277.如图,四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱的长均是

1、277. 如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱的长均是，求：二面角ABDC、ABCD、BACD的大小.解析：(1)取BD的中点O，连AO、OC.在ABD中，ABAD，BD2，ABD是等腰直角三角形，AOBD，同理OCBD.AOC是二面角ABDC的平面角又AOOC1，AC，AOC90.即二面角ABDC为直二面角.(2)二面角ABDC是直二面角，AOBD，AO平面BCD.ABC在平面BCD内的射影是BOC.SOCB,SABC,cos.即二面角ABCD的大小是arccos.(3)取AC的中点E，连BE、DE.ABBC，ADDC，BDAC，DEAC，BED就是二面角的平面角.在BDE中，BED

2、E，由余弦定理，得cos-二面角BACD的大小是-arccos.评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式SScos求得.278. 如图所示，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E.又SAAB，SBSC.求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数.解法一：由于SBBC，且E是SC中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SCBE.又已知SCDE，BEDEE，SC平面BDE，SCBD，又SA底面ABC，BD在底面ABC上，SABD.而SASCS，所以B

3、D平面SAC.DE平面SAC平面BDE，DC平面SAC平面BDC，BDDE，BDDC.EDC是所求二面角的平面角.SA底面ABC，SAAB，SAAC.设SAa,则ABa,BCSBa.又ABBC，所以ACa.在RtSAC中tgACS，所以ACS30.又已知DESC，所以EDC60，即所求的二面角等于60.解法二：由于SBBC，且E是SC的中点，因此BE是等腰SBC的底边SC的中线，所以SCBE.又已知SCDE，BEDEE.SC平面BDE，SCBD.由于SA底面ABC，且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影，由三垂线定理的逆定理得BDAC；又ESC，AC是SC在平面内的射影，所以E在平面

4、ABC内的射影在AC上，由于DAC，所以DE在平面ABC内的射影在AC上，根据三垂线定理得BDDE.DE平面BDE，DC平面BDC.EDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一.279. 在直三棱柱ABCABC中，BAC90，ABBB1，直线BC与平面ABC成30的角.(如图所示)(1)求点C到平面ABC的距离；(2)求二面角BBCA的余弦值.解析：(1)ABCABC是直三棱柱，ACAC，AC平面ABC，AC平面ABC，于是C到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的距离，作AMAB于M.由AC平面ABA得平面ABC平面ABA，AM平面ABC，AM的长是A到平面ABC的距离.ABBB1，BCB3

5、0，BC2，BC，AB，AM.即C到平面ABC的距离为；(2)作ANBC于N，则AN平面BBCC，作NQBC于Q，则AQBC，AQN是所求二面角的平面角，AN，AQ1.sinAQN,cosAQN.说明 利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如图，ABBB1，AB，又BCB30，BC,BC2,AC.作AMBC于M，BNBC于N，则AM1，BN，CN，CM1，MN.BNBC,AMBC，BN与AM所成的角等于二面角BBCA的平面角.设为.由AB2AM2+BN2+MN2-2AMBNcos得cos.280 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，A60，PC平面ABCD，PCa

6、,E是PA的中点.(1)求证平面BDE平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.ABCD是菱形，O是AC、BD的中点，E是PA的中点，EOPC，又PC平面ABCD，EO平面ABCD，EO平面BDE，平面BDE平面ABCD.(2)EOPC，PC平面PBC，EO平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OFBC于F，EO平面ABCD，EOPC，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，于是OF平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知，OB,OFa，则点E到平面PBC的距离为a

7、.(3)过O作OGEB于G，连接AG OEAC，BDAC AC平面BDEAGEB(三垂线定理) AGO是二面角AEBD的平面角OEPCa,OBa EBa.OGa 又AOa.tanAGOAGOarctan.评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.281. 如图，矩形ABCD中，AB2，BC2，以AC为轴翻折半平面，使二平面角BACD为120，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距离；(2)BD和AC所成的角.解析：研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.解 分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、

