新高考数学二轮专题《立体几何》第8讲 立体几何范围与最值问题（解析版）

1、第8讲 立体几何范围与最值问题一选择题（共34小题） 1在空间中有一棱长为的正四面体，其俯视图的面积的最大值为ABCD【解答】解：由题意当线段相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段对称的两个等腰三角形，由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为故选：2已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为A1B2C3D【解答】解：如图所示，由，可得，设的外接圆的半径为，当平面时，该三棱锥取得体积的最大值为由解得所以，解得故选：3已知三棱锥的四个顶点在以为直径的球面上，于，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为ABCD【解答】解：三棱锥的四个顶

2、点在以为直径的球面上，如图所示：由于：为球体的球心，所以：，由于，于，为的中点，所以平面，则，故：，由于所以：，解得所以故选：4已知球的直径，是该球面上的两点，则三棱锥的体积最大值是A2BC4D【解答】解：如图，球的直径，是该球面上的两点，（其中为点到底面的距离），故当最大时，的体积最大，即当面面时，最大，球的直径，即，此时故选：5如图，正三棱锥的侧棱长为，两侧棱、的夹角为，、分别是、上的动点，则的周长的最小值是ABCD【解答】解：三棱锥的侧面展开图，如图，的周长的最小值为，由于题 设知，正三棱锥的侧棱长为所以，故选：6在正三棱锥中，两两垂直，点在线段上，且，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所

3、得截面圆面积的最小值是ABCD【解答】解：在正三棱锥中，两两垂直，构造以，为棱长的正方体，且该正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥外接球球心为中点，半径为，点在线段上，且，过点作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为：，过点作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值为故选：7如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点，动点在底面内（不包括边界）若平面，则的最小值是ABCD【解答】解：如图，在上取中点，在上取中点，连接，且，平面，则动点的轨迹是，（不含，两点）又平面，则当时，取得最小值，

4、故选：8在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是ABCD【解答】解：平面，平面，平面平面，设到平面的距离为，则，故，而，四面体的体积，当时取得最大值故选：9棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是ABCD【解答】解：由题意在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，设，则，到平面的距离为，所以四面体的体积为，当时，体积取得最大值：故选：10若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最

5、小时，它的高为A3BCD【解答】解：设底面边长，棱锥的高，正四棱锥内接于球，在直线上，设球半径为，（1）若在线段上，如图一，则，（2）若在在线段的延长线上，如图二，则，平面，是直角三角形，或，即当且仅当取等号，即时取得最小值故选：11已知正四棱锥中，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为A1BC2D3【解答】解：设底面边长为，则高，所以体积，设，则，当取最值时，解得或时，当时，体积最大，此时，故选：12已知在半径为2的球面上有、四点，若，则四面体的体积的最大值为ABCD【解答】解：过作平面，使平面，交于，设点到的距离为，则有，当直径通过与的中点连线时，故故选：13如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为

6、，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合，得到四棱锥当正方形的边长变化时，所得四棱锥体积（单位：的最大值为ABCD【解答】解：沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合，得到四棱锥，由题意得，所得四棱锥体积（单位：，构造函数（a），则（a），当（a）时，在内递增，在其他定义域内递减，当时，取得最大值，也就是取得最大值，将代入，得：所得四棱锥体积（单位：的最大值为故选：14如图1，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为点，为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合得到一

7、个四棱锥（如图当四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，异面直线与所成角的余弦值为ABCD【解答】解：如图，连接交于点，设正方形的边长为则，由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得即，所以，所以在四棱锥中，因为，所以即为异面直线与所成的角，所以，即异面直线与所成角的余弦值为故选：15如图，在三棱锥中，底面，于，于，若，则当的面积最大时，的值为A2BCD【解答】解：在中，底面，得，平面，可得，平面平面，且，面，结合平面，可得中，可得，平面，平面中，当，即时，有最大值为故选：16正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是A，B，C，D，【解答】解：设与所成角为如图所示，不妨设则，0，0，1

