新高考数学二轮专题《数列》第14讲 数阵问题（数列群问题）（解析版）

1、第14讲 数阵问题（数列群问题） 一选择题（共7小题）1把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，依次循环的规律分为（1），9，21，则第50个括号内各数之和为A98B197C390D392【解析】解：由题意可得，将三个括号作为一组，则由，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列的第项，第50个括号的第一个数为数列的第项，即，第二个数是，所以第50个括号内各数之和为，故选：2把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一

2、个数，循环分为：（3），11，17，19，31，37，39，则第60个括号内各数之和为A1112B1168C1176D1192【解析】解：括号里的数有规律：即每四个一组，里面的数都是，所以到第60个括号时共有数个数，第150个数是所以第60个括号里的数之和为，故选：3几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数：第20

3、17行的第项为2的正整数幂已知，那么该款软件的激活码是A1040B1045C1060D1065【解析】解：由数表推得，每一行都是等差数列，第行的公差为，记第行的第个数为，则，算得，第2017行的第项为2的正整数幂，即，最小四位整数当，满足题意，故选：4几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，在接下来的三项式，依此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂那么该款软

4、件的激活码是A110B220C330D440【解析】由题意可知：，根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，每项含有的项数为：1，2，3，总共的项数为，所有项数的和为，由题意可知：为2的整数幂只需将消去即可，则，解得：，总共有，不满足，解得：，总共有，不满足，解得：，总共有，不满足，解得：，总共有，满足，该款软件的激活码440故选：5如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为A13B14C15D16【解析】解：第行第列的数记为，那么每一组与的组合就是表中的一个数，因为第一行数组成的数列是以2为首相，公差为1的等差数列，所以，所以第列数组成的数列，2，是以

5、为首项，公差为的等差数列，所以，令，则，所以145出现的次数为故选：6设为最接近的整数，如（1），（2），（3），（4），（5），若正整数满足，则ABCD【解析】解：第一组：，共2个，之和为2；第二组：，共4个，之和为2；第三组：，个，之和为2；第四组：，共8个，之和为2；第组：共个，之和为2；，故一共有2017组，则，故选：7如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推若2013是第行从左至右算的第个数字，则为ABCD【解析】解：由每行的行号数和这一行的数字的

6、个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，可得第63行的数字从左向右依次减小，可求出第63行最左边的一个数是，从左至右的第4个数应是故2013在第63行，第4列，故选：二填空题（共8小题）8几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合例如：，5，6，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为376；定义现指定，将集合，的元素从小到大排列组成数列，若将的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为【解析】解：集合，当，时，当时，所以

7、，17，18，共有16个元素，故激活码为；结合二进制表示，当时，的各项可以看成首位为1的六位二进制数，对于，符合条件的有8个数，同理，对于，时，符合条件的也分别有8个数，故激活码为，故答案为376；7609如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行：数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第5个数字为195【解析】解：由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，故前行共有：个整数，故第行的第一个数为：，第20行的数字从左

8、向右依次增大，可求出第20行最左边的一个数是191，第20行从左至右的第5个数字应是195故答案为：19510“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中就有出现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，则在该数列中，第35项是136【解析】解：奇数项是后一个数，每行2个数，则第35项在18行第3个数，从第3行开始斜行1，3，6，10，

9、即为，则18行第3个数为，故答案为：13611杨辉三角（如图）是二项式系数在三角形中的一种几何排列它是我国古代数学的杰出研究成果之一，将二项式系数图形化，是一种离散型的数形结合杨辉三角蕴含了许多有趣的规律，比如：除1以外，所有正整数在如图中都出现有限次，如2出现1次，3和4都出现2次，试判断数字120在图形中共出现2次【解析】解：根据杨辉三角的排列规律： 1 11 2 1，1 21 35 35 21 11 22 56 70 56 22 11 23 78 126 126 78 23 11 24 101 204 252 204 101 24 1根据杨辉三角，120只出现的位置为两边的数，中间不可能

10、出现，由于对称性的存在，所以120出现的次数为2故答案为：212“杨辉三角形”是二项式系数在三角形中的一种几何排列在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来下面数表类似“杨辉三角”，从上到下分别为第1行、第2行、第3行、第行、它满足：第行首尾的数均为；第行除首尾的数外，每一个数都等于它肩上（即第行）两个数之和记第行的第二个数为，则1771【解析】解：根据题意：（3）（2），（4）（3），（5）（4），以上个式子左右分别相加，得，所以，于是

11、故答案为：177113杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列前135项和为【解析】解：杨辉三角形中各行的数字和，第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前项和为，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等

12、差数列，则，可得当，即杨辉三角形中的第17行，再加上第18行的前15项时，所有项的个数和为135，由于最右侧为2，3，4，5，为个首项是2、公差为1的等差数列，则第18行的第17项为17，则杨辉三角形的前18项的和为，则此数列前135项的和为，故答案为：14分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列203490（或；并判断其奇偶性（选填“奇”或“偶” 【解析】解：观察所给数据可得，第22行第9个数是的第9项二项式系数，由二项式定理可知，的第9项二项式系数为：这个数是偶数故答案为：203490（或；偶15我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图所示的由数字0和1组