8、F，过F作FBBE，过B作BBAC，交点B，则四边形EFBB是矩形.ACDF，ACBF，AC平面BFD，即DFB就是二面角BACD的平面角，亦即DFB120.过D作DOBF，垂足为O.DO平面DFB，AC平面DFB.DOAF，DO平面ABC.在RtADC中，CD2，AD2，DF，ODDFsin60.(2)在DFB中，DB3.又由(1)可知，ACBB，AC平面DFB平面DFB.BB平面DFB，DB B是直角三角形，又BBEF2.tanDBB.ACBB,AC与BD所成的角就是DBB，即为arctan.说明 处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样

9、考虑，即利用异面直线DF、BE上两点B、D间的距离，先求出BD2EF2+DF2+BE2-2DFBEcos12013，从而得出DBBarccos.282. 判断下列命题是否正确，并说明理由（1）若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；（2）在一个平面内有三条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行；（3）若两个平面相交，那么分别在这两个平面内的两条直线也相交；（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也平行；（5）一条直线与两个平行平面所成的角相等；（6）一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么一定平行于另一个平面解析：（1）不正确两个平面还可能相交于一条直线；（2）不正确两个

10、平面可能相交，这三条直线均与交线平行；（3）不正确分别在两个相交平面内的两条直线也可能平行，它们都平行于交线；（4）不正确两条直线还可能异面；（5）正确无论直线与两个平面相对位置如何，直线与两个平面所成的角都相等；（6）不正确直线可能在另一个平面上283. 平面平面 ，a，b ，则a、b一定是（）A两条平行直线B异面直线C相交直线D无公共点的两条直线解析：D，则平面与无公共点，a、b一定无公共点284. 下列命题中，不正确的是（）A一直线和两个平面 、所成的角相等，那么B平面平面，则内的任意直线平行于平面C一个三角形有两条边所在直线平行一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D分别在两个平行

11、平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线解析：A直线与两平面所成的角相等，这两个平面可能相交，故A命题不正确三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行，所以C命题正确，分别在两个平行平面内的两条直线一定没有公共点，它们的位置关系是平行或异面285. 若ab，a，b，则、这两个平面的位置关系是_解析：平行286. 夹在两平行平面、间的线段AB=8，AB与所成的角为45，那么、间的距离等于_解析：如图答9-27，过A作AH，交于H，AH为平面与间的距离连结BH，则BH是AB在平面内的射影，ABH=45AB=8，287. 三个不同平面，满足，=l，则与的位置关系

12、是_；若三个平面满足，则与的位置关系是_解析：相交；平行作直线l，l，l当，=l，假设与不相交，则，由前面证明可知，这与、相交矛盾与相交288. 已知直线a平面，直线b平面，b，a，b求证：解析：如图答9-29，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面与平面交于直线c，则c与b相交于点P图答9-29289. BA不正确是因为直线b可以在平面内，也可能与平行，还可能与相交但不成直角，C中的直线b只与内的直线a垂直，不能得出垂直的结论D中、可能相交，内的两条直线均与交线平行290. 给出以下命题：平行于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两条直线平行；垂直

13、于同一个平面的两条直线平行；平行于同一条直线的两个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行其中正确的命题是_（把你认为正确的命题的序号都写上）解析：、由公理4知正确由直线与平面垂直的性质定理知正确由两个平面平行判定定理可以推导出、正确垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行、相交、或异面；平行于同一条直线的两个平面的位置关系是平行或相交291. 给出下列命题，错误的命题是（）A若直线a平面，且平面，则直线a与平面的距离等于平面、间的距离B若平面平面，点A，则点A到平面的距离等于平面、间的距离C两条平行直

14、线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离D两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离解析：C以下按顺序说明，对A中，在a上任取一点P，作PH，PH为直线a与平面的距离，PH，PH又为、间的距离对于B，作AH，AH的长为点A到的距离又，AH，于是AH的长是、两个平行平面间的距离对于C，设ab，a，b，过a上任一点P作PQb于Q，则PQ的长为a、b两平行直线间的距离因为PQ与、不一定垂直，所以PQ的长一般不是、间的距离，一般地说，a、b间的距离不小于、间的距离对于D设是异面直线a、b的公垂线段，Aa，a，b，过A和b的平面与相交于

