02电磁场理论基础

1、PAGE 01-PAGE 12电磁场理论基础本章主要介绍有关的电磁场理论基础知识和基本概念，包括麦克斯韦方程组，波动方程，平面波和球面波的概念，几何光学概念，费涅尔区和费涅尔半径，以及电磁波的极化等。这些知识是无线电波传播的基本出发点。2.1 麦克斯韦方程组麦克斯韦总结了法拉第等前人在电磁场方面的广泛研究成果，发展了一套完整的电磁场理论体系，把宏观电磁现象的客观规律高度概括地统一在一个方程组之中，该方程组被后人称之为麦克斯韦方程组，它由以下四个偏微分方程方程组成： （2.1） （2.2） （2.3） （2.4）以上公式使用的是有理化的MKS单位制。以上各式中，是电场强度，伏/米；是磁场强度，安

2、/米；是电位移矢量，库/米2；是磁感应强度，韦伯/米2；是自由电流密度，安/米2；是自由电荷密度，库/米3；是时间，秒；是微分算子： （2.5）其中，和分别为，和坐标的单位矢量。麦克斯韦方程组也可以用积分的形式表达。该方程组，对介质的性质没有限制，适用于均匀的和非均匀的，各向同性的和各向异性的，磁性的和非磁性的，色散的和非色散的介质；关于波与时间的关系也没有限制，对单色和非单色波均适用；和可以是时间和空间的任意函数，取决于初始条件和边界条件。可以把和理解为激发电磁波的源。它们之间由电荷守恒定律（也称连续性方程）联系起来： （2.6）这就是说，在任何封闭体积内，电荷随时间的变化是由通过该体积表面

3、的电流引起的。电位移矢量反映了介质的电极化特性，磁感应强度反映了介质的磁感应特性。和以及和分别由以下物质方程联系起来： （2.7） （2.8）其中，和分别为传播介质的介电常数和导磁系数。对各向同性介质和是标量，对各向异性介质和是张量。对于色散介质，和与频率有关，对于非色散介质和与频率无关。在实用化单位系统中，真空的介电常数和导磁率不等于1，它们分别为：，F/m （2.9），H/m （2.10）另外，还有一个补充方程，它就是欧姆定律，反映电流密度和电场强度之间的关系： （2.11）即，电流密度的方向与电场强度一致，它们的幅度之间成正比例关系。这里，是介质的导电率，代表介质导电性能的好坏，的介质称

4、为理想介质或称绝缘体，的介质称为理想导体。2.2 电磁场波动方程麦克斯韦方程组反映了四个矢量之间的联系。为了求解这些矢量，必须找到每个矢量各自满足的方程。事实上，我们只要求出和的解，根据物质方程(2.7)和(2.8)就不难确定和。在导出和的方程之前，为简单计，我们先作两个假定：1、介质是各向同性的，即和都是标量。这个假定适用于无线电波在低层大气中，特别是对流层中的传播，不适用于30 GHz以下频率的无线电波在电离层中的传播。2、场矢量和源皆为单色的。一般情况下，介质特性和与场强无关，即介质的极化强度和磁化强度正比于场强。此时，麦克斯韦方程是线性的，其解的叠加原理成立，即解的和或积仍然是解。因为

5、根据傅立叶积分，任何形式的时间函数，都可以表示成对单色波的积分，所以单色波的假定并不影响讨论的一般性。在这些假定之下，基于麦克斯韦方程组，经过一些数学推导，我们可以得到各向同性、非均匀介质中电场强度和磁场强度各自满足的方程如下所示： （2.12） （2.13）其中，为角频率，为周期，为频率，为介质的复介电常数。很显然，这是关于电场强度和磁场强度的波动方程。我们可以把上两式中由于介质的不均匀性而引起的第三和第四项理解为激发电磁波的源，事实上，波源还包括在第二项中，因为是复数。对于磁性上均匀（常数）的介质，波动方程（2.12）和（2.13）成为： （2.14） （2.15）对于电、磁性质度都均匀的

