行程问题变速问题

1、变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算行程问题常用的解题方法有公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的

2、行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（ 如路程、速度、时间等） 往往是不确定的， 在没有具体数值的情况下，只能用比例解题;分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用.这时通常把不匀速的运动分 为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都

3、很难求解时，设条件关系最多 的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解.模块一、变速问题【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。 小红每分走52米，小强每分走70米,二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米, 则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？【例2】 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反 方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒， 结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。【例3】（2008年日本小学算术奥林匹克大赛）上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与

4、从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍, 乙速度不变；8点30分，甲，乙两人同时到达各自的目的地.那么，乙从 B地出发 时是8点 分.【例4】（难度等级次）A B两地相距7200米，甲、乙分别从A, B两地同时出发，结果在距B 地 2400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的 3 倍，那么两人可提前10 分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【例5】（难度等级 派）甲、乙两车分别从A, B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C 点 如果甲车速度不变， 乙车每小时多行5 千米， 且两车还从A ，B 两地同时出发相向而行， 则相遇地点距C 点 12 千米； 如果乙车速度不变，

5、甲车速度每小时多行5 千米，则相遇地点距C 点 16 千米甲车原来每小时行多少千米？【巩固】（难度等级 派）甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C 点。如果甲速度不变，乙每小时多行4 千米，且甲、乙还从A 、 B两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从A 、 B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E 距 C点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？6A、 B 两地间有一座桥 （ 桥的长度忽略不计） ， 甲、 乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇如果甲加快速度，每小时多走2 千米，而乙提前

6、0.5 小时出发，则仍能恰在桥上相遇如果甲延迟0.5 小时出发，乙每小时少走2 千米，还会在桥上相遇则 A 、 B 两地相距多少千米？7 一列火车出发1 小时后因故停车0.5 小时，然后以原速的 3/4 前进，最终到达目的地晚 1.5 小时若出发1 小时后又前进90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的 3/4 前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？1/98 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提 高1/6 ,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米

7、？【例9】 上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速 去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3倍，乙速度不变；8点30分, 甲、乙两人同时到达各自的目的地.那么，乙从 B地出发时是8点几分.【例10（难度等级 ）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发 后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。 那么甲回到出发点共用多少小时？【例11】小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中A点后，他将速度改为每小时2千米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下

8、山，并走到 A点上方500 米的地方.如果他下山的速度是每小时4千米，下山比上山少用了 52.5分钟.那 么，他往返共走了多少千米？【例12（难度等级 派）甲、乙两车从 A、B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车 提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等 于多少千米/小时？【例13】 甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同 一起跑线同时起跑，甲每分钟跑 400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一 圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快 1 ,甲每分钟比原来多跑1

9、8米，并且都 4以这样的速度保持到终点.问：甲、乙两人谁先到达终点?【例14】 环形场地的周长为1800米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行（甲速大于乙速），12分钟后相遇.如果每人每分钟多走25米，则相遇点与前次相差33米, 求原来二人的速度.【例15 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用 20分钟。因途中有2千米正在修路， 只好推车步行，步行速度只有骑车速度的 1,结果这天用了 36分钟才到学校。从3王刚家到学校有多少千米？【例16】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.出发时，甲，乙的速度之 比是5： 4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时， 乙

10、离开A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米？【例17】 甲、乙往返于相距1000米的A , B两地.甲先从A地出发，6分钟后乙也从A地 出发，并在距A地600米的C地追上甲.乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B 地休息1分钟后加快速度向A地返回，并在C地追上乙.问：甲比乙提前多少分钟 回到A地？【例18】一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高50% o出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到 达乙地时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需 要多少时间？【例19】 甲、乙两地间平路占1 ,由甲地去往乙地，上山路千

11、米数是下山路千米数的 1 , 一辆汽车从甲地到乙地共行了 10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢 20% , 行下山路的速度比平路快20%,照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？【例20】 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反 方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙 的速度是甲的速度的-.甲跑第二圈的速度比第一圈提高了 1,乙跑第二圈的速 33度提高了 1,已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路 5程是190米，问这条跑道长多少米？【例21】 甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一