8、，0，0，0，1，设，则，故选：17已知与是四面体中相互垂直的棱，若，且，则四面体的体积的最大值是ABC18D36【解答】解：过作，垂足为，连接，平面，又，平面，取的中点，则，当最大时，棱锥的体积取得最大值又，故当最大时，棱锥体积最大，当时，取得最大值，此时，棱锥的体积最大值为故选：18在直四棱柱中，底面为菱形，分别是，的中点，为的中点且，则的面积的最大值为AB3CD【解答】解：连接交于，底面是菱形，以，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，棱柱的高为，则，0，到直线的距离，当且仅当即时取等号故选：19在正四棱锥中，平面于，底面边长为，点，分别在线段，上移动，则两点的最短距离为ABC2D1【解答】解

9、：如图，由于点、分别在线段、上移动，先让点在上固定，在上移动，当最小时，最小过作，在中，在上运动，且当运动到点时，最小，又等于的长为，也就是异面直线和的公垂线段的长，故选：20已知二面角为，动点，分别在面，内，到的距离为，到的距离为，则，两点之间距离最小值为AB2C4D【解答】解：如图分别作于，于，于，于，连，则，又当且仅当，即点与点重合时取最小值故选：21如果，与是夹在平面与之间的两条线段，且，直线与平面所成的角为，那么线段长的取值范围是A，B，CD，【解答】解：由题意，在平面，当和重合时，、在平面上，、构成直角三角形，一内角为，此时最小为；当与两个面近似平行时，达到无限长线段长的取值范围为

10、，故选：22正三棱柱中，各棱长均为2，为中点，为的中点，则在棱柱的表面上从点到点的最短距离是ABCD【解答】解：沿着棱将棱柱的侧面展开，故小虫爬行的最短距离为，故选：23在长方体中，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点、可以重合），则的最小值为ABCD1【解答】解：由题意，要求的最小值，就是到底面的距离的最小值与的最小值之和，是在底面上的射影距离最小，展开三角形与三角形，在同一个平面上，如图，易知，可知时，的最小，最小值为：故选：24在中，点在斜边上，以为棱把它折成直二面角，折叠后的最小值为ABCD3【解答】解：设，则，作于，于，于是，是直二面角，与成角，当，即是的平分线时，有

11、最小值，最小值是故选：25在平面四边形中，且，现将沿着对角线翻折成，则在折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成的最大角为ABCD【解答】解：如图，平面四边形中，连结，交于点，且，将沿着对角线翻折成，当与以为圆心，为半径的圆相切时，直线与平面所成角最大，此时，中，与平面所成的最大角为故选：26已知三棱锥中，且与平面成角当的值取到最大值时，二面角的大小为ABCD【解答】解：过作平面，连接并延长交，于，连接，则是在底面上的射影，则，平面，即，则是二面角的平面角，则，要使的值取到最大值，则取得最大，由正弦定理得，当取得最大值，即当时取最大值此时，故选：27已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上

12、，为球的直径，当三棱锥的体积最大时，设二面角的大小为，则ABCD【解答】解：如图所示：由已知得球的半径为2，为球的直径，当三棱锥的体积最大时，为等腰直角三角形，在面上的射影为圆心，过圆心作于，连结，则为二面角的平面角，在中，故选：28在正方体中，是底面正方形内一点，是中点若，与底面所成角相等，则最大值为ABCD【解答】解：连接，则，分别为和与平面所成的角，和与平面所成的角相等，；又为的中点，以为坐标原点，分别为，轴，建立平面直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，设，则，即，则的轨迹为圆被正方形所截的一段圆弧，则当位于圆弧与的交点位置时，最小为此时有最大值为故选：29已知的顶点平面，点，在平面同侧

13、，且，若，与所成角分别为，则线段长度的取值范围为A，B，C，D，【解答】解：分别过，作底面的垂线，垂足分别为，由已知可得，如图，当，所在平面与垂直，且，在底面上的射影，在点同侧时长度最小，当，所在平面与垂直，且，在底面上的射影，在点两侧时长度最大过作，垂足为，则，的最小值为，最大值为，的最小值为，最大值为线段长度的取值范围为，故选：30如图，空间直角坐标系中，正三角形的顶点，分别在平面和轴上移动若，则点到原点的最远距离为AB2CD3【解答】解：连结，取的中点，连结、，根据题意可得中，斜边，又正的边长为2，对图形加以观察，当，分别在平面和轴上移动时，可得当、三点共线时，到原点的距离最远，且这最远