6、介质，电磁场的波动方程可进一步简化为： （2.16） （2.17）对于非损耗介质，因此，所以我们还可以得到： （2.18） （2.19）其中，参数被称为波数。2.3 波动方程的解2.3.1 平面波、球面波、等相面波动方程（2.16）式或（2.17）式中的电场强度和磁场强度是以向量的方式出现的，显然，电场强度和磁场强度的任一分量，都因满足所谓的亥姆霍兹方程 （2.20）其中可以是电场强度和磁场强度的任一分量。要严格求解波动方程中式（2.16）或式（2.17），需要知道传播介质的介电常数与导磁系数的空间分布特性以及电磁波传播中所要遭受的边界条件。但是我们知道，波动方程（2.16）式可以有以下形式的

7、特解： （2.21） （2.22）前者被称为平面波，后者被称为球面波，其中，和为常数。为由原点到观察点的矢径，为波矢量，波矢量的方向就是波传播的方向。波矢量的绝对值为：被称为波数。对于球面波而言，波传播方向与矢径的方向一致，所以有；而对于平面波，为矢径在波传播方向（即波矢量的方向）的投影。如式（2.20）和式（2.21）所示，为平面波的幅度，平面波的幅度为恒定的常数，则为球面波的幅度，球面波的幅度随距离的增加而降低；为平面波的相位，而则为球面波的相位。对于确定的时刻，具有相同相位的曲面称为等相位面，简称为等相面，有时也称为波阵面。对于平面波和球面波，其等相面方程分别表示为： （2.23） （2

8、.24）其中，为常数，取不同的值（即或取不同的值），可得到一系列互相平行的等相位面。由此可以看出，平面波的等相面为平面，球面波的等相面为球面，如图2.1所示。等相面 P o平面波的等相面 P o 等相面 球面波的等相面 图2.1 等相面 2.3.2 波速、相对介电常数、波长、周期波速随着时间的变化，具有确定相位的等相面将在空间中移动，其移动速度可以通过对等相面方程的时间微分而得到：，其中，代表平面波沿波矢量方向的相位传播速度，代表球面波沿波矢量方向（与矢径的方向一致）的相位传播速度，简称为相速。若以表示电磁波在介质中传播的相速，则 （2.25）电磁波在真空中传播的的速度则为 km/s其中为真空

9、中的光速，300,000公里/秒，为真空的介电常数，为真空的导磁系数。相对介电常数和相对导磁系数相对于真空的介电常数称为相对介电常数，相对于真空的导磁系数称为相对导磁系数：，另外，真空中的光速与介质中的传播速度之比被称为该介质的折射指数： （2.26）波数、波速、波长、周期根据（2.24）式，波数可以表示为： （2.27）其中，为真空中的波数。而波速则可以表示为： （2.28）另外，我们在引入波长和周期的概念。在任一确定的时刻，在等相面移动方向（即波矢量的方向或电波传播的方向）上，相位差等于2的两个相邻点之间的距离称为波长。据（2.22）式或（2.23）式，我们有其中，是与距离变化相应的相位变

10、化，令，则对应于距离差。因此，其中，是真空中的波长。类似地，我们引入波的周期的概念。在波传播的任一确定空间点上，若在某两个相邻时刻，波的相位差等于的话，那么这两个相邻时刻之间的时间间隔，被定义为波的周期。反之，每秒中所经历的振动周期数则是波的频率。与导出波长的表达式相类似，我们可以得到在这一节中，我们已经定义和讨论了表述单色波特性的相关参数，这包括波的频率（角频率）、幅度、相位、等相面、波数（波矢量）、波速、波长和周期等。无线电波的所有属性参数都与传播介质的电磁特性有关，特别应该指出的是，在有损介质和非均匀介质中，波的幅度不仅与距离有关，也与传播介质的电磁特性和相关的地面及其覆盖物等边界条件有

11、关，例如大气的吸收、大气湍流或雨对电波的散射等等均会引起电波幅度的衰减。另外，在上述的讨论中，波的频率和周期似乎与介质特性无关，但事实上，发射信号的目标或接收机或传播介质的快速移动均可以引起所谓的多普勒频移，招致接收信号频率的变化。对于射频信号被各种信息以各种方式调制的非单色波信号而言，还需要考虑信号的频谱特性、信号带宽、调制特性参数、数据速率等属性参数。再一个问题是，无线电波的电场强度和磁场强度均是矢量，无线电波作为横波，其电磁矢量是与波矢量（与波传播方向一致）相互垂直的。无线电波电场强度矢量的方向即是波的极化方向。无线电波的极化问题将在后面讨论。总而言之，无线电波传播的研究就是探索传播介质

