时频表示及时频分布

1、时频表示：使用时间和频率的联合函数来表示信号。时频分布：能够描述信号的能量密度分布的二次型时频表示。2.1.1解析信号与基带信号定义(解析信号)：与实信号s(t)对应的解析信号z(t)定义为z(t)=s(t)+jHs(t)，其中Hs(t)是 s(t)的 Hilbert 变换。物理意义：保留信号的正频部分并将幅度加倍，同时剔除负频部分。命题：若调幅-调频信号s(t)=a(t)cos0 (t)满足条件：A(f)= 3 a(t)完全位于区域lflf，且频 谱3 cos0 (t)只存在该区域以外，则s(t)的解析信号z(t)具有z(t)=a(t)ej(t泊勺形式。命题的物理意义：基于Hilbert变换

2、的解析信号生成器是一种高频率选择器。基带信号：解析信号的复包络，它是复信号，是解析信号的频移形式。实际应用：直接接受或观测到的总是实信号，需要经过加工处理，才能得到它的解析信号或 基带信号。解析信号实际得到它是困难的，因为具有理想阶跃频率特性的滤波器无法实现。 基带信号则容易得到，先将实信号频谱左移，然后用低通滤波器滤出基带分量即可。基带信号和解析信号均适用时频分析。2.1.2瞬时频率和群延迟定义(瞬时频率)：解析信号相位的导数。物理意义：把解析信号z(t)表示为复平面的向量，那么瞬时频率就表示向量幅角的转速。定义(群延迟)：频谱Z(f)中频率为f的各个分量的延迟。物理意义：设零相位的信号加一

3、线性相位，则信号做不失真的延迟，其延迟时间为该线性相 位特性的负斜率。2.1.3不确定性原理定义：z(t)是一个具有有限能量的零均值复信号，其时宽Z和带宽W分别定义为f 12 | z(t) |2 dtT 2 = (At )2 = ff | z(t) |2 dt-sf 2| Z ( f )|2 dfB 2 = (Af )2 = ff | Z (f ) |2 df-s物理意义：时宽At和带宽Af分别为时间分辨率和频率分辨率，它们表示的是两时间点和两频率点间信号的区分能力。命题：(不确定性原理)对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总是满足不等式：TB= At Af 31/4兀不确定性原理的重要

4、意义在于，既有任意小得时宽又有任意小的带宽的窗函数是不存在的。 对非平稳信号作加窗的局域处理，窗函数内德信号必须是基本平稳的，即窗宽必须与非平稳 信号的局部平稳性相适应。线性时频表示：Z(t)=cz(t) + cz (t) T T (t, f) = cT (t, f) + cT (t, f)1 12 2z1 z12 z 2典型的线性时频表示有短时Fourier变换、Gabor展开和小波变换。2.2.1连续短时Fourier变换给定一个时间宽度很短的窗函数Y (t)，令窗滑动，则信号z(t)的短时Fourier变换定义为:STFT (t, f) = jz(t 为 *(t-1)e一e dtz-8很

5、显然，为了使STFT真正是一种有实际价值的非平稳信号分析工具，信号z(t)应该能够由STFT (t, f)完全重构出来，重构公式为: zp(u) = j j STFT (t, f )g (u t)ej&fudtdf z-8 -8完全重构条件为L *( t)g (t)dt = 1特殊地，当g(t) =y (t)时，完全重构条件变为j IY (t)|2 dt = 1。短时Fourier变换的物理意义：信号Z(t)在“分析时间” t附近的“局部频谱”。2.2.2 STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性:z(t) = z(t )eJ2”/ T STFT (t, f) = STFT (t, f -

6、f ) z0zz(t) = z(t -1 ) T STFT (t, f) = STFT (t -1 , f )e- j2兀儿 0z 0z短时Fourier变换的定义是从时域加窗实现的，也可在频域用滤波器来实现:STFT (t, f) = e-j2兀ft j Z( f )r *( f f )ej2兀 W z-8谱窗r (f )是时间窗Y (t)的Fourier变换。2.2.3窗函数g(t)的选择原则上，窗函数g(t)可以在L2(R)空间内任意选择。不过，在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性(即能量在时频平面是高度集中的)，使得STFT (t, f ) z能够有效地对应为信

