三角形的外角【公开课教案】

1、7.5三角形内角和定理第2课时三角形的外角第一环节：情境引入活动内容：在证明三角形内角和定理时，用到了把ABC的一边BC延长得到/ACD,这个角叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质.活动目的：引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。注意事项：教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。第二环节：探索新知活动内容：三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角，结合图形指明外角的特征有三：顶点在三角形的一个顶点上.条边是三角形的一边.另一条边是三角形某条边的延长线.两个推论及其应用由学生探讨三角

2、形外角的性质：问题1:如图，ABC中，/A=70，ZB=60，ZACD是ABC的一个外角，能由/A、/B求出/ACD吗？如果能，/ACD与ZA、/B有什么关系？CD问题2:任意一个厶ABC的个外角ZACD与ZA、ZB的大小会有什么关系呢?由学生归纳得出：推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.例1、已知：/BAF,/CBD,/ACE是厶ABC的三个外角.求证：/BAF+/CBD+/ACE=360分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证.证明：（略）.例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,/

3、A=62。，/ACD=35，/ABE=20。.求：（1）/BDC度数；（2）/BFD度数.解:（略）.活动目的：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考.注意事项：新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。第三环节：课堂练习活动内容：已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角/EAC，/B=/C.求证：AD/BC分析：要证明AD/BC,只需证明“同位角相等”，即需证明/DAE=/B.证明：/的和）:EAC=/B+/C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角/B=/C（已知）C/B=1/EA

4、C（等式的性质）2AD平分/EAC（已知）/DAE=1/EAC（角平分线的定义）2/DAE=ZB（等量代换）AD/BC（同位角相等，两直线平行）想一想，还有没有其他的证明方法呢？这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证证明：I/EAC=/B+ZC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）ZB=ZC（已知）ZC=1ZEAC（等式的性质）2AD平分ZEAC（已知）ZDAC=1ZEAC（角平分线的定义）2ZDAC=ZC（等量代换）AD/BC（内错角相等，两直线平行）还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：TZEAC=ZB+ZC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）ZB=Z

5、C（已知）ZC=1ZEAC（等式的性质）2AD平分ZEAC（已知）ZDAC=1ZEAC2ZDAC=ZC（等量代换）vZB+ZBAC+ZC=180oZB+ZBAC+ZDAC=180即：ZB+ZDAB=180AD/BC（同旁内角互补，两直线平行）D已知：如图，在三角形ABC中，/1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：/1/2.证明：I/1是厶ABC的一个外角（已知）/1/ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）V/ACB是厶CDE的一个外角（已知）/ACB/2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）/1/2（不等式的性质）.如图，求证：（1）/BD

6、C/A.(2)/BDC=/B+/C+/A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解掌握三角形的内角和定理及推论证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则/1是厶ABD的一个外角，/2是厶ACD的一个外角./1/3./2/4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）/1+/2/3+/4（不等式的性质）即：/BDC/BAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则/1是厶ABD的一个外角，/2是厶ACD的一个外角./仁/3+/B/2=Z4+ZC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）/1+Z2=/3+Z4+ZB+ZC（等

7、式的性质）即:/BDC=ZB+ZC+ZBAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E）,如图.则ZBDC是厶CDE的一个外角.ZBDCZDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）vZDEC是厶ABE的一个外角（已作）ZDECZA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）ZBDCZA（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E,则ZBDC是厶DCE的一个外角.ZBDC=ZC+ZDEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）vZDEC是厶ABE的一个外角ZDEC=ZA+ZB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）ZBDC=ZB+ZC+ZBAC（等量代换

8、）活动目的：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习.注意事项：学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角ZACB，由Z1ZACB，ZACBZ2,再由不等关系的传递性得出Z1Z2。第四环节：课堂反思与小结活动内容：1会确定正比例函数的表达式；(重点)由学生自行归纳本节课所学知识:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.活动目的：复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力.注意事

9、项：学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。课后练习：课本第244页的随堂练习第1题，习题6.7题第1,2,3题。思考题：课本245页第4题(给学有余力的同学做)教学反思教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。本节课的教学设计力图具有以下几个特色：充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，

10、为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。4.4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式2.会确定一次函数的表达式.(重点)O正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4,3),B为一次函数的、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了.二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式D求正比例函数y=(m4)m15的表达式.解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的

11、，即自变量的指数为1，系数不为0,这种类型简称为定义式.解：由正比例函数的定义知吊一15=1且m4工0,二m=4,.y=8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式D已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,5)两点，求一次函数的表达式.解析：先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,5)两点,所以当x=0时，y=5;当x=2时，y=5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可.解：设一次函数的表达式为y=kx+b,根

