计算机控制系统数学描述与分析课件

1、1第二章 计算机控制系统数学描述与分析2022/7/292022/7/292本章的基本内容 首先从计算机控制系统的信号出发，介绍信号的采样和恢复，然后讲述线性离散系统的基本概念和分析方法，包括离散系统数学模型的建立和离散系统稳定性、过渡过程特性和稳定精度分析，为后续章节的学习奠定基础。2022/7/293本章的基本内容2.1 信号的采样与恢复2.2 Z变换2.3 离散控制系统的数学描述2.4 离散控制系统稳定性分析2.5 计算机控制系统的过渡过程分析2.6 离散控制系统的稳态误差分析2022/7/2942.1 信号的采样与恢复 计算机只能接收、处理和输出数字信号。对于计算机控制系统这种模拟器件

2、和数字器件共存的混合系统，信号变换装置A/D和D/A是必不可少。 从现场检测的连续信号必须经过采样、A/D转换等量化处理变换为数字信号，才能由计算机进行计算处理；同理，计算机输出的离散的数字量也必须经过D/A转换器和保持器形成连续信号，才能作用于被控对象。计算机输入和输出的信息转换 时间上连续幅值上连续取值一般用十进制数表示2022/7/2952.1 信号的采样与恢复计算机输入和输出的信息转换 2022/7/2962.1 信号的采样与恢复时间上不连续幅值上连续取值脉冲序列信号采样信号计算机输入和输出的信息转换 2022/7/2972.1 信号的采样与恢复时间上不连续幅值上不连续取值用二进制代码

3、形式表示计算机处理的信号2022/7/2982.1 信号的采样与恢复2.1.1 连续信号的采样和量化 信号的采样过程 在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或数字序列的方式传递的，按一定的时间间隔T（采样周期），把时间和幅值上连续的模拟信号变成在0、T、2T、KT时刻的一连串脉冲输出信号的集合的过程叫做采样过程。实现采样动作的装置叫采样开关或采样器。开关闭合时间开关打开时间2022/7/299模拟信号的采样过程 采样开关输入的原信号 为连续信号。当采样开关的闭合时间很短时，采样信号 就可以认为是原信号在开关闭合瞬时的值 ，可以看作是一个权重为 的脉冲函数 。整个采样信号就可看作是一个加权脉冲序列

4、：2022/7/29102.1 信号的采样与恢复2.1.1 连续信号的采样和量化 信号的采样过程单位脉冲函数2022/7/29112.1 信号的采样与恢复2.1.1 连续信号的采样和量化 采样定理 在计算机控制系统中对连续信号进行采样，用抽取的离散信号序列代表相应的连续信号来参与控制运算。所以，采集到的离散信号序列必须能够表达相应连续信号的基本特征。这个问题和采样周期的选取是密切相关的。采样周期对采样效果的影响 2022/7/2912香农（Shannon）采样定理指出： 对于一个具有有限频谱 的连续信号进行采样时，采样信号 唯一地复现原信号 所需的最低采样角频率 必须满足 或 的条件。其中，

5、是原信号频率的最高角频率：采样频率与采样周期的关系为：2022/7/29132.1 信号的采样与恢复2.1.1 连续信号的采样和量化 采样定理在实际中，采样频率通常取 ，或者更高。对于工业过程，人们在实践中总结如下经验数据可供参考：温度流量压力液面成分1020s15s310s68s1520s变化速度快，信号频率相对较高变化速度慢，信号频率相对较低变化速度慢2022/7/29142.1 信号的采样与恢复2.1.1 连续信号的采样和量化 采样定理 将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号 用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。 执行量化动作的装置是A/D转换器，把在 范围内变化的采样信号

6、通过字长为 的A/D转换器，变换成 范围内的某个数字量。量化单位定义为：q是二进制数的最低有效位对应的整量单位整量化方法：“只舍不入”和“有舍有入”2022/7/29152.1 信号的采样与恢复2.1.1 连续信号的采样和量化 信号的量化 信号的恢复是指将采样信号恢复到原连续信号，它是采样过程的逆过程。将数字信号序列恢复成连续信号的装置称为采样保持器。2022/7/29162.1 信号的采样与恢复2.1.2 信号的恢复与采样保持器信号的理想恢复需要具备3个条件：原连续信号的频谱具有有限带宽，即满足采样定理具有理想的低通滤波器应用零阶保持器恢复的信号 零阶保持器将采样信号转变成阶梯信号，解决各采

