2021国家公务员考试行测数量关系备考：剩余定理问题

1、2021 国家公务员考试行测数量关系备考：剩余定理问公务员考试数学运算部分，我们常用到整除的思想，但是有些题目我们会发觉题目中的被除数不满足能被整除的条件，即有余数，有一类题目称为剩余问题，常见形式为一个数同时满足除以 a 余 x ，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质，求满足这样条件的数。对于这类题目我们在没有学习剩余定理之前往往只能采用枚举法来解决，而这种方法是比较繁琐的，在行测考试中时间对大家来说是最重要的，所以掌握此种题型的解题方法对大家在做题准确率以及做题速度上都有很大协助。下面结合具体的例子给大家做一详细的讲解。剩余问题的解法：特殊情况余同 ( 余数相同 ) 加余【例题1

2、】某校二年级全部共3个班的学生排队，每排4人， 5人或 6 人，最后一排都只有2 人，这个学校二年级有( ) 名学生。A.120 B.122 C.121 D.123【答案】 B【解析】方法一：代入排除法( 略)方法二：由题意可知该校二年级的学生人数除以 4、 5 、 6 均余 2，余数相同，属于余同，所以该班学生人数满足通项公式 N=60n+2 ，(n=0,1,2,3 )，当 n=2 时，N=122，选择 B 项。注： n 前面的系数60 是取 4 、 5、 6 三个除数的最小公倍数。和同 ( 除数和余数的和相同 ) 加和【例题2】某个数除以5 余 3，除以6 余 2，除以7 余 1 ，求在

3、0至 500 内满足这样的自然数有多少个?A.3 B.2 C.4 D.5【答案】 A【解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为 8，则 该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2)所以在0至500以内满足题干 条件的自然数有8,218,428 三个数。注： n 前面的系数210 是取5、 6、 7 三个除数的最小公倍数。差同 ( 除数与余数之差相同 ) 减差【例题3】三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150 级之间，第一位运动员每次跨3 级台阶，最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶，最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨5 级台阶，最后一步还剩 4 级

4、台阶。问：这些台阶总共有多少级?A. 119 B. 121 C. 129 D. 131【答案】 A【解析】方法一：代入排除法( 略) 。方法二：通过观察我们会发现除数与余数的差均为 1，所以台阶数 满足：N=60n-1(n=1,2,3)，可发现A项满足该通项公式。一般情况用同余特性解题【例题4】三位数的自然数P满足：除以3余2,除以7余3,除 以11余4,则符合条件的自然数P有多少个？A.5 B. 4 C. 6 D. 7【解析】此题不满足所给的条件不满足我们前面所讲的特殊情况，但是通过观察我们发现，P满足除以3余2,除以7余3两个条件时， 在P的基础上加上4,即(P+4)这个数一定是能够被3整

5、除以及被7整除 的，所以(P+4)=21n,所以P=21n-4，得到的这个通项公式再与 除以11余4实行找通项公式。该自然数 P=21n-4=11a+4,等式左边都是 被 11 除，等式左边的余数为 10n-4, 等式右边的余数为 4，我们知道一 个数被 11 除余 4，也能够认为这个数被11 除余 15，或被 11 除余 26等。根据同余特性可知，等式左边的余数10n-4 应与等式右边的余数4,15,26等数值相等。因为n要取整数，所以取10n-4=26能够得至U n=3代入式得到P=59,所求的59这个数是满足题干三个条件的最小 数，所以，满足题干三个条件的数P=231n+59(n=1,2

6、,3)，所以在三位数以内的数有290,521,752,983四个数。选择B项。 TOC o 1-5 h z 【例题5】一个自然数P同时满足除以3余1,除以4余3,除以 7余 4，求满足这样条件的三位数共有多少个?A.10 B.11 C.12 D.13【答案】 B【解析】先取其中两个条件，除以 3余 1，除以 4余 3，即 P=4n+3=3a+1等式两边同时除以3,等式左边的余数为n,等式右边的 余数为1,即n=1,代入上式可知满足上述两个条件的最小的数为7,则同时满足上述两条件的数的通项公式为P=12n+7，再将式所得的条件与题干中除以 7 余 4 的条件组合成新的条件。即满足题干中三 个条件的数P=12n+7=7b+4等式两边同时除以未知数较小的系数7,则左边余数为5n,等式右边的余数是4,也可认为余数是25,即 5n=25,求解得n=5,代入到式中，即同时满足题干中三个条