14、距离等于故选：31棱长为2的正方体在空间直角坐标系中移动，但保持点、分别在轴、轴上移动，则点到原点的最远距离为ABC5D4【解答】解：由题意可知，与和在同一个平面时，到的距离比较大，如图：设，则坐标为，其中，显然，故选：32如图在棱长为2的正方体中为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为ABCD【解答】解：如图所示，取的中点，连接，底面，四边形是矩形，又平面，平面，平面直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离过点作，平面平面平面过点作交于点，则取，连接，则四边形是矩形可得平面，在中，得点到直线的距离的最小值为故选：33若点，是半径为2的球面上三点，且，则球心到平面的距离最大值为AB

15、CD【解答】解：因为当截面是以为直径的圆时，球心到过、两点的平面的距离最大设截面圆的圆心为，球心为，则是以的直角三角形，且，球心到截面的距离所以：截面圆半径为1，球心到截面的距离为：故选：34二面角的平面角为，在面内，于，在平面内，于，是棱上的一个动点，则的最小值为A6BCD5【解答】解：将二面角平摊开来，即为图形当、在一条直线时的最小值，最小值即为对角线而，故故选：二多选题（共1小题）35已知三棱锥中，则A三棱锥的外接球的体积为B三棱锥的外接球的体积为C三棱锥的体积的最大值为D三棱锥的体积的最大值为【解答】解：如图，的中点为外接球球心，故半径为1，体积为，当面与面相互垂直时，点到面的距离最大

16、，故此时三棱锥的体积最大，此时高为；其最大值为：故选：三填空题（共14小题）36已知三棱锥满足，则该三棱锥体积的最大值为【解答】解：如图，取中点，连接，可得，平面，设，当平面平面时，三棱锥体积最大，此时，当时，当时，故答案为：37设，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为【解答】解：设，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，解得，球心为，三角形 的外心为，显然在的延长线与球的交点如图：，则三棱锥高的最大值为：6，则三棱锥体积的最大值为：故答案为：38点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为2，则的取值范围是，【解答】解

17、：点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，可知：平面与直线垂直，所以在线段上，正方体的棱长为2，所以的最小值为，最大值为2则的取值范围是，故答案为：，39如图，在棱长为2的正方体中，点是中点，动点在底面内（不包括边界），使四面体体积为，则的最小值是【解答】解：由题意，故将底面建立一个如下图所示的平面直角坐标系：，在中，根据题意，动点为底面内任意一点，设，交于点，则解得动点的轨迹为与直线距离为的一条平行线又，直线，即点到直线距离点到到点的最小距离点到到点的最小值为故答案为：40棱长为1的正方体如图所示，分别为直线，上的动点，则线段长度的最小值为【解答】解：棱长为1的正方体如图所示，分别为直线，上

18、的动点，线段长度的最小值是异面直线与间的距离，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，1，1，1，1，1，线段长度的最小值：故答案为：41如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点当在平面，上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为，当时，（填“”或“”或“” ；的最大值为【解答】解：设在平面和平面上的投影分别为，则、到平面的距离相等，即，设在底面的投影为，则在上，设且，则，当时，取得最大值故答案为：，42在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是线段上的动点，点是线段上的动点，设直线与平面所成的角为，则的最大值为【解答】解：如图，不妨取为，直线在平面中，直线与平面所成的角的最大

19、值就是二面角的大小，过作，连结，就是所求角正方体的棱长为1，故答案为：43如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，为圆上的点，分别是以，为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得，重合，得到三棱锥当所得三棱锥体积（单位：最大时，的边长为【解答】解：由题意，连接，交于点，由题意得，设，则，三棱锥的高，则，令，令，即，解得，则（2），体积最大值为此时的边长为故答案为：44在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为【解答】解：连接，则，点、在平面中，且，如图1所示；在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则，；设点关于直线的对称点为，的方程为，直线的方程为，由组成方程组，解得，直线与的交点，；所以对称点，故答案为：45在正方体中，为棱的中点，且，点为底面所在平面上一点，若直线，与底面所成的角相等，则动点的轨迹所围成的几何图形的