7、样点之间的插值问题2022/7/29172.1 信号的采样与恢复2.1.2 信号的恢复与采样保持器 理想的低通滤波器是物理上不可实现的，故工程上通常采用接近理想滤波器特性的零阶保持器来代替。零阶保持器以前一时刻的采样值为参考基值作外推，来近似原连续信号。ZOHt0110Tt零阶保持器2022/7/2918时域方程 脉冲响应 从频率特性看，零阶保持器具有低通滤波特性，但不是理想的低通滤波器，它除了允许采样信号的主频分量通过外，还允许部分高频分量通过，不过它的幅值是逐渐衰减的;从相位特性看，零阶保持器是一个相位滞后环节，相位滞后的大小与信号频率及采样周期T成正比，不利于闭环系统的稳定。2022/7

8、/29192.2 Z变换 Z变换则是处理离散系统分析和设计问题的重要数学工具。Z变换和拉氏变换有着密切联系，可以认为是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法。2.2.1 Z变换的定义设离散系统的采样信号为：对上式进行拉氏变换，即得采样信号的拉氏变换：2022/7/2920代入 可得：2.2 Z变换2.2.1 Z变换的定义 为便于计算，将采样信号 的拉氏变换中包含的超越函数 定义为一个新的复变量Z，即 ，则 。其中，T为采样周期，并将 记为 ，得到离散函数 的Z变换： 称为离散函数 的Z变换，也叫离散拉氏变换或采样拉氏变换。2、上述求取Z变换方法称为单边Z变换（当 时， ），而称 为双边Z变换，在控制

9、系统中，通常只研究单边Z变换；2022/7/2921需要注意以下几点：1、任意项 具有明确的物理意义： 表示幅值，Z的幂次表示该采样脉冲出现的时刻；3、Z变换是由采样信号函数决定的，它反应不出非采样时刻的信息。如果存在两个不同的时间函数 和 ， ,但其采样值完全重复,即 ，则 。这说明Z变换 与 或离散函数 是一一对应的，但是与 之间的对应关系不唯一。2022/7/2922 求取离散时间函数 的Z变换有多种方法，这里介绍常用的三种：级数求和法、部分分式展开法和留数法。2.2 Z变换2.2.2 Z变换的求法(1) 级数求和法 按照Z变换的定义来求解取拉氏变换：依据Z变换定义可得：例2.1 求单位

10、阶跃函数的Z变换。解：即在所有采样时刻上的采样值均为1对应的离散时间函数：依据Z变换的定义，可得：如 ，利用等比级数求和公式，可得：2022/7/2923(1) 级数求和法 按照Z变换的定义来求解例2.2 求指数函数 的Z变换。解：对应的离散时间函数：依据Z变换的定义，可得：2022/7/2924(1) 级数求和法 按照Z变换的定义来求解（b）当设 为 的m重极点时，可展开成部分分式形式为：的非重极点其中2022/7/2925(2) 部分分式展开法 分解成简单部分分式之和，通过查Z变换表求出相应的Z变换（Z变换表见20、21页）（a）当 具有非重极点时，可展开成部分分式形式为：为为常数，其中例

11、2.3 已知函数 ，求 。解：有两个单极 ，则展开部分分式之和有：查Z变换表可得：2022/7/2926(2) 部分分式展开法 分解成简单部分分式之和，通过查Z变换表求出相应的Z变换（Z变换表见20、21页） ( )为全部极点，其中有m个非重极点和n-m个重极点， 为重极点的重数。如果函数 为严格的真有理分式，则 的Z变换 可直接由下式求得:2022/7/2927(3) 留数法 针对函数的每个极点求留数2022/7/2928(3) 留数法 针对函数的每个极点求留数例2.4 已知函数 ，求 。有一个2重单极点 ，两个单极点 。解：线性定理：位移定理：在t=0初值定理：终值定理：(1-z-1)F(

