高考数学考点归纳之直线、平面平行的判定与性质

1、高考数学考点归纳之直线、平面平行的判定与性质、基础知识1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文子语百图形语百符号语后判定定理？平囿外一条直线与此平囿内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 （线线平行 ?线面平行）l / a, a? a, l? a, l / a性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的平囿与此平囿的交线与该直线 平行（简记为“线面平行？线线平行”）1 / a, 1? 3, an 3=b,1 / b?应用判定定理时，要注意 “内” “外” “平行”三个条件必 须都具备，缺一不可.2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语百图形语百符号语后判定定理？一个平面内的两条相交 直

2、线与另一个平面平行， 则这两个平面平行（简记 为“线囿平行？囿囿平行”）- a / 3, b /氏 an b= P, a? a, b? a, - a/ 3性质定理如果两个平行平囿同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行a/ 以aCl y= a, 归产b,a / bACi的中点.求?如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表示：a? a, b? % anb=O, a ? 3, b ? & all a , b/b ? a/ 3、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平

3、行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.考点一直线与平面平行的判定与性质考法(一)直线与平面平行的判定典例如图，在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，点M, N分别为线段AiB, 证：MN/平面 BBiCiC.证明如图，连接AiC.在直三棱柱 ABC-AiBiCi中，侧面AAiCiC为 平行四边形.又因为N为线段ACi的中点，所以 AiC与ACi相交于点N,即AiC 经过点N,且N为线段AiC的中点.因为M为线段AiB的中点，所以 MN / BC.又因为MN?平面BBiCiC, BC?平面BBiCiC,所以MN /平面BBiCiC.考法（二）线面平行性质定理的应用

4、典例（2018豫东名校联考）如图，在四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，E为线段AD上的任意一点（不包括A, D两点），平面CECi与平面BBiD交于FG.小q求证：FG /平面AAiBiB.所会卜厂一证明在四柱 ABCD -AiBiCiDi中，BBi / CCi, BBi?平面 少显洒 fl CBBiD, CCi?平面 BBiD,所以CCi /平面BBiD.又CCi?平面CECi,平面 CECi与平面 BBiD交于FG ,所以 CCi / FG.因为 BBi / CCi,所以 BBi / FG.因为 BBi?平面 AAiBiB, FG?平面 AAiBiB,所以FG /平面AAiBiB.题组

5、训练i. （20i8浙江高考）已知平面a,直线m, n满足m? a, n? a,则m / n是m/ a的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A .若m?% n?且m/n,由线面平行的判定定理知m / %但若m? %n? a,且m / a,则m与n有可能异面，m/n是m/ a的充分不必要条件.2.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD, AB=2, CD = 3, M 为 PC 上一点，且 PM = 2MC.求证：BM /平面PAD. PM = 2MC ,MN =-CD.3一 2一X AB=-CD,且 AB / CD, 3.AB 触

6、MN,四边形ABMN为平行四边形,BM / AN.又BM?平囿PAD , AN?平囿BM /平面 PAD.法二：如图，过点M作MN /,. PM = 2MC,DN = 2NC,又 AB/ CD, AB=3cD, AB 触 DN,四边形ABND为平行四边形,BN / AD. BN?平囿 MBN, MN?平囿PAD,PD交CD于点N,连接BN.MBN, BNP MN = N,证明：法一：如图，过点 M作MN / CD交PD于点N,连接AN.AD?平囿 PAD, PD?平囿 PAD, AD H PD平囿MBN /平囿PAD. BM?平囿 MBN ,，BM/平囿 PAD.3.如图所示，四边形 ABCD

7、是平行四边形，=D,点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在 DM上取一点 G, 平面BMD于GH.求证：PA/GH.证明：如图所示，连接AC交BD于点四边形ABCD是平行四边形，过G和PA作平面PAHG交wO,连接MO,.O是AC的中点，又M是PC的中点，.又MO ?平面BMD , .PA/平面 BMD .平囿PAHGH平囿PA?平面 PAHG ,PA / GH.1Mo./易，PA?平面BMD ,匡不竺VBMD = GH,考点二平面与平面平行的判定与性质典例如图，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，E, F, G, H分别是AB, AC, A1B1, A1C1的中点，求证：(1)B, C,

