菱形的判定定理

1、八年级数学下 新课标冀教第二十二章 四边形22.5 菱形（第2课时）学 习 新 知问题思考什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?平行四边形的判定方法应该从三个方面分析:(1)边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(3)对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么菱形的判定方法是什么呢?活动1利用菱形的定义判定菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的一种判定方法.即:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.活动2菱形的判定(1)画两条等长的线段AB,AD,分别以

2、B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC,CD,得到四边形ABCD,猜一猜,这是什么四边形?通过探究,容易得到:的四边形是菱形.已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:AB=CD,BC=AD,四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,四边形ABCD是菱形.活动3菱形的判定(2)已知:如图所示,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ACBD.求证:ABCD是菱形.证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC.又ACBD,BD是线段AC的垂直平分线.BA=BC.四边形ABCD是菱形.【思考】从上述证明中,你得出什么结论?菱形的判定

3、定理:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.(教材第145页例2)已知:如图所示,在ABC中,AD是BAC的平分线,DEAC,交AB于点E,DFAB,交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.分析:先证明四边形AEDF是平行四边形,再利用菱形的定义进行判定.证明:DEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形.1=3.又1=2,2=3.AE=DE.四边形AEDF是菱形.(补充)已知:如图所示,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB= ,OA=2,OD=1.求证ABCD是菱形.证明:在AOB中,AB= ,OA=2,OD=1,AD2=AO2+OD2.AOD是直角三角形,AOD=90.ACBD

4、.平行四边形ABCD是菱形.知识拓展(1)菱形的判定可以从两个图形(四边形或平行四边形)考虑,利用三种思路(边、角、对角线)进行证明.(2)菱形的性质定理和判定定理是互逆定理.【课堂小结】检测反馈1.(2016遵义中考)如图所示,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是()A.AB=ADB.ACBDC.AC=BDD.BAC=DAC解析:A.根据菱形的定义可得,当AB=AD时ABCD是菱形;B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知B正确;C.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,命题错误;D.当BAC=DAC时,在ABCD中,

5、ADBC,ACB=DAC,BAC=ACB,AB=BC,ABCD是菱形.故选C.C2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是()A.矩形 B.菱形C.正方形D.等腰梯形解析:由题意知AC=AD=BD=BC,四边形ADBC一定是菱形.故选B.B3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是()A.等腰梯形B.正方形C.矩形 D.菱形解析:等边三角形各边长度相等,而四条边相等的四边形是菱形.故选D.D4.如图所示,

6、在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,且AHEH=1213,又AE=5,则四边形EFGH的面积为()A.240B.60C.120D.169解析:由题意易知AEHBEFCGFDGH,EH=EF=FG=HG,四边形EFGH是菱形,其对角线的长等于矩形的长与宽.在RtAEH中,设AH=12k,EH=13k,则AE= =5k=5,k=1,AH=12,AD=24,AB=10,S菱形EFGH= ADAB= 2410=120.故选C.C5.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CEBD,DEAC.若AC=4,则四边形CODE的周长是.解析:CEBD,DEAC,四边

7、形CODE是平行四边形.四边形ABCD是矩形,OC= AC=2,OD= BD,AC=BD,OC=OD=2,四边形CODE是菱形,DE=CE=OC=OD=2,四边形CODE的周长=24=8.故填8.86.如图所示,CE是ABC的外角ACD的平分线,AFCD交CE于点F,FGAC交CD于点G.求证四边形ACGF是菱形.解析:根据平行线的性质得到2=3,根据角平分线的定义得到1=2,由等量代换得到1=3.AF=AC,从而利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证得结论.证明:AFCD,FGAC,四边形ACGF是平行四边形,2=3.CE平分ACD,1=2.1=3,AC=AF,四边形ACGF是菱形.7.如图所示,已知BD平分ABF,且交AE于点D,(1)求作BAE的平分线AP(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当ACBD时.求证四边形ABCD是菱形.解析:(1)根据角平分线的作法作出BAE的平分线AP;(2)先证明ABOCBO,得出AO=CO,AB=CB,再证明ABOADO,得出BO=DO.由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形.解:(1)如图(1)所示.图(1)图(2