2022年新高考数学二轮提升数列专题第23讲《数列的新定义问题》（原卷版）

1、第23讲 数列的新定义问题 一、单选题1（2021全国高二课时练习）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）A99B131C139D1412（2021北京东直门中学高二月考）在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列.是等积数列，且，公积为，则的值是（ ）ABC

2、D3（2021江苏苏州高三月考）若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.已知，且，数列的前项和，若，则的值为（ ）A9B11C12D144（2021宁夏六盘山高级中学高二月考（理）对于正项数列，定义为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的等于（ ）ABCD5（2021湖北黄石高三开学考试）普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生以1为首项的“外观数列”记作，其中为1，11，21，1211，111221，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因

3、此第三项为21；第三项外观上看是1个2，1个1，因此第四项为1211，按照相同的规则可得其它项，例如为3，13，1113，3113，132113，若的第n项记作，的第n项记作，其中i，若，则的前n项和为（ ）ABCD6（2021贵州威宁高一期末）对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD7（2021全国高三专题练习（文）对任一实数列，定义，若，则（ ）A1000B2000C2003D40068（2021江苏高二单元测试）对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（

4、 ）A首项为1，公比为的等比数列是有界数列B若数列是有界数列，则数列是有界数列C若数列是有界数列，则数列是有界数列D若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列9（2021湖南长郡中学高二期中）对任一实数序列，定义序列，它的第项为.假定序列的所有项都为1，且，则（ ）A1000B2000C2003D400610（2020江苏省梁丰高级中学高二期中）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项

5、是，再接下来的三项是，依此类推.求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）A95B105C115D12511（2021山东嘉祥县第一中学高三期中）在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法已知数列满足，则（ ）ABCD二、多选题12（2021全国高二课时练习）在数列中，若（，p为常数），则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）A若是等方差数列，则是等差数列B若是等方差数列，则是等方差数列C数列是等方差数列D若是等方差数列，则（，

6、k为常数）也是等方差数列13（2021江苏苏州中学高二月考）已知数列中的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，下列结论，正确的有（ ）A常数数列为“和谐数列”B为“和谐数列”C为“和谐数列”D若公差为的等差数列满足：为“和谐数列”，则的最小值为-214（2021全国高二单元测试）设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”则以下数列为“数列”的是（ ）A是等差数列，且，公差B是等比数列，且公比满足CD，15（2021全国高二课时练习）记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”下列说法正确的是（ ）A若数列是等差数列，且公

7、差，则数列是“和有界数列”B若数列是等差数列，且数列是“和有界数列”，则公差C若数列是等比数列，且公比满足，则数列是“和有界数列”D若数列是等比数列，且数列是“和有界数列”，则公比满足16（2021广东天河高三月考）在数列中，若（，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确的是（ ）A是开方差数列B若是开方差数列，则是等差数列C若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）D若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列17（2021江苏高二专题练习）在数列中，对任意，都有（为常数），则称为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断正确的是（ ）A不可能为0；B等差数列一定是等差比数列；

8、C等比数列一定是等差比数列；D通项公式为的数列一定是等差比数列18（2021江苏高三专题练习）在数列an中，若为常数），则an称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）A若an是等方差数列，则an2是等差数列B若an是等方差数列，则an2是等方差数列C（1）n是等方差数列D若an是等方差数列，则akn（kN*，k为常数）也是等方差数列三、双空题19（2021全国模拟预测）定义：记满足下列两个条件的有穷数列为n阶“期待数列”.；.试写出一个3阶“期待数列”_；若2021阶“期待数列”是递增的等差数列，则_.20（2021全国高二课时练习）对于数列，若任意，都有（为常数）成

9、立，则称数列具有性质（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为_；（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是_21（2021湖北汉阳一中模拟预测）牛顿选代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的次近似值一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值设的零点为，取，则的次近似值为_；设，数列的前项积为若任意恒成立，则整数的最小值为_22（2021全国高二课

10、时练习）数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则_，_四、填空题23（2020江苏江阴市成化高级中学高二月考）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中.若，且，则数列的通项公式为_.24（2021河南三门峡高三月考（理）在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列结论：等比数列一定是比等差数列；等差数列一定不是比等差数列；若，则是比等差数列，且比公差为；若数列是公差不为零的等差数列，是等比数列，则数列一定不是比等差数列.其中正确的有_.（填序号）25（2021江苏高二单元测试）取出数列的任意连续四项，若其中

11、奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数（如连续四项，满足），则称数列为错位等和数列，其中常数是公和.若表示的前项和，有如下命题：（1）若一个等差数列是错位等和数列，则；（2）若一个等比数列是错位等和数列，则；（3）若，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列；（4）在错位等和数列中，且，若是偶数，则；其中，真命题的序号是_26（2021广东东莞市光明中学高三开学考试）若有穷数列，（m为正整数）满足条件：，则称其为“对称”数列例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列已知在21项的“对称”数列中，是以1为首项，2为公差的等差数列，则_五、解答题27（2021江苏高二单

12、元测试）对于数列，定义为数列的差分数列，其中如果对任意的，都有，则称数列为差分增数列（1）已知数列为差分增数列，求实数的取值范围；（2）已知数列为差分增数列，且，若，求非零自然数k的最大值；（3）已知项数为2k的数列（）是差分增数列，且所有项的和等于k，证明：28（2020江苏模拟预测）对数列an，规定an为数列an的一阶差分数列，其中anan+1an（nN*），规定2an为an的二阶差分数列，其中2anan+1an（nN*）.（1）数列an的通项公式（nN*），试判断an，2an是否为等差数列，请说明理由？（2）数列bn是公比为q的正项等比数列，且q2，对于任意的nN*，都存在mN*，使得2bnbm，求q所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列cn的前n项和为Sn，且2cn0，对满足m+n2k，mn的任意正整数m、n、k，都有cmcn，且不等式Sm+SntSk恒成立，求实数t的最大值.29（2020黑龙江哈师大附中高二开学考试（理）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，点在函数的图象上，其中为正整数（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值30（2019北京顺义二模（理）在数列中，若（，为常数），则称为“平方等差数列” （）若数列是“