鲈鱼数学建模试验报告

1、数学建模实验报告姓名：胡斌 学号：09015120一、摘要题目提供了哈德逊河妒鱼的年龄分组、 成年鱼的年龄、允许捕捞 鱼的年龄段、各年龄段的鱼的存活率以及各组成年雌性鱼每年能产雌 性后代的个数。题目初始数据是1970年各年龄组的鱼的数量。根据 题目要求利用Leslie模型进行建模，找出鱼群总数的变化趋势。以及 在条件变化影响出生率和存活率的情况下的鱼群情况。对于模型的简化，可以将存活率相同年龄组的鱼合并，将产雌性鱼的个数累加。二、问题重述著名哈德逊河的妒鱼生活在大西洋，但是每年游到哈德逊河产卵。 由于哈德逊河流域工业的发展引起重大的污染，使得河水温度升高，影 响了产卵率和成活率。为了了解工业污

2、染对妒鱼的影响，将妒鱼分成16个年龄组：01年（卵），12年（游鱼），2龄鱼，3龄鱼，15龄鱼.已知515年龄的鱼为成年鱼，允许捕捞 315年龄的鱼.考虑自 然死亡及捕捞等原因，得各年龄组的成活率 及每个雌性个体所产雌 性后代的统计资料如下：年 龄 组012345672.12*10人-50.39650.60000.80000.63870.56880.56880.56880000080110162700212700年 龄 组891011121314150.56880.56880.56880.56880.56880.56880.56880.56882679003264003860004445004

3、99700549600592200592200已知1970年各年龄组的鱼数(单位：千条)为X(0)=()(1)在所给条件下，求L矩阵的模最大特征值及稳定的年龄分 布.(2)假设生态条件不变，讨论何时妒鱼达到稳定的年龄分布(精确到小数点后2位)(3)假设由于工业污染使卵的成活率降低 25%幼鱼的成活率降 低15%成年鱼的成活率降低10%对妒鱼年龄分布结构进 行特征分析，并预测种群的发展趋势：经过几年后，可捕捞 的鱼数减半.(4)能否将模型简化？对简化的模型进行特征值分析， 并讨论达到稳定的年龄分布的时间.将所得结果与(1) , (2)进行比较。三、模型假设1.将时间离散化，假设雌雄鱼数目的性别为

4、1:12,各年的出生率和存活率不变3.不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑意外灾难等因素对鱼 数目变化的影响四、分析与建立模型由题目给的初始条件，即1970年初始鱼数目的矩阵，以及各年 龄段与的出生率和死亡率，并且只考虑了雌性鱼的数目发展变化，我们可以知道，各年龄段的鱼的数目是相互影响的，并且可以用Leslie建立模型。我们假设第K年总的鱼数目为X(k),第K年第m年龄组 的鱼的数目为 (k).根据以上分析我们可得到方程X(k)=(,)=,i=1 , 2,，15写成矩阵形式为=Ln(k),其中,L= TOC o 1-5 h z 000000000 -即L=000 0 0 80110 1627

5、00 212700 267900 326400 38600 444500 499700 549600 5922005922002.12*10A-50000000000000000.39650000000000000000.60000000000000000000.80000000000000000000.6387000000000000000 0.5688000000000000000 0.56880000000000000000.5688000000000000000 0.5688000000000000000 0.5688000000000000000 0.5688000000000000

6、000 0.5688000000000000000 0.568800 TOC o 1-5 h z 000000000000000.5688记X(0)=(,)X(0)=()L矩阵的正特征根是唯一的、单重的，若记之为 ，则其对应的一个特征向量为且 满足，对于任意矩阵L的特征根，必有| |1时，鱼数目最终是递增的.当 ;2. 12*10 t-5h Ck 0, tX Q, Q, C.5 0. O, 0,0. Q. 0. Q. 0:4口一 39SS*0, 0F d0, 60, 0, OhO, Oh 0, 0,0.0;(k 氏 0. 6000, 0, o+o, a 0.出aOh 0, 0,0,0：k 0P

