定积分的换元积分法和分部积分法课件

1、第六节 定积分的换元积分法和分部积分法 定积分的换元积分法定积分的分部积分法小结、思考题习题解答一、定积分的换元法 例1 计算 解 令sinx=u=u3+C u=sinx回代sin3x+C (1) 于是 =(10)= (2) 分析解题过程在(1)式先求出u2的原函数u3 ，然后作变量回代 得到原函数sin3x，最后在(2)式中作双重代换， 在x=0，x=时 以sin0=0， sin=1代入得到定积分注意 当x=0，时， u=sin0=0，u=sin=1 ，如果直接对u2的原函数 u3 作u从0 到1的双重代换，与变量回代后对sinx从0到的双重代换， 完全是等效的可见在求定积分时变量回代实属多

2、余，其实在实施换元 积分限0， u=sinx的同时，也改变原x的为u的对应限0，1，即 =， 能得到同样结果 在一定条件下，把“换元新元的原函数回代作双重代换”得 定积分的过程，改为“换元、换积分限新元的原函数在新积分限上作双重代换”得定积分，是可以得到相同结果的 定理1 设(1)f(x)在a，b上连续；(2)(x)在a，b上连续， 且(x)0， x(a，b)；(3)(a)=，(b)=，则 令u=(x)，x=au= x=b u= 定理2 设(1)f(x)在a，b上连续； (2)(t)在，上连续， 且(t)0， t(，)；(3)()= a，()=b.则 令x=(t)， t=x=at= x=b 注

3、意两个定理中0的条件，是新、老积分区间一一对应 的保障，不可忽视，缺少这个条件可能会出现谬误结果例如 令u=x2;x=1，u=1=0， 实际上， =(x)=x2， (x)=2x在 (1，1)有零点x=0 ，是产生错误的原因 例2 计算下列定积分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 解：(1) u= x2;x=0，u=0;x=1，u=1= (2)= 令u=1+x2;x=0，u=1;x=2，u=5如果对不定积分换元法很熟悉，那么未必非要换元u=1+x2，可以直接写成 = (3)= 令u=cosx;x=0，u=1;x= ，u=0= 如果对不定积分换元法熟悉，可以省却换元和换积

4、分限过程， 可以直接写成 = 记住的是“换元变限，不换元限不变”的原则 (4)= (5)令t=，即x=t2，dx=2tdt；当x=1， t=1， x=4，t=2，即 x 从14 t 从12 应用定理2得 = (6)令x=asint， dx=acostdt；当x=0，t=0， 当x=a， t=，即 x 从 0a t从0 应用定理2得 = a2 = = 证 本例所证明的等式，称为奇、偶函数在对称区间上的积分性质在理论和计算中经常会用这个结论 从直观上看，性质反映了对称 区间上奇函数的正负面积相消、偶函数面积是半区间上面积的两倍这 样一个事实 a图4-6-1xyOaa图4-6-2xyOa 例4 计算

5、下列各定积分： (1)；(2) 解：(1)由于是，上的偶函数， ，是，上的奇函数， 所以 =+=2+0=2=2 (2)由于x2|x|是1，1上的偶函数，所以 =2=2= 应用换元公式时应注意:（1）（2）例5 计算解令例6 计算解例7 计算解原式奇函数例8 计算解原式偶函数单位圆的面积定积分的分部积分公式推导二、定积分的分部积分法 例9 计算 解 先用分部积分法求xcosx的原函数： =xsinx+cosx+C， =xsinx+cosx=11=2 分部与双重代换同时进行，即以下面方式完成： =xsinx=0+cosx=2， 定理3(定积分的分部积分公式) 设u(x)，v(x)在区间a，b上连续，则或简写为 例10 求定积分：(1)；(2) 解 (1)= =0+2=2 (2)= =(e 2-1）+ =(e 2-1）+ =(e 2-1）+移项得2=(e 2-1）所以 =(e 2-1）2 例11 计算解例12 计算解几个特殊积分、定积分的几个等式1、定积分的换元