12、地点向相反方 向跑去.相遇后甲比原来速度增加4米/秒，乙比原来速度减少4米/秒，结果都 用25秒同时回到原地.求甲原来的速度.【巩固】从A村到B村必须经过C村，其中A村至C村为上坡路，C村至B村为下坡路，A 村至B村的总路程为20千米.某人骑自行车从A村到B村用了 2小时，再从B村返 回A村又用了 1小时45分.已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下 坡时的速度是上坡时速度的2倍.求A、C之间的路程及自行车上坡时的速度.【例22】（ 2008年“奥数网杯”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里.早晨7： 40 ,欢欢从家出发骑车去学校，7： 46追上了一直匀速步行的贝贝；看到

13、身穿 校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8:00赶到学校时，贝贝也恰好到学校.如果欢欢 在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是 点 分.【例23】 甲、乙两人都要从A地到B地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟60米.乙 比甲早出发20分钟，甲在距A地1920米的C处追上乙，两人继续向前，甲发现 自己忘带东西，于是将速度提高到原来的1.5倍，马上返回A地去取，并在距离C 处720米的D处遇上乙.甲到达A地后在A地停留了 5分钟，再以停留前的速度 骑往B地，结果甲、乙两人同时到达 B地.A、B两地之间的距离是 米

14、.【例24】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半 下坡路.小芳上学走这两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的1.6倍,那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【例25】（2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢， 在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么， 乙跑完全程所用的时间是多少分钟？【例26】（2003年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑

15、道匀速跑步.如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高 25%,而 乙的速度立即减少20%,并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距 100米，那么这条环形跑道的周长是 米.【例27如图所示，甲、乙两人从长为 400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右 半部分（粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、 乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒 4米。两人一直跑下去， 问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有 米。【例28】（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆 玩具甲虫在400米跑道上

16、进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具 甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第N次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的 N 10%倒退 1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按 次遥控器。【例29】 唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑.米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的 速度是每分钟100米.唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用 都能使米老鼠进入“麻痹”状态 1分钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器 需要1

17、分钟恢复能量才能再使用.米老鼠对“麻痹”状态也在逐渐适应，第 1次 进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第2次进入“麻痹”状态时，就会有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度，第20次进入“麻 痹”状态时已有原速度95%的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控 器所控制了 .唐老鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米 老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器 ？【例30】 小周开车前往某会议中心，出发 20分钟后，因为交通堵塞，中途延误了 20分 钟，为了按时到达会议中心，小周将车速提高了25%，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？【例31】 （20

18、08年清华附中入学测试题）如图，甲、乙分别从 A、C两地同时出发，匀 速相向而行，他们的速度之比为5:4,相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地 前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低-,这样当乙回到C地5时，甲恰好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间的距离是 千米。【例32】 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车速度为 32千米/时，乙 车速度为48千米/时，它们到达B地和A地后，甲车速度提高1 ,乙车速度减少1 , 它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距74千米，那么A、B之间的距离是多少千米？【例33】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克初赛）上午8点

19、整，甲从A地出发匀速 去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到 原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地. 那么， 乙从B地出发时是8点 分.【例34】 甲、乙往返于相距1000米的A, B两地.甲先从A地出发，6分钟后乙也从A地 出发，并在距A地600米的C地追上甲.乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B 地休息1分钟后加快速度向A地返回，并在C地追上乙.问：甲比乙提前多少分钟 回到A地？【例35】（2005年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）如图所示，有 A、B、C、D四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路 AB、BC、CD上，汽车行驶的

20、最高时速限 制分别是120千米、40千米和60千米。一辆大巴车从A景点出发驶向D景点， 到达D点后立刻返回；一辆中巴同时从 D点出发，驶向B点。两车相遇在C景点， 而当中巴到达B点时，大巴又回到了 C点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其 所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.5% ,求大巴客车的最高时速。40【巩固】从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时千米；在第二段上，汽车速度是每小时 90千米；在第三段上，汽车速度是每小时 50千米.己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向