第三节可直线化的非线性回归分析

1、第三节 可直线化的非线性回归分析 非线性回归的直线化 倒数函数曲线 指数函数曲线 对数函数曲线 幂函数曲线 Logistic生长曲线 1 2 3 4 5 64321 1 2 3 4 5 64321直线关系曲线关系直线关系是两变量间最简单的一种关系。这种关系仅在变量的一定取值范围内可用，范围过大，散点图就偏离直线，需要借助于曲线描述。两变量间的非线性关系用来表示双变量间的关系有多种曲线。曲线类型直线类型直线回归方程曲线回归方程数据转化米氏方程 当反应速度等于最大速度一半时，即 V = 1/2 Vmax， Km = S 上式表示，米氏常数是反应速度为最大值的一半时的底物浓度。米氏常数的单位为mol

2、/L。Km 米氏常数Vmax 最大反应速度米氏常数Km的意义不同的酶具有不同Km值，它是酶的一个重要的特征物理常数。Km值只是在固定的底物，一定的温度和pH条件下，一定的缓冲体系中测定的，不同条件下具有不同的Km值。Km值表示酶与底物之间的亲和程度：Km值大表示亲和程度小，酶的催化活性低； Km值小表示亲和程度大，酶的催化活性高。 米氏常数的测定基本原则：将米氏方程变化成相当于y=ax+b的直线方程，再用作图法求出Km。 例：双倒数作图法1/Vmax斜率=Km/Vmax-1/Km酶的Km在实际应用中的意义鉴定酶：通过测定Km，可鉴别不同来源或相同来源但在不同发育阶段，不同生理状态下催化相同反应

3、的酶是否是属于同一种酶。判断酶的最适底物（天然底物） 。计算一定速度下底物浓度。了解酶的底物在体内具有的浓度水平。判断反应方向或趋势。判断抑制类型。专业知识、经验或文献确定曲线类型单细胞生物生长初期符合指数函数增长，但若考虑到生长一定时间后，后期生长受到抑制，其生长曲线变成“S”形。酶促反应动力学中的米氏方程是一种双曲线。一、确定曲线类型的方法1散点图的方法2通过散点图，确定曲线类型。如果几种类型可供选择，可多做几次回归，进行比较，再确定曲线类型。曲线回归的相关指数：反映回归曲线拟合度的高低，表示利用曲线回归方程进行估测的可靠程度的高低。直接引入新变量二、数据变换的方法1如令x=lgx:方程变

4、换后再引入新变量2如两边取对数令常用曲线模型的直线化方法曲线回归方程经尺度转换的新变量及参数直线化的方程yxa =(a+bx)/xy=yx =a+bx =1/(a+bx)y=1/y =a+bx =x/(a+bx)y=x/y =a+bx =ax+bx2y=y/x =a+bx =a+blnx x=lnx =a+bx =a+blgx x=lgx =a+bx =axby=lny x=lnx a=lna =a+bx =aebxy=lny a=lna =a+bx =axebxy=ln(y/x) a=lna =a+bx =1/(axb)y=ln(1/y) x=lnx a=lna =a+bx倒数函数曲线（1）

5、x的观测量无0值。（2）yx应具有专业意义，而不是抽象的量。（3）以y（y=yx）和x为坐标绘制出的散点图有明显的直线性。（4）y和x的相关系数显著。指数函数曲线对数函数曲线幂函数曲线S形曲线三 Logistic生长曲线特点开始增长缓慢，而在以后的某一范围内迅速增长，达到某限度后，增长又缓慢下来，曲线略呈拉长的“S”，因此，也称为S型曲线。0 xyK1+aK2K起始量终极量0 xyK1+aK2K拐点下凹上凸K 值确定方法 y是累积频率时： y无限增大的终极量应为100()，可用K=100表示。y是生长量或繁殖量时：四、存在问题不是所有非线性方程都能用变量代换线性化。即使方程类型不对时，变量代换

6、与线性回归仍可照常进行，但结果没有任何用途，强行使用会导致错误。只能使变换后数据的线性方程残差最小，采用线性化方法进行曲线回归后必须进行检验。第四节 多元线性回归分析一、多元线性回归模型二、多元线性回归方程的建立一、多元线性回归模型多元回归或复回归(multiple regression)：依变量依两个或两个以上自变量的回归。 (一) 多元回归的线性模型和多元回归方程式 依变量y同时受到m 个自变量x1、x2、xm 的影响，且这m 个自变量皆与y成线性关系，这m+1个变量的关系就形成m 元线性回归。 一个m元线性回归总体的线性数学模型为： 其中， 为随机误差，服从N( 0， )的正态分布， 为

7、离回归方差，其平方根为离回归标准差或回归估计标准误。 为x2, x3, xm固定不变时，x1每变动一个单位，y平均变动的相应单位数，称为x2, x3, xm固定不变时x1对y的偏回归系数（partial regression coefficient），简记作1，其样本估计值简记作b1，其余类推。 依次为y, x1 , x2, , xm的总体平均数，其样本估计值依次为若令 ，则多元线性回归的数学模型为：样本多元线性回归方程为： 或a为的样本估计值，a可由下式求出：二 多元回归统计数的计算同一元直线回归方程一样，多元线性回归方程也可根据最小二乘法建立:要使Q达到最小，就必须使b1, b2, ,bm的偏微分方程皆等于0，即有： 经整理，得到如下正规方程组： 则可得如下方程组：这个正规方程组可用矩阵表示为：若系数矩阵用A表示，未知元矩阵用b表示，常数矩阵用K表示： Ab=K为求解式中的b，一般应先求出A的逆矩阵A-1，令： 式中，A-1是一