15、，则，于是同理故的长又是、两个平面间的距离（如图答9-30）292. 设、是两个平面，l和m是两条直线，那么的一个充分条件是（）Al，m，且l，mBl，m，且lmCl，m，且lm Dl，m，且lm解析：C可参看图答9-31图答9-31293. 平面平面，过平面、外一点P引直线PAB分别交、于A、B两点，PA=6，AB=2，引直线PCD分别交、于C、D两点已知BD=12，则AC的长等于（）A10B9C8D7解析：B如图答9-32，平面PBD=AC，平面PBD=BD，ACBD由平面几何知识知，PA=6，AB=2，BD=12，AC=9294. 已知AC，BD是夹在两平行平面、间的线段，A，B，C，D

16、，且AC=25cm，BD=30cm，AC、BD在平面内的射影的和为25cm，则AC、BD在平面内的射影长分别为_，AC与平面所成的角的正切值为_，BD与平面所成的角的正切值为_解析：设、间的距离为h，AC在平面内的射影，BD在平面内的射影，根据已知条件可得-得，即，把代入得y-x=11， 解得即，又h=24cm，AC与平面所成的角为，同理295. 已知空间不共面的四个点，与此四个点距离都相等的平面有_个解析：与不共面的四个点距离相等的平面分为两类，一类是四个点中一个点位于平面的一侧，另外三个点在平面的另一侧，这样的平面有4个；另一类是四个点中的两个点位于平面一侧，另外两个点在平面的另一侧，这样

17、的平面有3个，故一共7个平面到这四个点距离相等296. 如图9-35，平面平面，ABC、的分别在、内，线段、相交于点O，O在、之间若AB=2，AC=1，ABC=60，OA=32，则的面积为_解析：图9-35，、确定平面，平面=AB，平面， ，同理，由于方向相反，ABC与的三内角相等，ABC且，297. 如图9-37，两条异面直线AB、CD与三个平行平面、分别相交于A、E、B，及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、G求证：EHFG为平行四边形解析：298. 如图9-38，已知平面平面，A、C，B、D，E、F分别为AB、CD的中点求证：EF，EF解析：当AB、CD共面时，平面ABCD=AC，

18、平面ABCD=BD，ACBDE、F分别为AB、CD的中点，EFACAC ，EF ，EF，同理EF当AB、CD异面时，可在平面ECD内过点E作，与，分别交于，平面，平面，E是AB中点，E也是的中点平面，平面，E、F分别为、CD中点，EF ，EF，同理EF299. 已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F(1)求证：AFSC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AGSD解析： 如图，欲证AFSC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF，由已知，欲证SC平面AEF，只需证AE垂直于SC所在平面，即AE平面ABC，再由已知只需证AEBC，而要证A

19、EBC，只需证BC平面SAB，而这可由已知得证证明 (1)SA平面AC，BC平面AC，SABC矩形ABCD，ABBCBC平面SABBCAE又SBAE AE平面SBCSC平面AEFAFSC(2)SA平面AC SADC，又ADDCDC平面SAD DCAG又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEFSCAG AG平面SDC AGSD300. 已知四面体ABCD，AO1平面BCD，且O1为BCD的垂心.BO2平面ACD，求证：O2是ACD的垂心.证明 如图所示，连结BO1，AO2，AO1平面BCD，O1为BCD的垂心，BO1CD，由三垂线定理得ABCD.又BO2平面ACD，由三垂线逆定理得AO2CD.同

20、理连结DO1，CO2可证BCAD，即CO2AD.O2是ACD垂心.立体几何基础题题库301-350（有详细答案）301. 正三棱柱ABCA1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1BC1.求证：AB1CA1.解析：方法1 如图，延长B1C1到D，使C1DB1C1.连CD、A1D.因AB1BC1，故AB1CD；又B1C1A1C1C1D，故B1A1D90，于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD，因此AB1A1C.方法2 如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1BD1，从而AB1A1D.再由