7、号z(t)在时频点(t,f)附近的“内容”。常用的一种特殊选择是高斯窗函数，又称Gabor基函数：g 0(t) = 21/4 e-兀t2从一定意义上讲，Gabor基函数是一个在相空间点(t,f)附近具有最佳相空间聚集性能的L2函 数2.2.3离散短时Fourier变换STFT (m, n)= z(k)y *(kT - mT)e-j次(nF)kk =一3重构公式z (k)= STFT (m, n) g (kT - mT )e j2 兀(nF)km=-3 n=一3完全重构条件： g(kT + n - mT)/ *(kT mT) = 8 , Vk FFnm =-32.3.1信号的双线性变换和局部相关

8、函数局部相关函数：R(t 其)=j 巾(u -1具)z(u +T / 2)z *(u -T / 2)du-s瞬时相关函数R(t具)=z(t +T /2)z *(t -t /2)Wigner-Ville 分布：P(t, f ) = j z(t +T /2)z *(t -T /2)e-j2兀件ddT-s2.3.2时频分布的基本性质要求性质1：时频分布必须是实的。(且希望是非负的)性质2：时频分布关于时间t和f的积分应给出信号的总能量E性质3：边缘特性性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和群延迟。性质5：有限支撑特性：如果信号z(t)只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱Z(f)也 只在某个

9、频率区间取非零值，则称信号z(t)及其频谱是有限支撑的。弱有限支撑：在z(t)和 Z(f)的总支撑区以外，信号的时频分布等于零。强有限支撑：凡在z(t)和2(0等于零的各区域，时频分布都等于零。2.3.3时频分布的二次叠加原理z (t) = c z (t) + c z (t)1 12 2任何二次型时频分布服从以下二次叠加原理：P (t, f) =| c |2 P (t, f)+ | c |2 P (t, f) + cc * P(t, f) + cc * P (t, f)z1z11 z11 2 z1,z 22 1z 2, z1乌(t,f)、乌(t,f)代表信号的自时频分布(信号项)，而与阳(侦)

10、、P2z1(t, f )代表互时频分布(交叉项)推广到多分量信号的情况：对于一个p分量信号，其时频分布将包含p个信号项和p(p-1)/2个交叉项。2.3.4特征函数随机信号z(t)的特征函数定义为M(Tv) = E (ej 2k (tv+t f)二j j P(t, f )ej2k(tv+tf)dtdf在一些场合，特征函数比分布本身更便于操作。例如，求M(T , v)关于T的m阶偏导和关于V的n阶偏导，即可得到利用特征函数的导数求联合矩的公式。2.4模糊函数定义：对z(t +T /2)z *(t-T / 2)关于时间t作Fourier反变换，即A(t,v) = j z(t+T /2)z*(t-t

11、/2)ej2Kvtdt称为模糊函数。-s可视为对瞬时相关函数关于t作Fourier反变换。模糊函数与Wigner-Ville分布的关系：sj js A(t , v)e - j 2k (tv+T f) dvdT-s -s模糊函数的性质：模对时移和频移不敏感、滤波特性、调制特性。互模糊函数的定义：4泌(匚,v)=j z(t)g *(t - v)ej2Ktudt。-s互模糊函数的性质：Parseval关系、有限支撑、唯一重构。2.5.1 Cohen类时频分布的定义Cohen指出，信号的时频分布可以用一般形式统一写作:j j j z(u +t / 2)z *(u -t / 2)8(t , v)e- j

12、2k(tv+fT-uv)dudTdv -s -s -s可简写作：P(t, f) = j j s A (t , v)8 (T, v)e-j2k (tv+fT)dT dv z-s -s -s于是，核函数8(t, v)可视为模糊域的“滤波函数”，将Az(T , v)中某些不需要的分量滤掉。Cohen类互时频分布可由互模糊函数表示为：P (t, f) = j j A (t , v)8 (t , v)e-j2k (tv+ft )dr dv-s -sCohen类互时频分布同样服从二次叠加原理。2.5.2时频分布基本性质与核函数的关系用核函数对模糊函数加权后，时频分布自然会发生一些变化，因此，如果要求变化了