12、z)在单位圆上及单位圆外无极点滞后超前2022/7/29292.2 Z变换2.2.3 Z变换的基本定理终值定理成立的条件:在单位圆上和圆外没有极点存在单位圆外极点如果使用终值定理：实际上：是发散的2022/7/2930复位移定理：复域微分定理：离散卷积定理：复域积分定理：2022/7/29312.2 Z变换2.2.3 Z变换的基本定理 已知Z变换表达式 ，求相应离散序列 或 的过程称为Z反变换，记为：常用的Z反变换方法有长除法、部分分式法和留数计算法 2022/7/29322.2 Z变换2.2.4 Z反变换 Z反变换结果只反映采样时刻的信息，它与连续信号无一一对应关系，即：因此：比较可得：依据

13、Z变换定义得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析。2022/7/2933(1) 长除法 展开成按照z-1升幂排列的幂级数2.2 Z变换2.2.4 Z反变换例2.5 已知 ，求反Z变换。解：从而得到：2022/7/2934(1) 长除法 展开成按照z-1升幂排列的幂级数2022/7/2935(2) 部分分式展开法 展开成部分分式，通过查Z变换表，求和 设已知Z变换函数 无重极点，且 ，先求出 的极点 。再将 展开为分式之和：然后逐项查表得到最后写出对应的采样函数：例2.6 已知 ，求反Z变换 。解：2022/7/2936(2) 部分分式展开法 展开成部分分式，通过查Z变换表，求和采用部分分式

14、展开，得：查Z变换表，得到：即：从而有：应当注意，经反变换得到 的只是在采样时刻 与 在该时刻的值相等，而在其他时刻的值可以任意。时域函数 可以利用 在 全部极点上的留数之各求得，即：2022/7/2937(3) 留数法 也称反演积分法，Z变换函数可能是超越函数，无法应用部分分式法或长除法求解反变换。2.2 Z变换2.2.4 Z反变换例2.7 设Z变换函数 ，试用留数法求其Z反变换。解：函数有两个极点：1和0.5，先求出 对这两个极点的留数2022/7/2938(3) 留数法 也称反演积分法从而求得：2022/7/29392.3 离散控制系统的数学描述 计算机控制系统在本质上属于离散控制系统，

15、离散控制系统的性能分析和控制器设计离不开系统的数学描述（模型）。Z变换是离散系统分析和描述的有力工具。2.3.1 差分方程及其求解连续系统的动态过程用微分方程来描述离散系统的动态过程用差分方程来描述工程中的大多数计算机控制系统，可近似认为是线性定常离散系统2022/7/2940线性定常连续系统通过常系数线性微分方程来描述线性定常离散系统通过常系数线性差分方程来描述2.3 离散控制系统的数学描述2.3.1 差分方程及其求解1、差分的定义一阶前向差分的定义为n阶前向差分的定义为 同理，一阶后向差分的定义为 n阶后向差分的定义为 设单输入单输出计算机控制系统某一时刻输入为 ，输出为 ，则n阶线性定常

16、离散系统动态过程的一般形式为：二阶、常系数、线性差分方程2022/7/29411、差分的定义后向差分：前向差分：包括Z变换法和递推求解法。解：2022/7/29422、差分方程的求解(1) Z变换法 用Z变换求解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程很相似。先利用初始条件，将差分方程转换成为变量Z的代数方程，再求出Z反变换。例2.8 已知连续系统微分方程为 ，输入 ，初始条件为 ，试用前向差分方法进行离散化，并对所得差分方程进行求解 。用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数，得：根据前向差分定义，得：解：2022/7/2943例2.8 已知连续系统微分方程为 ，输入 ，初始条件为 ，试用前

17、向差分方法进行离散化，并对所得差分方程进行求解 。对以上差分方程两边分别进行Z变换离散化后，得：代入初始条件对其进行Z反变换得到解：2022/7/2944(2) 递推求解法例2.8 已知连续系统微分方程为 ，输入 ，初始条件为 ，试用前向差分方法进行离散化，并对所得差分方程进行求解 。用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数，得：根据前向差分定义，得：通过迭代可得：2022/7/2945线性连续系统用传递函数来研究系统性能线性离散系统用脉冲传递函数来研究系统性能2.3 离散控制系统的数学描述2.3.2 脉冲传递函数1、脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，离散控制系统输出序列的Z变换与输入序列Z