21、三垂线定理的逆定理即得AB1A1C.说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.302. 已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC2，求：线段AB在侧面上的射影长.解析： 如图，取BC的中点D.ADBC，侧面底面ABC，AD侧面是斜线AB在侧面的射影.又ABBC，BC.设BBx，在Rt中，BEBD，.E是BBC的重心.BEBCx，解得：x.线段AB在侧面的射影长为.303. 平面外一点A在平面内的射影是A，BC在平面内，AB

22、A，ABC，求证:coscoscos.解析： 过A作BC于C，连AC.AA平面，BC垂直AC在平面内的射线.BCAC，cos.又cos,cos，coscoscos.304. ABC在平面内的射影是ABC，它们的面积分别是S、S，若ABC所在平面与平面所成二面角的大小为(090，则SScos.证法一 如图(1)，当BC在平面内，过A作ADBC，垂足为D.AA平面，AD在平面内的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SADBC，SADBC，cos,SScos.证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面内或只有一点(如C)在平面内，可运用(1)的结论证明SScos.305. 求证：端点分别在两条异面

23、直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面，使PQ平面，且和AB交于R，连结AQ，交平面于N.连结MN、NR.PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ内，PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可证NRb,RARB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.306. 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，求证：AB1A1M.解析：不难看出B1C1平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1MAB1，只要能证A1MAC1

24、就可以了.证：连AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30， ACA1C1.设AC1A1，MA1C1 tan,tg.cot(+)0,+90 即AC1A1M.B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.AC1A1M，由三垂线定理得A1MAB1.评注：本题在证AC1A1M时，主要是利用三角函数，证+90，与常见的其他题目不太相同.307. 矩形ABCD，AB2，AD3，沿BD把BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CDAB；(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，CM面ABD，ADAB，CD

25、AB(2)解：CM面ABDCDM为CD与平面ABD所成的角，cosCDM作CNBD于N，连接MN，则MNBD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DMCDCDCAABAD23.CD与平面ABD所成角的余弦值为308. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 PAAB，APB90在RtAPB中，ABP45，设PAa，则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a

26、(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角PBC60，BC与平面PBA的角为60.(2)由上知，PAPBa,ACBC2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.309. 在空间四边形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30和45。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离

27、等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB与PC不能垂直，证明如下：假设PCAB，作PH平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，HCAB，PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四边形ACBH为矩形.HCAB，ACBH为正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为PBH，PAH.由已知PBH45，PAH30，与PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45BHPHh.PAH30，HAh.矩形ACBH中，AB2h.作HEAB于E，HEh.PH平面AC

28、BH，HEAB，由三垂线定理有PEAB，PE是点P到AB的距离.在RtPHE中，PEh.即点P到AB距离为h.评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.310. 平面内有一个半圆，直径为AB，过A作SA平面，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影.(1)求证：NHSB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?解析：此题主要考查直线与直线

29、，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.解 (1)连AM，BM.AB为已知圆的直径，如图所示.AMBM，SA平面，MB，SAMB.AMSAA，BM平面SAM.AN平面SAM，BMAN.ANSM于N，BMSMM，AN平面SMB.AHSB于H，且NH是AH在平面SMB的射影NHSB.(2)由(1)知，SA平面AMB，BM平面SAM.AN平面SMB.SBAH且SBHN.SB平面ANH.图中共有4个线面垂直关系(3)SA平面AMB，SAB、SAM均为直角三角形.BM平面SAM，BMA，BMS均为直角三角形.AN平面SMB.ANS、ANM、ANH均为直角三角形.SB平面AHN. SHA、BHA、SHN

30、均为直角三角形综上所述，图中共有10个直角三角形.(4)由SA平面AMB知：SAAM，SAAB，SABM；由BM平面SAM知：BMAM，BMSM，BMAN；由AN平面SMB知：ANSM，ANSB，ANNH；SB平面AHN知：SBAH，SBHN；综上所述，图中有11对互相垂直的直线.311. 如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AEAD，F在AB上，且AFAB，求点B到平面MEF的距离.解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EFBD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC面MEF，而MR是交线，所以作OHMR，即OH面MEF，

