浅议非傅立叶导热

1、浅议非傅立叶导热效应前言傅立叶定律是导热理论的基本定律，是经典导热理论建立的基础。傅立叶定 律作为导热理论的本构方程，在一个多世纪以来用以解决相关的各种工程实际问 题，并且所得结果能够与实际较好地吻合。然而，随着工程技术的发展，特别是 激光加热、金属快速凝固等现代高新技术的发展，带来了许多热作用时间极短、 瞬时热流密度极高、温度变化极为迅速的热传导问题。人们发现，传统的傅立叶 定律不再适用于这些超常规、超急速的热传导。这些超常热传递条件下出现的不 遵循傅立叶定律的热传导效应被人们称为非傅立叶导热效应。究其原因，是由稳 态热传导实验得到的傅立叶定律实际上隐含了这样一个假设：热量在介质中的传 播速

2、度为无限大。在这个假设下，导热过程中，只要瞬时热源一作用，瞬时热源 在瞬间发出的热量就会同时传遍整个介质，从而引起介质内温度的重新分布；反 过来，只要某时刻介质内有温度分布的变化，必然导致在该时刻热流瞬间传遍整 个介质。热量传播与温度分布是同步变化的，二者之间没有时间差。正文有关非傅立叶效应的研究最早在低温下进行的，Peshkov在超低温液氦II的 实验中发现热量以波动的形式以有限速度传播；Cattaneo和Vernotte通过对傅立 叶扩散模型的修正，得到了描述导热过程的CV方程；张清光基于热质与热质势的 概念，研究了稳态导热过程中的非傅立叶效应；蒋方明、刘登瀛提出了热、质非 经典传递过程的

3、“瞬态薄层”模型，导出双曲线热、质传递方程并以此为基础研 究超急速传热时球体内非稳态热传导的非傅立叶效应；Tzou分析了采用双曲型 模型描述温度场的基本原理，从宏观和微观的角度对传热现象进行了研究，发展 了更为完善的双相滞后（dual-phase-lagging）模型来描述非傅立叶导热现象；Tsai 等开辟了用分子动力学方法研究非傅立叶导热的先河，他们用分子动力学方法模 拟了各种波（应力波和温度波）在铁合金原子晶格中的传播。一、CV方程为了解释热波现象，Cattaneo和Vernotte先后分别提出了一个修正的导热定 律：尼=-k T（1）dt式中，T为温度；k为热导率；t为时间；T为驰豫时间

4、（对于一般的介质，T小 于10-1010-14S）。此方程通常被称为CV模型.CV模型联合能量方程得到的导热微 分方程为：8T+Tdta 2T=a 2T, dt 2其中，a=k/ pC是热扩散率。该方程为双曲型，从而使得温度场中热扰动的传播速 度为有限值。CV模型的一个重要特点是认为导热过程中能量是以波的形式传播 的，即热波传递现象，而不是傅立叶定律所指出的扩散形式。因为T比较小，通 常条件下（1）式可简化为傅立叶导热定律，但是，当热流随时间的变化很大时（例 如激光热脉冲）则会体现出热的波动传递性质。但是CV模型物理实质上仅考虑了热流的时间效应，当热扰动和热流都比较小时，热流在空间加速的惯性是

5、可以忽 略的；但是在描述较大的热扰动时，CV模型的结果在两个温度波峰叠加时会出现 负温度的非物理现象。二、基于热质理论的热波方程热质在流动过程中受到驱动力、阻力和惯性力的作用，傅立叶定律的本质是 驱动力和阻力的平衡，当考虑到热质所受的惯性力时，在低温和高热流密度条 件下的高导热材料中热流密度和温度梯度之间的线性关系将不再成立，表现出 明显的非傅立叶效应。根据牛顿第二运动定律，导出基于热质理论的热波方程：q +T七(pcT)6(pcT) 顶+lidX=lk式中，T为温度；k为热导率；uh为热质流动速度；q为热流密度；为物体的定容比 热。该式为基于热质理论得到的普适的导热方程，由于方程左侧相对于傅

6、立叶导 热定律增加了热流和温度分别对时间和空间的导数，基于热质理论得到的导热方 程是双曲型的波动方程。基于热质理论的热波方程则克服了CV模型的缺陷，较之 CV模型更符合物理真实性。三、“瞬态薄层”模型经典的传递方程（动量方程、热传导方程和质量传递方程）都存在着缺陷，其隐含着物理量（动量、热量和质量）在介质中的传播速度为无限大的假定。考虑到热、质传播的有限性，在傅立叶和费克方程中分别引入热松驰时间气和质松 驰时间妇，经推导可得双曲线热、质传递方程：V-XVTdshdtp cpVD Vp(r,t)+hhdtdt 2式中，5力和5分别为内热源和内质量源。显著的非经典热、质传递行为只可能存在于介质受热

7、扰动位置附近的极薄空 间尺度内，介质内其他部分的热、质传递仍然遵从经典的热、质传递定律，两部 分区域之间的分界面满足连续性边界条件。而且，“瞬态薄层”内的非经典传递 效应只可能在热、质扰动过后的极短瞬时存在。确定“瞬态薄层”厚度对非经典热、质传递的实际应用具有重大意义。对于受方 波脉冲热或质量源扰动的非经典热、质传递过程，其“瞬态薄层”厚度和如分 别有：ah顶物性参数，热扰动参数，几何参数）=/ a ,Th , q0, t , L ）3项物性参数，热扰动参数，几何参数）了 （ D ,t , m, Pt , L ）mm m 0 n /而且，介质的热松驰时间Th、热扩散系数1以及脉冲热扰动源的强度

