十变化率与导数、导数计算

1、第十节变化率与导数、导数的计算【最新考纲】1了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数y=C（C为常数）,y1_=x,y=-，y=x2,y=x3,y=.x的导数.4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数（仅限于形如y=f（ax+b）的复合函数）的导数.夯罢双基夯罢双基）|基础梳理导数的概念（1）函数在広=心处的导数；定义：称函数y=f（）在无=工。处的瞬时变化率応心。+管）一*%）=恤护为函数严念）在Xr-0疋27文工=工。处的导数，记作fGQ或”丨工一、O即心）=恤护=1血竺埠二厶*丄

2、*工m几何意义：函数*工）在点忑处的导数#（吧）的几何意义是曲线S在点（工。JJ。）处的切线斜率.相应地，切线方程为歹/（並）（孔）（JT码）*（2）函数于（文）的导函数：称函数fa）=lin/5十罗为八工）的导函数.Ar0J?基本初等函数的导数公式原函数导两数/（T）=*才一1/(工)=sin工ff(.JC)cos工f(jr)=cosjc厂（工）=sinjcf(x)=aTff(t)=aTna(u0)/3=兰/(J7)=10gaJ7/3=j-lna/(j?)=lnjrr（-）=工导数的运算法则（土gCr）丁=/工）主g*Gr）:（2f（Qg（K）了=尸（工）&（工+子（工（工）；（3）輕，=十

3、3（,）一打/VQ）（g3H0）.Lg（H）_T（4）复合函数的导数设w=v（j?）在点工处可导,y=f（tO在点u处可导，则复合函数代讥工）在点jc处口导，且严（工）=f（u）（即必=必*|学情自测(质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“”，错误的打“X”)TOCo1-5hzf0)与(f(Xo)表示的意义相同.()求厂(X寸，可先求f(xo)再求厂0X()曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()若f(x)=e2x，则f(x)e2x.()答案：x(2)X(3)V(4)X某汽车的路程函数是s(t)=2t3-2gt2(g=10m/s2),则当t=2s时，汽车的加速度是()A.14m/sB.4

4、m/s2C.10m/s2D.4m/s2解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t)=s(t)6t2gt,则V(t)=12tg,故当t=2s时，汽车的加速度是V(2)12X210=14(m/s2).答案：A已知曲线y=x4+ax2+1在点(1,a+2)处切线的斜率为8,则a=()A.9B.6C.9D.6解析：y=4x3+2ax，由导数的几何意义知在点(一1,a+2)处的切线斜率k=y|x=-1=42a=8,解得a=6.答案：D(2015课标全国I卷)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),贝Sa=.解析：丁f(x)3ax2+1,f(1)=3a+1.又f(1)=

5、a+2,切线方程为y(a+2)=(3a+1)(x-1).T切线过点(2,7),7(a+2)=3a+1,解得a=1.答案：1TOCo1-5hz5.(2015天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x(0,+)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(尊3,则a的值为.(们解析：fIx=alnx+xJ=a(1+Inx).由于f(1=)a(1+In1)=a,又f(射3,所以a=3.答案：31名师微博通法领悟卜-一两种区别曲线y=f(x)“在点P(xo,yo)处的切线”与“过点P(xo,yo)的切线”的区别：前者P(x。，yo)为切点，而后者P(xo,y。)不一定为切点.曲线的切线与曲线的公共点

6、的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2f(Xo)代表函数f(x)在x=xo处的导数值；(f(Xo)是函数值f(xo)的导数，而函数值f(xo)是一个常量，其导数一定为o,即(f(xo)=o.对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零.一、选择题31.已知物体的运动方程为s=t2+3（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为（）A19A.4B17B.4小1513C4D43解析：Ts=2t.2,st=2=44=134.答案：D2.若f(x)=2xf(+x2，则f(等于()A

7、.2B.0C.-2D.-4解析：f(x=2f(+2x,A令x=1,得f(t)2,f(0)=2f()4.答案：D3.若曲线y=ax在x=0处的切线方程是xln2+y1=0则a=()1A2B.21C.In2D.In解析：由题知，y=axlna,yx=0=Ina,又切点为(0,1),1故切线方程为xlnay+1=0,二a=2答案：A1TOCo1-5hz4.(2016佛山一中月考)曲线y=尹2+x在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.1B.2c42C.3D.31解析：丁y=?x2+x,.y=x+1,切线在点(2,4)处的斜率为3,由直线的点斜式方程可得切线方程为y4=3(x2),即卩

8、3xy2=0.2令x=0,得y=2;令y=0,得x=3.122所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S=2x|2|x3=3.答案：D5.已知y=f(x)是可导函数，如图，直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),gf(x)是g(x)的导函数，贝SgD.4解析：由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于一3,1-f(3)=-3，Tg(x)=xf(x)，二g(x)=f(x)+xf(x)二g(3)=f(3)+3f)3(们又由题图可知f(3)=1,所以g(3)1+3x-3=0.答案：B16.已知曲线y=则曲线的切线斜率取得最大值时的切线方程为(x+4y2=0B.x

9、4y+2=04x+2y1=0D.ex解析：y=(ex+1)24x2y1=0TOCo1-5hz11=1，因为ex0所以ex+xex+P处的切线斜率k2=m2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k2=1,所以m=1,n=1,则点P的坐标为(1,1).答案：(1,1)三、解答题10.求下列函数的导数.121(1)y=xnlgx;(2)y=X+7+X3；(3)y=logasinx(a0且1).解：(1)y=nxn1lgx+xnx+2ee2exx：x=2(当且仅当ex=1x,即x=0时取等号),贝卩ex+!+24,ee11故y=10)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.解析：y=ex，曲线y=ex在点(0,

10、1)处的切线的斜率k-=e0=1,111设P(m,n),y=x(x0)的导数为y=x2(x0)，曲线y=x(x0)在点1ni1=x(nlgx+In10).仝+31(2)y=i-1丿+1)牛(2x2)+(x3)=X24x_33x_4(3)令y=logau,u=sin兀,11logaey=logae*cosx=logae=uatanxatanx211.已知函数f(x)=xx，g(x)=a(2lnx)(a0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线.2a解：根据题意有f(x)1+2,g(x)=-.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f(=3,曲线y=g(x