31、OH即为所求.OHMRORMC，OH.解法二：考察三棱锥BMEF，由VB-MEFVM-BEF可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.312. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离.解法1 如图所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若过O1作O1EOB1于E，则OE1平面AB1C，O1E为所求的距离由O1EOB1O1B1OO1，可得：O1E解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高h.由 VV，可得ha.解法3 因平面A

32、B1C平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得FG.点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.313.已知：CD，EA，EB，求证：CDAB.314.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.已知：ab，aA1,bB1，1、2分别是a、b与所成的角.如图，求证：12.证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA1BB1，连结AB和A1B1.AA1BB1四边形AA1

33、B1B是平行四边形.ABA1B1又A1B1 AB. 设AA2于A2，BB2于B2，则AA2BB2在RtAA1A2与中 AA2BB2，AA1BB1RtAA1A2RtBB1B2AA1A2BB1B2即 12.315.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.已知：ABC,P,PBAPBC,PQ，Q，如图.求证：QBAQBC证：PRAB于R，PSBC于S.则：PRBPSB90.PBPB.PBRPBSRtPRBRtPSBPRPS点Q是点P在平面上的射影.QRQS又QRAB，QSBCABQCBQ316. 如图，E、F分别是正方

34、体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 (要求：把可能的图的序号都填上)解 四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填.317. 如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )A.B.C. D.解 连D1F1，则D1F1A1C1，又BCCA，所以BD1在平面ACC1A1内的射影

35、为CF1，设AC2a，则BCCC12a.取BC的中点E，连EF1，则EFBD1.cos1cosEF1C，cos2cosAF1C， coscos1cos2，应选A.318. (1)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的( )A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心(2)设P是ABC所在平面外一点，若PA，PB，PC与平面所成的角都相等，那么P在平面内的射影是ABC的( )A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ABC的三边的距离相等，因而O是ABC的内心，因此选D.(2)如图所

36、示，作PO平面于O，连OA、OB、OC，那么PAO、PBO、PCO分别是PA、PB、PC与平面所成的角，且已知它们都相等.RtPAORtPBORtPCO.OAOBOC应选B.说明 三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握.319. 已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离.解析：注意到直线BD平面EFG，根据直线和平面的距离在BO中点O的距离等于B到平面EFG的距离.解 连结AC、BD，设交于O，E，F分别是AB、AD的中点.EFBDBD平面EFG，设EFACM.则M为OA的中点.又AB4 AC4，

37、MOAC,MCAC3GC平面ABCDGCCA，GCEF又EFAC，GCACC.EF平面GCM.过O作OHGM于H，则OHEF.又OHGM故OH平面EFG.在RtGCM中，GM.又OHGM.sinGMCsinHMOOHB点到平面GEF的距离为说明 本题解法甚多，学习两面垂直及简单几何体后，可用两面垂直的性质求解或者用“等体积法”求解.320. 已知两条异面直线a,b所成的角为，它们的公垂线段AA1的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设A1Em，AFn.求证：EF解 过A作aa.AA1a, A1AaAA1b,abAA1A垂直a、b所确定的平面.aa a、a能确定平面，在内作EHA1A，交a于

38、H.aa，A1AME为平行四边形.A1AEHd,AHA1EmA1A EH.FH， EHFH.在RtFHE中，EFaa a与b的夹角为.即HAF，此时AHm,AFn.由余弦定理得 FH2m2+n2-2mncosEF当F(或E)在A(或A1)的另一侧时，同理可得EF综上所述，EF321. 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AMFNACBF，求证：MN平面CBE.解析：欲证MN平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“

39、线面平行”的转化.证：连AN并延长交BE的延长线于P. BEAF， BNPFNA. ，则.即 .又 ， . MNCP，CP平面CBE. MN平面CBE.322. 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：a,l,l.求证：la.解析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交于b.l，由性质定理知lb.过l作平面交于c.l，由性质定理知lc. bc，显然c. b. 又 b，=a， ba. 又 lb. la.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.323. 如图，在正四棱锥SABCD中，P在