13、的时频分布满足所提出的某些基本性质的话，核函数就应受到某些限制：边缘特性对核函数的要求：N。, V)= 1，(T ,0) =1总能量保持不变对核函数的要求： (0,0) = 1时频分布实值性对核函数的要求：NT，v) = *( -T , -v)时移不变性和频移不变性对核函数的要求：核函数与时间和频率无关，这一特性是Cohen 类时频分布固有特性。瞬时频率保持性对核函数的要求：(0,v) = 1和坐=)|= 0dT 比=02.5.3 Cohen类的四种分布及其相互关系因此，Cohen类时频分布定义式可以得到另外一种表达形式:P(t, f )=j fw (t - u,T) z (u +t / 2)

14、 z *( u -t / 2)e- jgf dudT-8 -82.5.4 Cohen类分布的类型能量化Cohen类分布：当且仅当一种时频分布可以借助时频卷积由Wigner-Ville分布导出。 相关化Cohen类分布：能量化Cohen类分布的二维Fourier变换。仿射类分布：另一类能量化Cohen类，它们能保持时间尺度和时移不变。移位-尺度不变时频分布：同时属于ce和ae的时频分布，它们能保持时移、频移和时间尺 度不变。2.5.5具有复合核的Cohen类时频分布多值可倾斜的指数分布(MTED)： 一种具有可变通带形状的时频分布，通过改变核函数的参 数，可以得到一系列不同的时频分布，其中包括W

15、VD. CWD、广义指数分布和多值高斯分 布等。由于固定核函数具有固定的通带和阻带区，所以给定一个固定核函数，总可以找出一些信号， 它们在核函数通带内具有明显的交叉项能量，或在核函数阻带内有明显的信号项能量。固定 核函数的局限在于它对这些信号不适用。Cohen与Posch提出了对固定核函数的改进方案:P(t, f ；。)=1 如)|2| 览 f) |2。(牧),V( f )； S(t)。(t), V(f); s(t)是一个函数取值与信号有关的核函数。2.6.1 Wigner-Ville分布的数学性质虽然Wigner-Ville分布对单分量LFM信号具有比其他时频分布更好的时频聚集性，但对于 多

16、分量信号，较严重的交叉项会产生虚假信号。Wigner-Ville分布是满足时频分布所期望具有的数学性质的唯一分布。2.6.2基于Wigner-Ville分布的信号重构离散Wigner-Ville分布的逆问题可以分解为两个较小的逆问题：求偶数序号的样本和求奇数 序号的样本。2.6.3与演变谱的关系时变自相关函数：R (t具)=Ez(t +T /2)z*(t-t/2)演变谱的定义：时变自相关函数的Fourier变换。演变谱等于该信号WVD的数学期望。类似地，还可以定义互演变谱、时频相干度等函数。2.7时频分布的性能评价与改进时频分布性能评价的关键指标：时频聚集性和交叉项。2.7.1时频聚集性适合用

17、作时频聚集性评价的典型非平稳信号为线性调频(LFM)信号。单分量的LFM信号表示为：z(t) = e顶f0t+2mt2)一个公认的观点是：任何一种时频分布如果对LFM信号不能提供好的时频聚集性，那么它 便不适合用作非平稳信号时频分析的工具。对于单分量LFM信号，在所有其他Cohen类时频分布中无论怎样选择窗函数，都不可能给 出比Wigner-Ville分布更好的时频聚集性。原因在于单分量LFM信号具有二次型平稳特性。 然而对于更复杂的非平稳信号，其二次型或双线性乘积仍然是非平稳的，在其时频分布中应 当加适当时宽的窗函数。2.7.2交叉项分析分析交叉项的影响时，常常以音调信号和LFM信号作为考查

18、对象。本书以平稳的音调信号 为例做了分析。对于平稳、解析的单音调信号z(t) = e，2兀带，时频分布P(t,f) = W (f - f ,0)。0对于多分量解析信号z(t) = ej2ft + ej2- f , f f2，两个解析信号的交叉项综合表现为P(t, f) = 2Re中(f - 44, f - f )ej2盹-扑cross2212.7.3交叉项抑制1、对于任意信号而言，欲使时频分布的交叉项不出现在非信号频率和时间处，只要给核函 数加上一下约束条件即可：| v I中(f, v) = 0, v I f I。5/、 c , , IT IW (t,T ) = 0, v 111。2这两个约束条件的实质：没有消除掉时频分