数学模型和数学建模

1、关于数学模型与数学建模第一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月21.什么是数学模型？数学模型数学模型第二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月3自然离不开数学1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造2、蜂巢消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格 3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形 第三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月4问题/应用来自数学的贡献核磁共振成像技术(MRI)计算机辅助成像(CAT)积分几何空中交通管制控制论期权定价Black-Scholes期权模型和Monte Carlo模拟全局勘察、信号处理、图象处理、数据采掘应急用储备物资的

2、管理运筹学、最优化理论复杂网络的稳定性逻辑、计算机科学、组合学机密和完整性数论、密码学/组合学大气和海洋的建模小波、统计学、数值分析敏捷制造、自动制造、可视化、机器人过程质量控制中的几何学、控制论设计和训练模拟、建模、离散数学人类基因组分析数据采掘、模式识别、算法合理的药物设计数据采掘、组合学、统计学Seiberg- Witten方程(弦论)几何学宇宙数据的解释数据采掘、建模、奇点理论复合材料的设计系统控制论、计算、偏微分方程地震的分析和预测过程控制中的统计学动力系统/湍流建模社会离不开数学第四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月5 宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物

3、之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具 。著名数学家 华罗庚 任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。马克思教导我们：一门学科只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步！第五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月6玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型我们常见的模型第六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月7玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型我们常见的模

4、型地图、电路图、分子结构图 符号模型第七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月8玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型地图、电路图、分子结构图 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物，集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。我们常见的模型第八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月9模型物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型物理模型思维模型符号模型数学模型模型的分类第九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月10 “1”是最简单的数学模型。 那些我们所熟知的数学模型 设水池的总容量为1。两台抽水机

5、同时工作所需要时间为 例 两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？（小时） 第十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月11弧度制是对角大小的另一种度量方式，弧度制的基本原理与平面相似形有关。1扇形相似于扇形 因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。 比如，当扇形的弧长与半径之比为时，对应的圆心角是直角；时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）. 当扇形的弧长与半径之比为弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量纲（

6、名数）。 引入角的弧度制实际上是数学建模的过程，这种数学模型恰是关于几何图形的数学模型。第十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月12方程是表现等量关系的数学模型 那些我们所熟知的数学模型例 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。解 设大马，小马，马仔分别为匹，应有分别消去 和 可得这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。第十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月13 “点”、“面”、“线”抽象化的数学模型那些我们所熟知的数学模型1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收

7、到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。 布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。 有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？哥尼斯堡七桥问题第十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月14店主桥铁匠桥木桥绿桥“馋嘴”吉布莱茨桥高桥蜜桥内福夫岛普雷盖尔河新河道旧河道哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格

8、勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。 第十四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月15CDBA作为一笔画过程，应该只有一个起点和一个终点，并且起点和终点应该是奇节点，而其它点都是通过点，并只能是偶节点欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？ 类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。

9、图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。 第十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月16什么是数学模型、数学建模 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型数学建模建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）第十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月17数学模型的分类分类标准具体类别对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方

10、法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生 态系统模型 、交通流模型、经 济模型、 基因模型等第十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月182.如何数学建模？第十八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月19你碰到过的数学模型“航行问题”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x =20y =5求解第十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月20航行问题建立数学模型的基本步骤 作出必要的简化假设（船速、水速为常数）

11、； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）； 验证上述结果（用实际现象进行验证）。第二十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月21几个数学建模示例第二十一张，PPT共四十三页，创作于2022年6月22例1 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常 三只脚着地放稳 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在

12、任意位置至少三只脚同时着地。第二十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月23 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCODC B A 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地距离是 的函数四个距离(四只脚)A,C 两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和 g( )两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来模型构成第二十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月24用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是连续函数对任意, f(), g()至少一个为0数学问题已知： f

13、() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地第二十四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月25模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因为f() g()

14、=0, 所以f(0) = g(0) = 0.评注和思考建模的关键 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子和 f(), g()的确定第二十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月26 数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题第二十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月27模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设抓本质，在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题内在规律发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤第二十七张，

15、PPT共四十三页，创作于2022年6月28模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用 数学建模的一般步骤第二十八张，PPT共四十三页，创作于2022年6月29例2 商人们怎样安全过河问题(智力游戏) 3名商人 3名随从河小船(至多2人)随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全

16、体人员过河第二十九张，PPT共四十三页，创作于2022年6月30模型构成xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk)状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许状态集合uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律由s1=(3,3)到达sn+

17、1=(0,0).多步决策问题第三十张，PPT共四十三页，创作于2022年6月31模型求解xy3322110 穷举法 编程上机图解法状态s=(x,y) 16个格点 10个 点允许决策D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法, 易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态SS=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2D=(u , v) u+v=1, 2 适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效解决此类问题的方法。第三十一张，PPT共四十三页，

18、创作于2022年6月32数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践第三十二张，PPT共四十三页，创作于2022年6月33思考与练习第三十三张，PPT共四十三页，创作于2022年6月 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能

19、停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，

20、从而 L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 （ 留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D）/v。 DL第三十四张，PPT共四十三页，创作于2022年6月练习 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。 显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标

21、已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追赶方案的设计） 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图1。BAA1drdsd图1第三十五张，PPT共四十三页，创作于2022年6月363.为什么数学建模？第三十六张，PPT共四十三页，创作于2022年6月37 随着科学技术的迅速发展，数学模型这个词汇越来越多地出现在现代人的生产、工作和社会活动中。例如： 电气工程师必须建立一个用于控制生产过程的数学模型，通过它的精确设计和计算来实现有效的过程控制； 气象工作者为得到准确的天气预报，需要依赖于根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型； 生理医学家通过构建药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，可以分析药物的疗效，有效地指导临床用药； 城市规划者需要建立一个包括人口、经济、交通、环境等大系统的数学模型，为领导层对城市发展规划的决策提供科学依据。第三十七张，PPT共四十三页，创作于2022年6月38数学建模的重要意义 电子计算机