40、SC上，Q在SB上，R在SD上，且SPPC12，SQSB23，SRRD21.求证：SA平面PQR.解析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ONSA.RQBD而 PMONSAON.SAPM,PM平面PQR SA平面PQR.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.324. 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明 如图，设直线a平面，点A,A直线b,ba，欲证b.事实上，ba，可确定平面，与

41、有公共点A，B交于过A的直线c，a,ac，从而在上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即b.325. S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AEADCFCD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EFRQ.证 在ADC中，因AEADCFCD，故EFAC，而AC平面ACS，故EF平面ACS.而RQ平面ACS平面RQEF，故EFRQ(线面平行性质定理).326. 已知正方体ABCDABCD中，面对角线AB、BC上分别有两点E、F且BECF求证：EF平面AC.解析： 如图，欲证EF平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明

42、EF所在平面与平面AC平行.证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MNBB平面AC BBAB，BBBCEMAB，FNBCEMFN，ABBC，BECFAEBF又BABCBC45RtAMERtBNFEMFN四边形MNFE是平行四边形EFMN又MN平面ACEF平面AC证法2 过E作EGAB交BB于G，连GFBECF，BACB FGBCBC又EGFGG,ABBCB平面EFG平面AC又EF平面EFGEF平面AC327. 如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB平面EFGH；(2)CD平面EFGH证明：(1)EFGH为平行四边

43、形，EFHG，HG平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABCAB.EFAB，AB平面EFGH.(2)同理可证：CDEH，CD平面EFGH.评析：由线线平行线面平行线线平行.328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知：ab,aA，求证：b和相交.证明：假设b或b.若b，ba，a.这与aA矛盾，b不成立.若b，设过a、b的平面与交于c.b,bc,又ab aca这与aA矛盾.b不成立.b与相交.329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.已知：ab,a，b，c.求证：cab330. 在下列命

44、题中，真命题是( )A.若直线m、n都平行平面，则mn;B.设l是直二面角，若直线ml，则mn，m；C.若直线m、n在平面内的射影是一个点和一条直线，且mn，则n在内或n与平行；D.设m、n是异面直线，若m和平面平行，则n与相交.解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.331. 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a、b都垂直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b

45、平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.332. 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：a,b, c.求证：要么a、b、c三线共点，要么abc. 证明：如图一，设abA，a.a而Aa.A.又bb,而Ab.A.则A，A，那么A在、的交线c上.从而a、b、c三线共

46、点.如图二，若ab，显然c，b a而 a, c. ac从而 abc333. 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度，那么木梁升高多少?解析： 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么ABa，MANB，MANBb,AB90.设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L平面MANB，木梁绕L转动角度后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.在平面MANB中，作TKAB，交MA于K，则AKST.设STx，则xb-KM.又KTCT，KTC，有KCasin.从而KM.xb-.

47、334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：( )A.棱柱有一条侧棱与底面垂直B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直解析： 根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.说明 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.335. 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为、.求证：cos2+cos2+cos21解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.证明：设对角线B1D与长方体的棱AD、DC、D1D所成的角分别为、，连结AB1、CB1，D1B1，则B1DA、B1DC、B1DD1

48、都是直角三角形.cos,cos,coscos2+cos2+cos21.评析：这里运用了长方体对角线长定理.336. 在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC10cm,BC12cm，顶点A1与A、B、C的距离等于13cm，求这棱柱的全面积.解析：如图，作A1O平面ABC于O，A1AA1BA1C，OAOBOC，O是ABC的外心，ABC等腰，AOBC于D，AA1BC，B1BBC，四边形B1BCC1为矩形，S1213156(cm2),A1AB底边上高A1E12，120(cm2),SABC12848(cm2),S全156+2120+248492(cm2)337. 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别