12、和相关的边界条件对以上所述的无线电波的各种属性参数的影响，也就是对接收地点接收信号的各种特性的影响、对无线电通信质量的影响。2.4 自由空间传播2.4.1 自由空间自由空间传播是最简单的传播模型。严格意义上的自由空间，应该是均匀的、各向同性的、无介质损耗的无限空间。无限大的真空是自由空间的典型例子。在这样的空间中，无线电波的传播，不受介质的影响，也没有边界条件之累，除了因为空间扩散引起功率通量密度随距离的增加而降低之外，将不会出现任何其他的传播效应。自由空间损耗正是反映了无线电波在这种理想空间传播时引起的扩散损耗。在工程实践上，当电波传播路径远离地面、地物并且大气对电波传播的影响也可以忽略时，

13、我们可以近似地认为无线电波的传播是自由空间传播，此时传播预测可以采用自由空间传播模型。在其他复杂传播条件下，自由空间传播模型则仅仅可以作为一个参考标准。2.4.2 自由空间接收点功率通量密度如图2.2所示，设有用信号在发射机输出口的功率为，以瓦计；然后经由传输线，损耗倍（包括插入损耗）后，到达发射天线。最后，由发射天线把信号转变成无线电波发射出去。无线电波在空间中遭受一定的传播损耗之后，到达接收天线的口面。但是，如果我们假定是自由空间，那么，无线电波在这样的空间中传播不会有能量的消耗。所以，作为球面波的无线电波到达接收天线口面时的功率通量密度为：，W/m2 （2.29）其中，为发射功率，W；为

14、馈线损耗（包括插入损耗）系数，为发射天线在接收点方向上的增益系数，为是由发射站到接收站的传播路径距离。电波传播 LT AR AT LR TX RX 图2.2 无线电通信的一般模式 为方便工程实践中的应用，可将（2.29）式变换以下形式：，dB(W/m2) （2.30）其中，距离以km计；另外，dB(W/m2)，dBW，dB，dB2.4.3 自由空间接收场强功率通量密度通常可以表示为电场强度与磁场强度的乘积： （2.31）其中，为电场强度，为磁场强度。而为电场强度和为磁场强度之间又存在以下关系： （2.32）对于自由空间，考虑到式（2.9）和式（2.10），我们有： （2.33）其中，场强的单位

15、是V/m，的单位是W/m2。或者，如果使用dB(V/m)作为场强的单位，则我们有，dB(V/m) （2.34）其中，的单位是dB(W/m2)。考虑到式（2.30），自由空间场强可表示为：，dB(V/m) （2.35）其中，功率以dBW计，距离以km计。2.4.4 自由空间接收电平参看图2.2，自由空间接收电平，即接收机入口处的接收功率，应该等于自由空间功率通量密度乘以接收天线的有效面积，另外，还有考虑接收端馈线对接收信号的衰减（包括插入损耗）。因此，根据式（2.29），自由空间接收电平为：，W （2.36）其中，为接收天线的有效面积，m2；为接收端馈线对信号的衰减倍数。考虑到接收天线的有效面积

16、与天线功率方向性系数之间有以下关系：，m2 （2.37）其中，为波长，m；为接收天线的功率方向性系数，或称为功率增益系数。将式（2.37）代入式（2.36），并取对数，则得到，dBW （2.38）其中，接收电平，接收端馈线损耗；而定义为自由空间损耗，在第九章对此参数将有详细的讨论。2.5 费涅尔区和费涅尔半径 R T S 图2.3 波源T、二次辐射面S与接收点R 处理无线电波传播的问题，有两种经典的方法，一种是射线（几何光学）方法，另一种是波动法。波动法的最基本原理是惠更斯-费涅尔原理，它是处理波动问题的强有力的手段。惠更斯-费涅尔原理是说，波前的每一个小面元，都可以看做是能够产生球面子波的二