7、 0, 0. 8000,(X 0, Ol 0, , Oh 口，(X Q, 0,OtO;(X D. Q, Ob 0, 63郎* 0, H 0, Q, Qh Q由 D, 0,7Or 0. 0, 0, 0, 0. 3眼.0. Oh Q, 0.0,0. 0.0.0.0;$& QPQ, d 5 0, 0.湖风5 Q 乱m 0k 0. 0,0.0;90, 07 0.0 Oh 0, 0, 0,5688. 0, 0r0,加0 07 0rO;JO加 0. 0, 0, 0, 0, 0. 0.0,5658, 0.0,0. 0. 0,0-0；0+ 0. 0, Q, Q+ 0. D, Oh00, 56864也0. 0.

8、 U. Q Q;d D. 0, 0b 0+0, fl, ddQM 56SS.0F D, 0,仇白；0.0.0. 0.0, 0. 0. O.thO. 0 5fl88. 0,0.0;0. Q.O, 0. 0. 0. 0. 0. 0. th0. 0. 0. 5686. 0.0.0;js o, 0,0,0, o4o. o. 0 chao. o,5曲乱 d。；1ft0, 0. 0, 0, 0T m 0. 0. 0, d Q, 0. O, 0,0, 568Sr 0;17 - cigA) ，心则再命令执行框得到如下结果 Untitledans =0. 9989-0- 70350. 57310. 57310.

9、 54360. 5436-0. 6410-0. 6410-0. 4778-0.4778-0. 2800-0. 28000. 22600. 2260-0. 0916-o. oaie+ 0.00001 十 0.OOOOi 十 0.63781 -0.63781 + 0. 39601-0. 39601+ 0. 2344i-0.2344i+ 0. 46271-0. 46271+ 0.67571-0. 6757i + 0. 61981 -0.61981 -0.6885i-0.6885i从结果中我们可以得到最大的特征值=0.9989由此可以得到经过计算，稳定的各年龄组的鱼的个数的比为:1:():( ):()

10、:():():():():():():():():():():():()(2)根据题目要求的精度为小数点后两位，可以知道即要找出k值满足=0.01利用matlab写出如下代码:I -r o.如ka oJsoHoCiKzro, fizToo. zergoo.加mm,屈oottmmq,锦和g,8喇口，*hot,3,06,6 也 a, Ol 010. 00.d 也 0. 10.0, or TOC o 1-5 h z 3Q a 39&5,0卜 d Q Di 0113 d 弧 a Q卜 Od OaDi a& o. n&ooo, a 原 o. o. o. & o. o.o.d 他6cl a o.o*, s

11、ooa oi q, a.ixa o. ojo. a o.口, o：B0h d 口E0. L 63S7,a 0.d（k 0,0Ml. d &D. O；|7。飙爪“1 o. 5i88,aa a, a oB a 仅0. h占a a 0p瓦a 口也m网卜oia m d。ka ka spcl a “ 氟 a o. a o. mb&. a a a q事 也也朝3boro.o.必做d o. o, o sss 也 CL 0rd 也也虫iiOk o. o. o. m ci & o, o.o. ssaa, a。口 仇也也。;i2小 仇 0-也必 必 取 0.0.0. o,湎联t d a a o. q；nQQ. C

12、L D, 0. 0. &O. Q.Qpd * 班队d生也也34d6 0.Di & Op队0.现10、6 6也战第.5也63&C.Q. d 必 . dd O. aQ.a R Q. a 5&S3. &. 6】bda。0, d队o,飙cid届也。以制跳出：17 -eiA）：IB k=l ；&-nl;2, 1 23*10 -5.0. 4243*10.f;30fiI。T;4 Qi52fl-lQ -6.202. MI210- -6;L 4753*10 -&; S. 4D2C* 10- -7 ;4, 7B43*1 Q- -7 ;212.243聋IGTi L 6513*10-7：S, 8 10-S：5K Q3

13、W*i0 -Si252.遍心 iOa-9；l. S310附.-肌虫 2672* 10-9；23-. 一 _3.U. . UU. :上二_FULJ;二温” LJbU./.J 1. JU._jU.krl：G - *M运行后接到结果命令行窗口 Entitled entitled666510fx 所以最后求得k为666510,即经过666510年后达到稳定的年龄分布。(3)在环境改变时，相应的矩阵也发生了变化，则新矩阵000 0 0 80110 162700 212700 267900 326400 38600 444500 499700 549600 5922005922001.59*10A-50.