18、变换之比称为离散系统的脉冲传递函数。脉冲传递函数只决定于系统本身的结构参数，与输入信号无关。2022/7/29461、脉冲传递函数的定义 离散系统既可以采用差分方程描述，也可以采用Z传递函数描述，两者之间可以互相转换。系统差分方程：零初始条件下系统脉冲传递函数：系统特性多项式2022/7/29471、脉冲传递函数的定义已知采样系统的连续传递函数G(s)，其脉冲传递函数计算步骤：对G(s)进行拉氏反变换，求得脉冲响应：对g(t)采样，求得离散系统脉冲响应：对脉冲响应g*(t)做Z变换，求得Z传递函数：离散化后G(z)的极点是G(s)的极点按z=esT的关系一一对应过来的；G(z)的零点的位置与采

19、样周期有关，一般多于G(s)的零点个数，没有极点那种对应关系；2022/7/29482.3 离散控制系统的数学描述2.3.2 脉冲传递函数2、系统框图的脉冲传递函数 计算机控制系统中，既有被控对象那样的连续环节，又有计算机这样的离散环节，而且采样开关位置因系统而异，因此，各环节脉冲传递函数的求法比连续系统要复杂。分析连续系统传递函数框图的方法不能直接一一照搬到离散控制系统，还需要考虑到离散系统的特殊性。2022/7/29492、系统框图的脉冲传递函数(1)、开环系统脉冲传递函数两个环节间有采样开关：串联环节 两个环节间无采样开关：通常情况下： 2022/7/29502、系统框图的脉冲传递函数(

20、1)、开环系统脉冲传递函数有采样开关：无采样开关： 两种情况的极点相同，但零点不同。根据环节之间有无采样开关，连续元件前后有无采样开关，正确写出系统的脉冲传递函数，对于研究系统的性能是非常重要的。2022/7/29512、系统框图的脉冲传递函数(1)、开环系统脉冲传递函数并联环节 带零阶保持器 2022/7/29522、系统框图的脉冲传递函数(2)、闭环系统脉冲传递函数典型计算机控制系统 在求离散系统闭环脉冲传递函数时，首先应根据系统结构列出各变量之间的关系，然后消去中间变量，得到输出量Z变换和输入量Z变换之间的关系。 考虑典型计算机控制系统，其等效传递函数如图所示，反馈通道中连续环节H(s)

21、为测量变送装置的传递函数。D(s)为控制器，其输入为E*(s)，输出为U*(s)。则：2022/7/2953输出信号： 偏差信号： 采样后的偏差信号： 采样后的输出信号： 输出信号的Z变换： 闭环系统传递函数： 数字控制器传递函数广义对象传递函数2022/7/2954(2)、闭环系统脉冲传递函数部分离散控制系统输出及脉冲传递函数（见书P36表2.2）2022/7/2955(2)、闭环系统脉冲传递函数部分离散控制系统输出及脉冲传递函数（见书P36表2.2）2022/7/29562.4 离散控制系统稳定性分析 稳定性是控制系统的最基本要求，是保证系统能正常工作的首要条件。在连续系统中，通常在S域就

22、可以判断系统稳定性。同理，在离散系统中，可以在Z域对系统稳定性进行研究。为了研究计算机控制系统的稳定性，首先需要分析S平面与Z平面的关系。S平面与Z平面的映射关系可由 来确定，设 ，则：2022/7/29572.4 离散控制系统稳定性分析2.4.1 S平面到Z平面的变换S平面与Z平面的映射关系2.4.1 S平面到Z平面的变换当=0，即s平面的虚轴，对应z平面的单位圆当0，即s右半平面对应z平面的单位圆外s平面角频率 与z平面相角 关系2022/7/29582.4 离散控制系统稳定性分析 在Z平面上，当 为某个定值时， 随 由 变到 的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为 ，圆心角随 线性增大。S

23、平面上的主带和旁带2022/7/2959频率混叠现象 每个频带映射到Z平面与之对应的是整个Z平面，其中位于S平面虚轴左边部分都与Z平面单位圆内部区域对应；在虚轴左边部分都与Z平面单位圆外部区域对应，每个频区内的一段虚轴都与Z平面单位圆周相对应。2022/7/29602.4 离散控制系统稳定性分析2.4.2 离散控制系统的稳定性条件连续系统稳定的充要条件： 系统极点在S平面内具有负实部，即极点都要分布于S平面的左半部，如果有极点出现在S平面右半部，则系统不稳定。所以S平面的虚轴是连续系统稳定与不稳定的分界线。线性定常离散系统稳定的充要条件： 极点满足 ，即系统所有闭环极点均应分布于Z平面的单位圆