17、次辐射源中心，波在传播过程中，空间任何一点的辐射场，是波前上所有二次辐射源发射的球面波在该点互相干涉叠加的结果。事实上，电磁场波动理论严格证明，包围波源的任何曲面（不一定是波前）的每个面元都可以看作是二次辐射源，空间中任何一点的场强，同样是这些二次辐射源发射的球面波干涉叠加的结果。如果二次辐射源为平面，如图2.3所示，S为二次辐射源平面，T为辐射源，R为接收点，严格的理论证明，接收点R的场强可以表示为：其中，为球面波的幅度，为波长，积分是在二次辐射的P平面上进行的。这是惠更斯-费涅尔原理的严格数学表达式，称为平面情况下的克希荷夫公式。另一方面，利用费涅尔椭圆的作图方法，也可以导出与克希荷夫公式

18、类似的答案。但是，现在，费涅尔椭圆的实际意义在于它能定量地和形象地表征无线电波传播通道的开放或阻塞的程度。费涅尔椭圆的具体作图方法如图2.4所示，在发、收点连线TR上有一点O，令TO，RO。通过O点作一垂直于TR的平面S，该平面与通过TR的垂直平面的交线为PQ，在PQ上，取O1，O2，On点，使它们满足以下方程： （2.39）o O2 T P Q R O3 o1 图2.4 费涅尔椭圆 其中，为波长，为电路长度，。显然，在通过TR的垂直平面上，式（2.38）中，满足第个方程的所有点，都描述一个如图2.4所示的以T和R为焦点的椭圆。将该椭圆以TR为轴旋转360度，就得到满足第个方程的旋转椭球面。式

19、（2.38）中的每个方程都对应于一个旋转椭球面，旋转椭球面所包围的空间区域被称为费涅尔椭球。另外，O1，O2，On点旋转时在垂直于TR的S平面上形成相应的圆周，如图2.5所示。与之间的圆环被称为第个费涅尔带。第一费涅尔带是以OO1为半径的圆面。令，为第个费涅尔带（园环）的外半径，称为第费涅尔半径。P Q O1 O O2 O3 图2.5 费涅尔带与费涅尔半径 由图2.4，假定第费涅尔半径，则我们可以得到 （2.40）第一费涅尔半径为 （2.41）所以，工程实践中，更常使用以下经过参数变换和单位变换的第一费涅尔半径公式： （2.42）其中，为频率，以GHz计；距离，和均以km为单位。从上式可知，第

20、一费涅尔半径随频率的增加而变小。但与距离的关系是复杂的，一般随电路距离的增大而增大。在频率和电路距离一定的情况下，费涅尔半径与O点在传播电路TR上的位置有关，当O点在传播电路TR上的中点（即）时，费涅尔半径达到最大值，O点在传播电路TR上的位置愈偏离中点，费涅尔半径愈小。所以，在收、发点附近，较低的障碍就可以阻塞电波的主要通道。另外，容易证明，第各费涅尔带的面积为 （2.43）它与费涅尔区的阶数无关，也就是说，所有费涅尔带的面积都近似相等。由于园环的半径随费涅尔阶数增大，为保持圆环面积的不变，圆环的宽度就随阶数的增大而迅速变窄。2.6 电磁波的极化电磁波的电场强度和磁场强度都是矢量，矢量是有方

21、向性的。这一节我们讨论场矢量的方向问题，即电磁波的极化问题。通常我们把电场强度矢量的方向定义为电磁波的极化方向。电磁波的极化，大体上，可以分为线极化、圆极化和椭圆极化三种基本类型。线极化又分为垂直极化和水平极化，前者是指电磁波的电场强度矢量的方向垂直于地面，后者是说电场向量平行于地面。圆极化可分为右旋圆极化和左旋圆极化。右旋圆极化是指，顺着波传播的方向看，电场向量的端点随着时间的变化，在垂直于传播方向的平面上沿顺时针方向描画出一个圆形；类似地，右旋圆极化是说，电场向量的端点沿反时针方向描画出一个圆形。椭圆极化也可分为右旋椭圆极化和左旋椭圆极化。椭圆极化是指，顺着波传播的方向看，电场向量的端点随着时间的变化，在垂直于传播方向的平面上描画出一个椭圆形，而右旋和左旋的定义与以上圆极化的定义相同。O右旋左旋XYZ图2.6 场向量、波矢量与椭圆极化O2.6.1 椭圆极化