8),、，一、，1递减区间为(万,2).6分(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f ( x) 0对x 0恒成立，8分一a 2 ax22x+a TOC o 1-5 h z - f (x) = ax2 x=x2，需x0时ax2 2x + a0恒成立10分.2x.化为aH对x

11、0恒成立，2x2-2 =-yW1,当且仅当x=1时取等号.X x + x. a1,即 aC1 , +8).12 分1求函数的单调区间首先要确定函数的定义域，再求出使导数的值为正或负的 x 的范 围，写单调区间时，要注意以上两范围求交集2已知函数的单调性求参数的范围，是一类非常重要的题型，其基本解法是转化为f ( x) no或f ( x) w 0在给定区间上恒成立问题.1.函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a, b)内，如果f (x)0,那么y= f(x)在这个区间内单调递增； 如果f (x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有f (x)=0,那么函数f(x)在这个区间

12、内为常函数.2.用导数判断函数的单调性和求单调区间，实际上就是在函数的定义域范围内解决导数的正负问题，对于含有字母参数的函数，要注意对参数进行分类讨论.（对应学生用书第57页） TOC o 1-5 h z 1. f（x）在（a, b）内可导，若 f （x）0,则 f（x）在（a, b）内是（）A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数【解析】 易知导函数f （x）0,得 x1. x2【答案】C.函数y=2 3x2在区间（ 1,1）上的增减性为（）A.增函数B.减函数D.先减后增C.先增后减【解析】y = 6x,故当x C （ 1,0）时，v 0;当xC （0,1）时，y 0,所以原函数在区间（一

13、1,1）上先增后减.【答案】 C.求函数y = ；x2 In x的单调递减区间.【解】函数的定义域为（0, +8）,V, = x-,令 y，= x-0 得 0V x2f(1)f(0) +f(2) =2f(1)f(0) +f(2) V2f(1)D f(0) f(2) 与 2f (1) 大小不定【解析】 当x 1时，f (x)f(2) .当x0, f (x)是增函数，.f(0) f(1).因此 f(0) +f(2) 3B. a3C. aw3D. a3【解析】 (x) =3x2 a,由题意f (x)wo在(一1,1)上恒成立，即 3x2-a3x2在(1,1)上恒成立，又.0W3 x23,经验证当 a

14、 =3时，f(x)在( 1,1)上单调递减.【答案】 A图 3 3 4.(临沂检测)已知函数y=f(x), y= g(x)的导函数如图33 4所示，那么y=f(x), y=g(x)的图象可能为()【解析】由图可以看出f( x)和g ( x)均大于0,即f(x)和g(x)均为增函数.y =f (x)递减，则y= f(x)的切线斜率随着 x的增大而减小，即 y=f(x)的增速逐渐减慢；y =g (x)递增，则y=g(x)的切线的斜率随着x的增大而增大，即y = g(x)的增速不断加快.由 (x(o) =g (x(o)可知y=f (x)和y=g(x)在x = x0处的切线斜率相同，故选 D. TOC

15、 o 1-5 h z 【答案】D二、填空题.(惠州检测)函数f(x)=xln x的单调减区间为 .【解析】函数f(x)的定义域为(0, 十), f ( x) = ln x+1.令 f (x) v 0 得xv【答案】一8,-38.(洛阳检测)若函数f (x) = x3+bx2+cx+d的单调递增区间为(一00, 1)和(2,+oo), 贝U b=, c=.,又 x0, .f(x)的减区间为(0 ,-). ee一1【答案】(0 , e).已知函数 f(x) =x3+x2+mx+ 1在R上不是单调函数，则实数m的取值范围是2【解析】f (x)=3x+2x+m|. f(x)在R上非单调，f (x)有两

16、个相异零点. =4 12m 0, 1 .RK 3.0 的解集，1,2 是方程 3x2+2bx+ c=0 的两个根，1 + 2=。，-1X2= -c, /. b = 23c= - 6.三、解答题9.已知函数f (x) =ax4+bx2+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是 y = x -2.(1)求y=f (x)的解析式；(2)求y=f(x)的单调递增区间.【解】(1)由题意得：f(0) =1, f (1) = 1, f (1) = 1.54a+2b=1 a+ b + c= 1c= 1.5 4 9 2-f (x) = 2x 2x + 13,3口 3 10- 3 .10(2) f /

17、 (x) = 10 x 9x,由 10 x 9x0 得 x10-或一 ；。v x0 时，1( x) 0? xa，f ( x) v 0? 0 x-./af(x)在(巴 0) , (2,+8)上是增函数 在(0 -)上是减函数; aa当a0时，2 ,、f ( x) v 0? x0, a( x) 0? 2x0时，f(x)在(000) , (- + 00)上是增函数，在2a 0 得 ex a,当awo时，有f (x) 0在R上恒成立；当 a0 时，有 xln a.综上，当awo时，f(x)的单调增区间为( 一, + );当a0时，f(x)的单调增区间为ln a, +).(2) / f (x) = ex- ax- 1,，f (x)=ex a. f(x)在R上单调递增，f (x) = ex-a0 恒成立，即aex, xC R恒成立. xCR时，exc (0, +8), a 1,证明:In