2012年高考文科数学试题(新课标卷)及参考答案

1、 2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试题卷分第I卷(选择题)和第II卷(必考题和选考题两部分)。考生作答时， 将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试题卷上答题无效。考试结束后， 将本试题卷和答题卡一并交回。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。(1)己知集合 j = x|x2 - JC - 20，B =|-1xb0)的左、右焦点，P为直线上一点， a b2&F2PF是底角为30的等腰三角形，则的离心率为(A)(B) (C) (D)345(5)已知正三角形迎C的顶点冰1，1)，那，3)，顶点C在第一象限，若

2、点(xj)在丄5C 内部，则z = x + y的取值范围是(A) (1-及2)(B) (0,2)(C) dl，2)(D) (0,1 + V3)(6)如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2)和 实数a，a2，、，aN，输出儿B，贝！JA + B 为 a、，a2，aN 的和为w為的算术平均数A和B分别是ap &，中最大的数和最小的数J和B分别是q，a”中最小的数和最大的数平面a截球(2的球面所得圆的半径为1，球心(9到平面a的距离为介，则此球 的体积为(A) V6te(B) 4/冗(C) 4-/67t(D) 6a/3tt已知历0, 0冗，直线x = !和*二在是函数/二sin(肌+的图像的两条

3、相邻 TOC o 1-5 h z 44的对称轴，则0 =(A)-(C) -(D)4324(10等轴双曲线C的中心在原点，焦点在;C轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于丄 5两点，| = 4V3 ,则C的实轴长为(A) V2(B) 22(C) 4(D) 8(11)当0丄时，24 0)的焦点为F，准线为/. A为C上一点，已知以F为 圆心，似为半径的圆F交/于5, D两点.(I)若=，ZU见)的面积为42 ,求夕的值及圆F的方程；(II )若A: B，F三点在同一直线7?2上，直线?与/n平行，且?与C只有一个公 共点，求坐标原点到W, 77距离的比值.(本小题满分12分)设函数 f(x) =

4、ex -ax-2.(I )求/(X)的单调区间；(II若a = l，女为整数，且当x0时，(x-k)fr(x) + x十10，求仓的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号。(本小题满分10分)选修4一 1:几何证明选讲如图，D，：分别为AABC边AB，的中点，直线DE 交ZU5C的外接圆于凡G两点.若CFHAB ,证明:(I ) CD=-BC,(II)么 BCD 么 GBD .(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线(；的参数方程是(X2C0S (炉为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正 y = 3sin(p7半轴为

5、极轴建立极坐标系，曲线品的极坐标方程是p = 2.正方形ABCZ)的顶点都在C2 上，且儿B, C, D依逆时针次序排列，点/的极坐标为(2,y).(I )求点，B, C, D的直角坐标；(II)设戶为匸,上任意一点，求|凡+|/2+|/|2+|PZf的取值范围.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数 f(x)=xa + x-2.当a = -3时，求不等式/(x)彡3的解集；若/(x)|x-4,的解集包含1,2,求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题答案选择题(1) B(2) D(3) D(4) C(5) A(6) C(7) B(8) B(9) A(10

6、) C(11) B(12) D二.填空题(13) y = 4x-3(14) -2(15)32(16) 2三.解答题解：(I )由c = V3asinC-ccos及正弦定理得V3sin(sinC-cossinC-sinC -0,由于sinC矣0，所以sin(J6 2又0丌，故A.3(II) 兑8C 的面积 S = kbcsinA 二忑，故 -4.2而 a2 -b2 +e2 -2bccosA，故Z)2+a2=8，解得 b c 2. 解：(I )当日需求量时，利润尸85.当曰需求量h17时，利润j； = 10n-85.所以y关于的函数解析式为10打-85，0 ,所以/(x)在(-00,+oo)单调递

7、增.若 a0，则当 xe(-co?lna)时，fr(x) 0， 所以，/(x)在(-co, In d)单调递减，在(In a, +oo)单调递增.(II)由于a = l9 所以(x-r) + x +1 = (x-1) + x +1 故当x0 时，(x)/(x) + x + l0等价于k 0).ex-l V 7a z x x + 1rni 、 xex 1 ex (ex x 2)令g(x) + x,则s = ?T +卜由(I )知，函数 A(x) = e - x - 2 在(0，+oo)单调递增而h(l) 0，所以 A(x) 在(0,+00)存在唯一的零点.故g(x)在(0，+oo)存在唯一的零点

8、.设此零点为a,则 ae(l?2).当 xe(O，a)时，gf(x) 0.所以 g(x)在(0，+oo)的最小 值为 g(a)-又由 g(a) = O，可得ea:a + 2，所以g(a) = a + l e(2,3) 由于式等价于kg(a),故整数A的最大值为2.证明：(I )因为7)，五分别为18, 4C的中点，所以DE/BC . 又已知CF/AB ,故四边形BCFD是平行四边形，所以 CF=-BD = AD.而CF/AD ,连结AF，所以乂DCF是平行 四边形，故CD二AF因为 CF/AB ,所以 BC = AF ,故 CD 二 BC.(II)因为 FG/BC ?故 GB = CF.由(I

9、 )可知BD二CF，所以GB = BD.而 ZDGB = AEFC = Z.DBC，故 ABCD AGBD 解：(I )由己知可得(2cos 晉,2sin*)，B(2 cos( + ), 2 sin( +，C(2 cos( + 兀)，2 sin( + 冗)，D(2 cos( + 艺)，2 sin( + )， 十 36sin2p + 16-32 4-20sin2.因为0彡sin、彡1，所以S的取值范围是32352。解：二 2x + 5，x 2，(I )当 a = -3 时，/(x) - 1?2 x 3，2x-5，x3.当x彡2时，由/(x)3得-2x + 5彡3，解得x彡1; 当2x3时，/(x)彡3无解；当x彡3时，由/(x)3得2jc-5彡3