14、33702500.51000.68000.5428950.511920.511920.511920.511920 0.511920 0.511920.5119200 0.511920.51192利用matlab中的eig函数求矩阵的特征值,从特征值中选取最大的即为矩阵的最大特征值在matlab中输入如下指令10IL121115IEA=0,仇 0, 0,C. 80110. 162700, 212700.2G790C, 326100, SBtOOO. 444500, 1700r 54%00. 52200, 592200.L. 59*10 1-5h D,也 口在业口 0H 0b 0, 0. D, 0

15、b 0h 0, 0；0. 0, 337025. 0. 0. d 50.0. Q, 0.0.0 0.Q. & Q:0. 0. 0. 5100. 0. Q, 0,0,0,cm )0. 0, 0.0, 0：0. ft, 0,0, 6801 几 040,0, a Q,X 0, 0.0,0;0, Dh 0, Q, fl. 542895, CTQ,0. 0, 0)0, . Q,。+ 0, 0;a h 0 0. o. o 511 购 o+o. o, o. or,o. o, ol a o；0. 0, 0. 0, a 0. 0, 31)92. 0. 0. 0. 0. 0, 0, 0. Q. 0;or or o,

16、 a a Op of o. 311g3 0.0. oh o. o, d of 0；Oh Oh 0,0.0. 0. O. 0, OL &1192. 0. 5 0. DL 0,0, 0;0.屏 o. Q, 0, 0,0* Oh 0: 0. 51192, 0,0, 0,0.0.0;0. 0, 0. 0, 0, 0, Qt 0, 0, 0, 0. 31192, 0, 0, 0. 0, 0；0. 0. 0. CL 0, 0. Or 0. % or 0. 0, 51192, 01 0,0,0;o. a o, o, o, o, o. o, o, o. o. o. o. ensa, o. o+ o；0. Oh

17、 0, 0. Oh 0.0. Oh 0, 0+ 0.1 0, 0. 51192 0+ 0：or Qt 0, o, 0, 0. Qt 0n o.o.o. 0. o, Q. a 51rL93 Q：；运行结果如下0. 00001 0.000010. 54551Q. 54551 0. 35471 0. 35471O 21051 0. 210510. 55431 0. 55431 0. 410510. 410510. 588210. 58821 0. 61251 0. 61251命令行腐口 Untitled?ans0. S669 + -0. 6180 +0. 4959 +Q. 4959 - 0. 492

18、7 40. 4927 -。. 56E2 +0. 5663 - 0. 2006 + 0. 2006 -0. 4255 +0. 4255 -0. 2490 +，0. 2490 -0. 0728 +0. 0728 -从结果中我们可以得到最大的特征值=0.9989所以鱼群的数目最终是减少的，并且是按照-1=-0.1331变化的由特征值计算出特征向量：经过计算，稳定的各年龄组的鱼的个数的比为：1 : (2.4455*10A-5) : (1.1185*10A-5) : (7.7415*10A-6) : (7.1440*10A-6):(5.2635*10A-6) : (3.4535*10A-6) : (2.