24、内。只要有极点在单位圆外，系统就不稳定；当极点位于单位圆上时，系统处于临界稳定状态，临界稳定在工程上也认为是不稳定。2022/7/29612.4 离散控制系统稳定性分析2.4.2 离散控制系统的稳定性条件已知离散系统的脉冲传递函数为：假设该脉冲传递函数具有n个相异的实数极点 ，则系统输出：进行Z反变换得：如果所有极点位于单位圆内，即 ，则：系统渐近稳定。上述结论对有重根的情况也成立。2022/7/29622.4.2 离散控制系统的稳定性条件S平面Z平面稳定性讨论= 0，虚轴r = 1，单位圆稳定边界 0，左半部分r 1 ，单位圆内稳定 0，右半部分r 1 ，单位圆外不稳定= 0，实轴正实轴不稳

25、定为常数，实轴的平行线端点为原点的射线不稳定2022/7/2963直接法：求解系统的特征根;间接法：用劳斯判据判断稳定性。 离散系统的稳定边界为单位圆，不能直接采用连续系统的劳斯判据方法。需要引入双线性变换（又称W变换），将Z平面的单位圆映射到W平面的左半平面。2.4 离散控制系统稳定性分析2.4.3 离散系统稳定性判别方法则：令可以得到2022/7/2964极点在Z平面的单位圆上，则有 ，对应于W平面中的 ，即虚轴上。2.4 离散控制系统稳定性分析2.4.3 离散系统稳定性判别方法在W平面的虚轴上：极点在Z平面的单位圆内，则有 ，对应于W平面中的 ，即虚轴以左。极点在Z平面的单位圆外，则有

26、，对应于W平面中的 ，即虚轴以右。例2.9 设具有零阶保持器的线性离散系统如图所示，采样周期T=1s，试判断系统稳定时的K值范围。解：系统的特征方程：建立劳斯表：2022/7/2965双线性变换：第一列元素均为正：闭环系统稳定时的K值范围：2022/7/29662.5 计算机控制系统过渡过程分析 计算机控制系统的过渡过程是指系统在外部信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程。计算机控制系统的动态特性通常是指系统在单位阶跃参考输入信号作用下的过渡过程特性。同连续系统一样，计算机控制系统的过渡过程的形态特征也是由系统本身的结构和参数决定的，与闭环系统的极点在Z平面上的分布有关。20

27、22/7/2967实数极点对应的暂态响应分量2.5 计算机控制系统过渡过程分析极点在单位圆外的正实轴上，对应的响应分量为单调发散，系统是不稳定的。极点等于1，在单位圆与正实轴的交点，对应的响应分量为等幅序列，系统临界稳定。极点在单位圆内的正实轴上，对应的响应分量单调衰减。且极点越靠近原点，其值越小且衰减越快。极点在单位圆内的负实轴上，对应的响应分量是以2T为周期的正负交替衰减振荡。极点等于-1，在单位圆与负实轴的交点，对应的响应分量是以2T为周期的正负交替的等幅振荡。极点在单位圆外的负实轴上，对应的响应分量是以2T为周期的正负交替发散振荡。2022/7/29681、实数极点对应的暂态响应分量2

28、.5 计算机控制系统过渡过程分析2022/7/2969复数极点对应的暂态响应分量2.5 计算机控制系统过渡过程分析2022/7/29702、复数极点对应的暂态响应分量2.5 计算机控制系统过渡过程分析极点在单位圆外的 平面上，对应的响应分量为发散振荡序列，系统不稳定。极点在单位圆上，对应的响应分量为等幅振荡序列，系统临界稳定。极点在单位圆内，对应的响应分量为衰减振荡序列。复极点越靠近原点，相应的暂态响应分量衰减也越快。位于Z平面左半平面的复极点，其暂态响应分量同位于Z右半平面相应暂态响应情况类似，不同的是其振荡频率要高于Z右半平面复极点的暂态响应分量的振荡频率。2022/7/29713、结论2.5 计算机控制系统过渡过程分析当闭环极点位于单位圆内时，对应的输出分量是衰减序列，而且极点越接近Z平面的原点，输