49、是a,b,c，这三条棱长分别是a,b,c，这三条棱中每两条成60角，求平行六面体积.解析：如图，设过A点的三条棱AB，AD，AA1的长分别是a,b,c,且两面所成角是60，过A1作A1H平面ABCD，H为垂足，连HA，则HAB30，由课本题得：cosA1ABcosA1AHcosHAB,cosA1AH,sinA1AHVSABCDA1Habsin60csinA1AHabc.338. 在棱长为a的正三棱柱ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底中心，P为OO1的中点，过P、B1、C1作一平面与此三棱柱相截，求此截面面积. 解析： 如图，AA1面A1B1C1，AA1OO1，设过P、B1、C1的截面与A

50、A1的延长线交于Q，连结A1O1延长交B1C1于D，连QD，则P必在QD上，O1为A1B1C1的中心，P为OO1的中点，故，Q在A1A延长线上且QAPO1，又QB1交AB于E，QC1交AC于F，则EFB1C1，所以截面为EFB1C1是等腰梯形，又QA1QA31，EF 设QD与EF交于H，得QDB1C1.因此HD为梯形EFC1B1的高.DQa,HDa.(a+)(a)a2为所求截面积.339. 如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为a，D为CC1的中点.(1)求证：A1B平面AB1D.(2)求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数.解析：这虽是一个棱柱，但所要论证的线面关系以及二面角的

51、度数，都还是要利用直线和平面中的有关知识.解 (1)正三棱柱的各棱长都相等，侧面ABB1A1是正方形.A1BAB1.连DE，BCDA1C1D，BDA1D，而E为A1B的中点，A1BDE.A1B平面AB1D.(2)延长A1D与AC的延长线交于S，连BS，则BS为平面A1BD和平面ABC所成二面角的公共棱.DCA1A，且D为CC1的中点，ACCS.又ABBCCACS，ABS90.又AB是A1B在底面上的射影，由三垂线定理得A1BBS.A1BA就是二面角A1BSA的平面角.A1BA45，平面A1BD和平面ABC所成的二面角为45.评注：本题(2)的关键是根据公理二求平面A1BD和平面ABC的交线，在

52、论证ABBS时，用到了直角三角形斜边上的中线性质定理的逆定理.当然(2)还可以用S射Scos来解.340. 如图，已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面积等于cm2，D、E分别是侧棱B1B，C1C上的点，且有ECBC2DB，试求(1)四棱锥ABCDE的底面BCED的面积(2)四棱锥ABCED的体积(3)截面ADE与底面ABC所成二面角的大小(4)截面ADE的面积解析： 利用三棱柱的性质及已知条件，(1)、(2)、(4)不难推算，至于(3)，可设平面ADE与平面ABC所成二面角为，观察到ADE在底面ABC的射影是ABC(DB平面ABC，EC平面ABC)应用SABCSADEcos，可求出.解：设AB

53、C边长为x，SABCx2.x2，于是ECBC2，DBBC1，SBCED (2+1)23，作AFBC于FAF平面BCED，VA-BCEDAFSBCED，VA-BCED23在RtABD中，AD2AB2+DB222+125；在Rt梯形BCED中，DE2(CE-DB)2+BC25ADDE，ADE是等腰三角形，作DQAE于Q，则Q为AE的中点在RtACE中，AE2EC2+AC28，DQ2AD2-AQ2()2-()23AE，DQ，SADEAEDQ设截面ADE与底面ABC所成二面角大小为，D、E分别在底面的射影为B、C，ABC的面积ADE面积cos即cos,cos,45答 (1)SBCED3cm2,(2)V

54、A-BCEDcm2,(3)截面ADE与底面ABC成45的二面角，(4)SADEcm2341. 在三棱柱ABCA1B1C1中，ABa,BACAAA1a,A1在底面ABC上的射影O在AC上。(1)求AB与侧面AC1所成的角(2)若O恰是AC的中点，求此三棱柱的侧面积解析： (1)A1O面ABC，BC面ABC，BCA1O，又BCCAa，ABa,ABC是等腰直角三角形，BCAC，BC面AC1，故BAC为BA与面AC1所成的角，则有BAC 45，即AB与侧面成45角。(2)若O恰为AC中点，AA1a,ACa,AO,A1Oa,a2，作ODAB于D，连结A1D，由三垂线定理得A1DAB，在RtAOD中，OD