19、2660*10A-6) : (1.4868*10A-6):(9.7552*10A-7) : (6.4007*10A-7) : (4.1997*10A-7) : (2.7555*10A-7): (1.8080*10A-7) : (1.1863*10A-7) : (7.7836*10A-8)利用matlab编程序进行迭代，找到可捕捞鱼数减半的年数，其中可捕捞鱼数为3-15龄鱼，所以要取向量的第4到16行进行比较程序如下（见untitled2.m ）, 心 口 Ci f1 &W5EI1 81J LlntKM I UhWkX?.hi x *1 -A-0, 0,0,4, 80110. IGZTOa 21

20、2700.簿79, 2264M, 3SW00,4446003700, H9600 20, R23D0;2L59+10 (-5. 0. 0- ft, 0,0-0, C,0 0. 0- 0, 0,0- 0. 0;o. q 羽:也有,o,8 o. a a, o. ao. o. o. a o? o.Q. 0, 0, 6000, a 氏 0. Q.8 Q Q, Q10 0rd 口；0.0. 0, 0,8000, D. 0, Q, 0. (L 0, 0, a, D. 0,0, 0;Ga 0. 0, Q. 0. 0r D, Q, Q. fl, Q. 0, Q. QtO, Q；76。0, d 0. 51192

21、 4 0. 0,也 OhOh Q. Q. 0.。：B3.0. 0, 0, (Ji 0r 0. 51192. 0, 0,0- 0r Oh +C, 0:g0. m EQC. 5L191 必仇九。5必Q.0；100.0. 0. 0,a EQ.O.D.51192hm 。Q.Q.CL锐uo. oo, a 口.。 o. o. 5口配。 o.o.o；i2a. o 5 加。a. 4 a o. o. o. 51192.4 a a.。街13a. o. o, 0,0, o, o, % o.o. o, o. sim * 0. a；0.注 o. o. o. o. a a 0. o. 0,0.0.51 黑，a. 0.0；

22、0. & 05. IQ d 0.0. 0, 0,仪 0.5LL92.0,0；a 0. 0, 0. a CF 0, 1K or 0. O, O, O. Or O. 5112, o.I； -krl；IB - K=1100CM:胴6:266000:213000:13迎。:许颂毋陋:无脚:1400a 随。:5000:3400:1 MO: l瞰;呐:alliU(l)2Q -d-U-ktXN21 -B-di4;16, L;l);耍-5*XC4:16J;1)J- -10j招-break；-end-E+k曲-fnd-k运行结果如下45 口 Untitled2k =8即8年后可捕捞的鱼数减半(4)对模型简化，因

23、为考虑到14和15龄鱼的成活率和每条雌鱼产雌性小鱼相等，所以可以考虑将14和15龄鱼的情况进行合并，为了不影响所有成年鱼对产雌性小鱼的影响，将13龄鱼的存活率变为 0.5688+0.5688*0.5688 ,由此可以将矩阵的维度减小，则新的矩阵为000 0 0 80110 162700 212700 267900 326400 38600 444500 499700 549600 5922002.12*10A-5000000000000000.3965000000000000000.6000000000000000000.8000000000000000000.6387000000000000

24、000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.5688000000000000000.8923000000000000000.56880同样利用matlab求解矩阵的最大特征值程序如下:IhitiiIedLm UntiUed一| hiyul ,mf* Iuyu2-mi fayuJ.rn 1 * |l -A=(X 0. (h 值 8011。16IITQ5 212700, 267900+ 326400- 3B6fl00t 444500,

25、499700, M9600h 592200;22. 12*10 (-5). 0+ 0. & “a o,0t o,a o, o.迪o, o；130,0, Or 0,0 0,0, 0,0, 0.0, 0. 0, 0. 56ss. 0；16 eis(A)运行结果如下 luyulans =0. 99990. 56930. 56930. 57350. 57350. 18610. 186 L-0. 1624-0. 1624-0. 3819-0. 3819-0. 5896-0. 5896-0. 6949-0. 6949+ 0. OOOOi + 0. 6518i -0. 65181 + 0. 4138i -0. 4138i 4 0. 68901 -0. 68901 -0. 7543 i -0. 75431 -0, 63201 -0. 63201 t 0. 37141 -0. 37141 t 0. 11481 -0. 11481所以矩阵的最大特征值=0.9999则到达稳定年龄结果的k满足(lo；君oo. o.叽 q； s 我兀& o a 口,也 a o. o. o. a o：0,0.0,。+ Ok a 56sBm 017。卜 0