8、 H, G四点共面；(2)平面 EFA1 / 平面 BCHG .证明(1)：GH是 A1B1C1的中位线，GH / B1C1.又 B1C1 / BC,GH / BC,.B, C, H, G四点共面.(2)E, F分别为AB, AC的中点，EF / BC, EF?平面 BCHG , BC?平面 BCHG ,.EF/平面 BCHG. A1G 触 EB,，四边形A1EBG是平行四边形，A1E/ GB. A1E?平面 BCHG , GB?平面 BCHG ,. A1E/平面 BCHG ., A1EA EF=E,平面 EFA/平面 BCHG.变透练清1.变结论 在本例条件下，若 D1, D分别为B1C1,

9、 BC的中点，求证：平面 A1BD1/平 面 AC1D.证明：如图所示，连接AC, AC1,设交点为M ,四边形A1ACC1是平行四边形，.M是A1C的中点，连接MD,D 为 BC 的中点，AB/DM. DM?平面 A1BD1, A1B?平面 A1BD1,DM /平面 A1BD1.又由三棱柱的性质知 D1C1糠BD ,四边形BDC1D1为平行四边形，DCi / BDi.又 DCi?平面 AiBDi, BDi?平面 AiBDi,DCi /平面 AiBDi,又DCiADM = D, DCi?平面 ACiD, DM?平面 ACiD,，平面 AiBDi/平面 ACiD.2.如图，四边形 ABCD与四边

10、形 ADEF为平行四边形，M, N, G分别是AB, AD, EF的中点，求证：(i)BE /平面 DMF ;(2)平面BDE /平面 MNG .证明：(i)如图，连接AE,设DF与GN的交点为O,则AE必过DF与GN的交点 O.连接MO,则 MO为4ABE的中位线，所以 BE / MO.又BE?平面DMF , MO?平面DMF ,所以BE /平面 DMF .(2)因为N, G分别为平行四边形 ADEF的边AD, EF的中点, 所以 DE / GN.又DE?平面 MNG, GN?平面 MNG ,所以DE /平面MNG .又M为AB中点,所以MN为乙ABD的中位线,所以 BD / MN.又BD?

11、平面 MNG, MN?平面 MNG ,所以BD /平面MNG .又 DE?平面 BDE , BD?平面 BDE , DEABD = D,所以平面 BDE /平面 MNG .课时跟检测A级.已知直线a与直线b平行，直线a与平面”平行，则直线b与a的关系为（）A.平行B,相交C.直线b在平面a内D.平行或直线 b在平面a内解析：选D 依题意，直线a必与平面”内的某直线平行，又 a/b,因此直线b与平 面a的位置关系是平行或直线 b在平面a内.若平面a/平面3,直线a/平面%点BC 3,则在平面3内且过B点的所有直线中（）A.不一定存在与a平行的直线B,只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的

12、直线D.存在唯一与a平行的直线解析：选A 当直线a在平面3内且过B点时，不存在与 a平行的直线，故选 A.在空间四边形 ABCD中，E, F分别是AB和BC上的点，若AE ： EB=CF ： FB = 1 ：2,则对角线 AC和平面DEF的位置关系是（）A.平行B,相交C.在平面内D.不能确定解析：选A如图，由露=CF得AC/EF. 又因为EF?平面DEF , AC?平面DEF , 所以AC /平面DEF . （2019重庆六校联考）设2, b是两条不同的直线，”3是两个不同的平面，则 all 3的一个充分条件是（）A.存在一条直线a,a /a,a /3B.存在一条直线a,a?a,a/3C.存

13、在两条平行直线D.存在两条异面直线a, b, a? a, b? 3, all 3, b/ a, b, a? % b? 3, all 3, b/all 3,则a/ 3或a与3相交,解析：选D 对于选项A,若存在一条直线 a, a / a,若“/ &则存在一条直线a,使彳导all鹏a /以所以选项A的内容是“/ 3的一个必要条件；同理，选项B、C的内容也是 all 3的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有 “/ &所以选项D的内容 是“/ 3的一个充分条件.故选 D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD-AiBiCiDi内灌