8、q0与3h 有着正的相关关系，脉冲热扰动源瞬时性强弱t与3h有着负的相关关系；介质的 质松驰时间t、质扩散系数2以及脉冲质量扰动源的强度质0与3具有正的相关关 系，脉冲质量扰动源瞬时性强弱t与3有着负的相关关系。采用双曲型热传导方程，通过对此物体在表面遭受一温度突变时的超急速 热传导问题的分析与求解与理论计算，展示了该类用双曲型方程描述的球体超急 速热传导问题区别于常规傅立叶热传导的以下特征：（1）温度从球表面向内部传播时存在一明显的延迟，在某一位置处，温度传播 的延迟厂成线性关系；（2）热传导中非傅立叶效应的存在主要取决于无量纲参数，（它表征了材料 的热尺度，即分子的平均自由程与材料的特征物

9、理尺度之比）与无量纲参数（即 热作用条件的时间尺度与材料的热弛豫时间之比）；（3）当热传导或热作用时间与材料的热弛豫时间相当时，球体内部温度的升高 可能超过边界上作用的温度。四、双相滞后模型对于双曲型热传导方程，8力等人发现，在某些条件下得出的温度会低于绝 对零度，而且非傅立叶导热与热波并非等价。Tzou分析了采用双曲型模型描述 温度场的基本原理，从宏观和微观的角度对传热现象进行了研究，发展了更为完 善的双相滞后（dual-phase-lagging）模型来描述非傅立叶导热现象。它运用了 q （热流相位滞后）和& （温度相位滞后）两个延迟时间，进一步考虑了温度梯度 滞后于热流矢量的情况，双相滞

10、后（即DPL）模型是现今各种导热模型（包括傅 立叶导热模型）的归一化模型，在t，&取值不同的情况下，双相滞后模型可以 向其它模型转化。在滞后参数T、tT取值适当时，非傅里叶导热的双相滞后模型 可以定性地预测实验所观察到的温度的快速升降和波动现象。如果用双相滞后模型来描述热传导过程，则只有当T=&且同时为0时，热传 导才遵从傅立叶导热定律。而除此之外的T、TT的其他一切取值均应归属非傅立 叶导热范畴。，、&取值不同，非傅立叶导热将表现为不同的形式：StT/t =0时， 非傅立叶导热表现为热波形式；当0V&/TV1时，热传播以扩散和波动的混合方式 Tq进行。而且&愈大，热的扩散传播愈明显，T愈大，

11、热的波动特征愈明显；当时 二1时，非傅立叶导热形式有点类似于傅立叶定律所描述的热扩散传播方式，&、 T数值愈小，热传播方式愈趋近于遵从傅立叶导热定律；当& 1时，非傅立叶 导热形式表现为超扩散方式，介质内的热传播速度表观上比傅立叶扩散传播更 快。五、非傅立叶导热的分子动力学模拟热的非傅立叶传播现象归根结底是由于体系的各微观载热粒子的热弛豫造 成的。分子动力学模拟就是以分子（或其他徽观载热粒子）为基本研究现象，将系 统看做具有一定特征的分子集合，运用经典（或量子）力学的方法，通过研究微观 分子的运动规律，得到体系的宏观特性和基本规律的一种研究方法。其长处在于 通过事物微观现象的探索和模拟来认识并

12、揭示事物宏观表象的本质。非傅立叶导 热研究最大困难在于其微时间和微空间尺度性，用分子动力学方法研究非傅立叶 导热不仅可克服这一困难，而且可以充分发挥分子动力学研究方法的长处。蒋方 明等用分子动力学方法（MDS）模拟了固体Ar中热脉冲的传播，发现了热扰动 在固体介质中传播的时间延迟现象。结语极端热、质传递条件的非经典热、质传递问题具有较强的工程应用背景，是 当前传热传质领域的新兴热点。有关非傅立叶导热效应的研究工作主要集中在：（1）进一步揭示超常规、超急速热传导过程的物理机理；（2）从不同物理现象出发 建立模拟热传导中非傅立叶导热效应的理论模型及模型的求解；(3)用实验方法 进一步证实介质中非傅

13、立叶导热效应的存在，测定不同介质中热量的传播速度及 热弛豫时间；(4)非傅立叶导热效应的实际应用。超常规、超急速强瞬态热传导 带来的非傅立叶导热效应，是随着现代高新技术的发展而兴起的传热学研究新领 域。随着现代科学技术的迅猛发展，快速强瞬态传热过程必将越来越多地出现在 工程实际中，非傅立叶导热效应的研究工作必将会更广泛，不断得到发展和完善。参考文献 张浙，刘登瀛.非傅立叶热传导研究进展.力学进展.2000, 30(3): 446456.过增元.热质的运动和传递一热质和热子气.工程热物理学报.2006, 27(4): 631634.过增元，曹炳阳，朱宏晔等.声子气的状态方程和声子气运动的守恒方程

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