窗函数滤波器

1、7.7 设计FIR数字滤波器的窗函数法窗函数法的基本思想是用一具有有限长度样值响应、并具有线性相位的系统 函数逼近理想滤波器的系统函数。以低通滤波器为例，设系统函数在奈奎斯特 区间为1 Hd (O) =%1cgC(7.7-1 )-二：二：二二%，. % :二：二二频率响应如图7.7-1所示。对Hd(a)取IDTFT,有hdn工Cjn2二 TCdJsin(1. 1c n)二 一二：二 n ：二二(7.7-2 )二 nHd(Q) 1-二0 L匕 二图7.7-1理想低通滤波器的频率响应式(7.7-2 )给出的单位样值响应说明理想低通滤波器是非因果系统，实际 中无法实现。如果把 田唧对称地截断为有限长

2、度，设长度为 N, N为奇数，截 取后的样值响应为n,当N足够大时，用n在某种程度上可近似表示hdn, 品n为| n | M| n| M(7.7-3 )sin(CC n) %n= nn0m N -1M 二-其中 2 。式（7.7-3 ）仍然为偶对称函数，而且是非因果的，如果将 其右移M点，则有sinCc(n-M) hn =%nM=( n(nM)00 n N -1n ： 0, n _ N(7.7-4 )样值响应的截断与移位如图7.7-2所示t?nh hnh .1 n(a)(b)图7.7-2截断并移位的样值响应以上通过对理想滤波器的无限长样值响应截断为有限长并移位得到了物理 可实现滤波器的样值响应

3、hn，那么h川的幅频响应是否为理想幅频响应的逼 近，其相位响应是否与频率成线性关系，下面对其进行分析。根据DTF位换公式，仇唧、仇n和hn的频率响应分别为HdC 广hdne jnn 二.二(7.7-5 )MH?d(Q)=2 hdne+Qn -JM(7.7-6 )N 4H(j)八 hnej nn =0(7.7-7 )式（7.7-6 ）相当于对Hd（C）做级数截断，当M足够大时，心（。）逼近于Hd（C）。由式（7.7-4 ）和傅里叶变换的移位性质可得(7.7-8 )根据傅里叶变换的对称性，用M的变换 品（口）也H(J)=田d(j)e jM由于均川为实偶对称函数, 为实偶对称函数，因此，有(7.7-

4、9 )argH(Q) =-jQM-jQM +nH(j) 0自d(。二0(7.7-10 )-jJM arg H (Q)=+2十十几2H?d(j)0H?d(j)：二0(7.7-10 )可见，h【n的幅频响应逼近于理想滤波器的幅频响应，而相频响应为C的分 段线性函数，在（C）改变符号的频率处跳变180二通过以上分析看出，样值响应hn为偶对称实序列、且N为奇数的这种FIR滤波器不仅在幅度上可以满足滤波要求，而且能够取得分段线性相位特性。当Rn为奇对称的实序列时，根据傅里叶变换的对称性，R（c）的实部为零，这时(7.7-9 )|H(.1)|HH?d(1)|则hn的相位也为频率的分段线性函数。当hn的长度

5、N为偶数时，若h【nl仍满足对称关系h n =hN -1 -n或h n = -hN -1 -n(7.7-11a )(7.7-11b )也可证明hn的相位为频率的分段线性函数。sinHn -10)4二(n -10)0 _n _20n 0, n .21h nsin-(n-25)4n(n -25)00 n 50n ：二 0, n -51设取Cc -4, N为21和51时，由式（7.7-4 ） , hn分别为把“川代入式（7.7-7）,用计算机求得的幅频响应如图7.7-3所示。由图可见：在二建。处幅度总为0.5； N越大，过渡带越窄，幅频响应越接近于理想响应；通带与阻带波纹在接近过渡带处较大，在。两侧

6、总有比较大的肩峰出现， 这是因级数的截断造成的，这种现象称为傅里叶级数的吉伯斯（Gibbs）现象c理论分析表明，两肩峰的幅度近似为 8.9%,与N的取值无关，因此，滤波器的阻带衰减为& log 0.089期21dB。图7.7-3 N为21和51时幅频响应上述FIR滤波器的样值响应还可表示为sin,1c(n - M )hn =hdn M wn cwn二(n - M )(7.7-12 )其中Mn为长度为N的矩形窗函数，即10 n N -1wn=c八 s0 n NJ(7.7-13 )由图7.7-3 ,矩形窗的逼近性能不是很好，为了加大阻带衰减也即减小肩峰 的影响，可以考虑采用其他形状的窗函数，常用的

7、有1. 三角窗（Bartlett 窗）0 _n -Mwn = NT2 -2M n N -1. N -1(7.7-14 )2. 汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）1wn=2 1. cos 红N -10 n N -1(7.7-15 ).哈明（Hamming窗（改进开余弦窗）wn=0.54 -0.46cos0 n N -1(7.7-16 ).布莱克曼（Blackman）窗r2r: n 4二 n0 n N -1(7.7-17 )0.08cos 一N -1N -1用以上几种窗函数设计的滤波器的指标如表 7.7-1所示。设计时一般根 据阻带衰减指标选取符合要求的窗函数，再根据过渡带宽度确定样值响应长度N

8、o当仿真结果不符合要求时，调整 N重新设计。I表7.7-1常用窗函数性能比较窗函数过渡带宽度（rad）阻带衰减（dB）矩形窗1.8H/N21三角窗6.1n/N25汉宁窗6.2n/ N44哈明窗6.6H/ N53布莱克曼离11n/N74例7.7-1用窗函数法设计一线性相位低通数字滤波器。设技术指标为阻带衰减As 50 dB理想通带频率=。45二rad过渡带宽度A-tr =0.13二 rad解根据阻带衰减指标选用哈明窗，本!据过渡带宽度指标则可求出N为6.6 二MT6.6 二0.13 二51由式（7.7-12 ）和式（7.7-16 ）有h n =S”C（n ）1 0.54 -0.46 cos二（n

9、-M） _2 二 n ;|N 一1sin0.45二（n -25）二（n 25）0.54 -0.46 cosI50力wn和hn的波形如图7.7-4所示滤波器的幅频响应如图 7.7-5所示。计算表明，通带内的肩峰非常小，约为0.2 % ,阻带衰减为53dB。.hn0.4 TV 0.20102,4050 n图7.7-4 忖川和耳川的波形图7.7-5幅频响应以上几种窗函数法设计较为简单，但对滤波器的技术指标不能有效的控制。例如，无论NW多大，矩形窗的肩峰约为 8.9%,无法对其调整。一种更为灵活的窗函数设计方法是选用凯塞（Kaiser ）窗，它定义为wn=I0L)0 n N -1(7.7-18 )其中

10、P是形状参数，根据阻带衰减确定。 函数，其幕级数展开式为是第一类零阶贝塞尔（Bessel）Q0Io(x) =1 八m 17x/2)mm!(7.7-19 )在给定通带频率Cp、阻带频率Cs、阻带衰减dB值A情况下，低通滤波器的 设计步骤如下：（1）计算理想通带频率Cc和过渡带宽度 9tr,其中1(7.7-20 )% =2(p s)(7.7-21 )(2)计算形状参数P和滤波器长度NO.1102(A -8.7)P 二10.5842(A 21)0.4 +0.07886(A -21)0A _50dB21dB :二 A ：；：50dBA 21dB(7.7-22 )A -7.95 +114.36 AQtr0.922 - +1AQtrA 21dB