55、OAsinBACa2，在RtA1OD中，A1D,aaa2，(2+)a2342. 已知异面直线a、b成角，过空间一点p，与a、b也都成角的直线，可以作（）A1条B2条C3条D4条解析：C343. 已知-l-是直二面角，直线a，直线b，且a、b与l都不垂直，那么（）Aa与b可能平行，也可能垂直Ba与b可能平行，但不可能垂直Ca与b不可能平行，但可能垂直Da与b不可能平行，也不可能垂直解析：B当，时，ab，即a、b可能平行，假设ab，在a上取一点P，作PQl交l于Q，二面角-l-是直二面角，PQ，PQbb垂直于内两条相交直线a和PQ，b，bl这与已知b与l不垂直矛盾b与a不垂直344. 直线l、m与

56、平面、满足l平面，m，以上四个命题：lm；lm；lm ；lm其中正确的两个命题是（）A与B与C与D与解析：D345. 如图9-45，二面角-l-的平向角为120，Al，Bl，AC，BD，ACl，BDl若AB=AC=BD=1，则CD长为（）A B C2 D解析：B在平面内作AEBD，DEBA，得交点E则CAE为二面角-l-的平面角，故CAE=120，于是在RtCED中可求CD长346. SA、SB、SC是从S点出发的三条射线，若，则二面角B-SA-C的大小为（）A B C D解析：C在SA上任取一点E，作EFSA交SC于F，作EGSA交SB于G，连结FG，则GEF为二面角B-SA-C的平面角34

57、7. 线段AB长为2a，两端点A、B分别在一个直二面角的两个面上，AB和两个面所成的角为45和30，那么A、B在棱上的射影间的距离为（）A2a BaC D解析：B如图答9-39，设直二面角为-l-，作ACl于C，BDl于D，则AC，BD，连结AD、BC，ABC为AB与所成的角，BAD为AB与所成的角，ABC=30，BAD=45，AB=2a，AC=a，在RtACD中，CD=a图答9-39348. 正方体中，二面角的大小的余弦值为（）A0 B CD解析：B取BD中点O，连结、，则，为二面角的平面角，设为，设正方体棱长为a，则，349. 立体图形A-BCD中，AB=BC=CD=DB=AC=AD，相邻

58、两个面所成的二面角的平面角为 ，则（）AB C D解析：A任取一个二面角，如A-BC-D，取BC中点E，可证AEBC，DEBC，AED是二面角A-BC-D的平面角，设AB=1，则 350. 如图9-46，二面角-AB-的棱AB上有一点C，线段CD，CD=100，BCD=30，点D到平面的距离为，则二面角-AB-的度数是_解析：60作DH于H，DEAB于E，连结EH，则EH是DE在平面内的射影由三垂线定理的逆定理，HEAB，DEH为二面角-AB-的平面角在RtDCE中，CD=100，BCD=30，DE=CDsin30=50，在RtDEH中，DEH=60，即二面角-AB-等于60立体几何基础题题库

59、401-450（有详细答案）401. 如图，在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角ACDB后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析： 设ACD，则BCD90-，作AMCD于M，BNCD于N，于是AMbsin,CNasin.MNasin-bcos，因为ACDB是直二面角，AMCD，BNCD，AM与BN成90的角，于是AB.当45即CD是ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.已知：从二面角AB内一点P，向面和分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证

60、：CPD和二面角的平面角互补.证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，PC，PDPCAB，PDABCEAB，DEAB又CE，DE，CED是二面角AB的平面角.在四边形PCED内：C90，D90CPD和二面角AB的平面CBD互补.403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.已知：二面角ED，平面过ED，A，AB，垂足是B.AC，垂足是C.求证：ABACk(k为常数)证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.AB，AC.ABDE，ACDE.DE平面ABC.BFDE，AFDE，CFDE.BFA，AFC分别为二