12、据题意得，5=b,一5=2k+b.解得t=_5,b=5.一次函数的表达式为y=5x+5.y=kx+b中有两个方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.【类型二】根据图象确定一次函数的表达式1321d234丄9V图象与y轴的交点，且OA=20B.求正比例函数与一次函数的表达式.解析：根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出0A的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.解：设正比例函数的表达式为yi=kix,一次函数的表达式为y2=k2x+b.t点A(4,3)3是它

13、们的交点，二代入上述表达式中，得3=4ki,3=4k2+b.ki=4,即正比例函数的表达TOC o 1-5 h z3I225式为y=4X.t0A=13+4=5,且0A=20B二0B=空.点B在y轴的负半轴上，二B点的一55坐标为(0,)-又t点B在一次函数y2=k2x+b的图象上，/-=b,代入3=4k2+b中,11115得k2=-.一次函数的表达式为y2=rx-.882方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式.【类型三】根据实际问题确定一次函数的表达式I4某商店售货时，在

14、进价的基础上加定利润，其数量x与售价y的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价数量X/千克售价y/元18+0.4216+0.8324+1.2432+1.6540+2.0解析：从图表中可以看出售价由8+0.4依次向下扩大到2倍、3倍、解：由表中信息，得y=(8+0.4)x=8.4x,即售价y与数量x的函数关系式为y=8.4x.当x=2.5时，y=8.4X2.5=21.所以数量是2.5千克时的售价是21元.方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答.三、板书

15、设计确定一次函数表达式正比例函数y=kx(k丰0)一次函数y=kx+b(kz0)经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维.2.2平方根第1课时算术平方根了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点)根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点)3.了解算术平方根的性质.(难点)一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大正方形，那么有a2=2,a=,2是有理数，而a是无理数

16、.在前面我们学过若x2=a,贝Ua叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64;(2)2会确定正比例函数的表达式；（重点）;(3)0.36;(4)412-402.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可.解：(1)v8=64,二64的算术平方根是8;1_2=9一132-的算术平方根是-;2v0.6=0.36,0.36的算术平方根是0.6;v412-402=81，又92=81,二.81=9,而32=9,二412-402的算术平方根是3.方法总结：(1)

17、求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求.81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑.(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用.【类型二】利用算术平方根的定义求值WE3+a的算术平方根是5，求a的值.解析：先根据算术平方根的定义，求出3+a的值，再求a.解：因为52=25,所以25的算术平方根是5，即3+a=25,所以a=22.方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题.探究点二：算术平方根的性质【类型一】含算术平方根式子的运算.计算49+.；9+16y225.解析：首先根据算术平方根的定义进

18、行开方运算，再进行加减运算.解：49+9+16225=7+5-15=-3.方法总结：解题时容易出现如9+16=9+16的错误.【类型二】算术平方根的非负性14已知x,y为有理数，且x-1+3（y-2）解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性,2=0,求xy的值.即a0,a120,由几个非负数相加和为0,可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案.解：由题意可得x1=0,y2=0，所以x=1,y=2.所以xy=12=1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即,a0,|a|0,a会确定一次函数的表达式.（重点）0,当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计概

19、念：非负数a的算术平方根记作算术平方根性质：双重非负性a0,.a0让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化.概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的.概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化.4.4一次函数的应用第1课时确定一次函数的表达式、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图.你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了.二、合作探究探究点一：确

20、定正比例函数的表达式E*求正比例函数y=(m4)m215的表达式.解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0,这种类型简称为定义式.解：由正比例函数的定义知吊一15=1且m4工0,二m=4,.y=8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】根据给定的点确定一次函数的表达式E)已知一次函数的图象经过(0,5)、(2,5)两点，求一次函数的表达式.解析：先设一次函数的表达式为y=kx+b,因为它的图象经过(0,5)、(2,5)两点,所以当x=0时，y=5;当x=2时，y=5.由此可以得到两

21、个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可.解：设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意得，5=b,一5=2k+b.k=5解得*b=5.一次函数的表达式为y=5x+5.方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型.二次函数y=kx+b中有两个待定系数k、b,因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式.113正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4,3),B为一次函数的【类型二】根据图象确定一次函数的表达式1飞2/f1o1341图象与y轴的交点，且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.解析：根据A(4,3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式.解：设正比例函数的表达式为y1=k1X,次函数的表达式为y2=k2x+b.t点A(4,3)3是它们的交点，二代入上述表达式中，得3=4k