14、进 一些水，固定容器底面一边 BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾 斜度的不同，有下面四个命题：没有水的部分始终呈棱柱形；水面EFGH所在四边形的面积为定值；棱AiDi始终与水面所在平面平行；当容器倾斜如图所示时，BE BF是定值. TOC o 1-5 h z 其中正确命题的个数是（）A. iB. 2C. 3D . 4解析：选C 由题图，显然是正确的，是错误的；对于, AiDi / BC, BC / FG ,，AiDi/ FG 且 AiDi?平面 EFGH, FG?平面 EFGH, AiDi/平面 EFGH （水面）.是正确的；对于，;水是定量的（定体积V）,Sabef BC = V,即1BE

15、BF BC = V. BE BF =会（定值），即是正确的，故选 C.BC.如图，平面,/平面3, 4FAB所在的平面与 3分别交于 CD, AB,若 PC=2, CA=3, CD = i,贝U AB =.解析：二.平面a/平面3, CD / AB,mttPC CD FAX CD 5Xi 5贝U=, /. AB =-FA AB，PC 22.5答案：2.设% 8 丫是三个平面，a, b是两条不同直线，有下列三个条件: a/ 丫， b? 3; a/ % b/ 3； b/ 3, a? 丫如果命题“ “n 3= a, b? 丫，且,则a/b”为真命题，则可以在横线处填入的 条件是（填序号）.解析：由面

16、面平行的性质定理可知，正确；当b/ & a? 丫时，a和b在同一平面内,且没有公共点，所以平行，正确.故应填入的条件为或答案：或.在三棱锥 P-ABC中，PB=6, AC = 3, G为 PAC的重心，过点 G作三棱锥的一个截面，使截面平行于 PB和AC,则截面的周长为 .解析：如图，过点 G作EF/AC,分别交PA, PC于点E, F,过点E作EN / PB交AB于点N,过点F作FM / PB交BC于点M ,连接 MN,则2四边形 EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面),且EF= MN = -AC =32, FM = EN = ：PB=2,所以截面的周长为 2X4=8.答案：8.如图

17、，E, F, G, H分别是正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱BC, CCi, C1D1 , AA1的中点.求证：EG/平面 BBiDiD;(2)平面 BDF /平面 BiDiH.证明：(1)如图，取BiDi的中点O,连接GO, OB,11因为 OG 触2B1C1, BE 触BiCi,所以BE触OG,所以四边形BEGO为平行四边形,故 OB / EG,因为OB?平面BBiDiD,EG?平面 BBiDiD,所以EG /平面BBiDiD.(2)由题意可知 BD / BiDi.连接HB, DiF,因为BH触DiF, 所以四边形HBFDi是平行四边形，故 HDi / BF.又 BiDinHDi =

18、 Di, BDABF=B,所以平面BDF /平面BiDiH. (2019南昌摸底调研)如图，在四棱锥 P-ABCDZ ACD = 90, Z BAC=Z CAD =60, PAL平面 ABCD , 1.设M, N分别为PD, AD的中点.(1)求证：平面 CMN/平面FAB;中，/ ABC =PA=2, AB =(2)求三棱锥P-ABM的体积.解：(1)证明：M, N分别为PD, AD的中点,MN / PA,又MN?平面PAB, PA?平面PAB, .MN/平面 PAB.在 RtAACD 中，Z CAD =60, CN = AN, ./ ACN=60.又/ BAC=60, CN / AB.,.

19、 CN?平面 PAB, AB?平面 PAB,.CN/平面 PAB.又 CN A MN= N,平面CMN /平面PAB.(2)由(1)知，平面 CMN/平面PAB,点M到平面PAB的距离等于点 C到平面PAB的距离.,. AB=1, Z ABC=90, Z BAC = 60,BC = /3,二三棱锥 P-ABM 的体积 V= Vm-pab= Vc-pab= Vp-abc =!X 1 X 3x 2 = 3 23.如图，四棱锥 P-ABCD 中，PAL底面 ABCD, AD / BC, AB = AD=AC=3, PA= BC=4, M 为线段 AD 上一点，AM = 2MD, N 为 PC的中点.(1)求证：MN/平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.解：(1)证明：由已知得 AM = |aD = 2. 3取BP的中点T,连接AT, TN,由N为PC的中点知TN / BC,.1 -TN=|BC=2.又AD / BC,故TN触AM ,四边形 AMNT为平行四