二项式定理考试习题

1、 6/61.3二项式定理13.1二项式定理学习目标1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点一二项式定理(ab)nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(2,n)an2b2Ceq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bn(nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1项(3)二项式系数：各项的系数Ceq oal(k,n)(k0,1,2，n)叫做二项式系数知识点二二项展开式的通项(ab)

2、n展开式的第k1项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Ceq oal(k,n)ankbk.1(ab)n展开式中共有n项()2在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()3Ceq oal(k,n)ankbk是(ab)n展开式中的第k项()4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()5二项式(ab)n与(ba)n展开式中第k1项相同()一、二项式定理的正用、逆用例1(1)求eq blc(rc)(avs4alco1(3r(x)f(1,r(x)4的展开式解方法一eq blc(rc)(avs4alco1(3r(x)f(1,r(x)4Ceq oal(0,4)(3eq r(x)4Ceq oal(1

3、,4)(3eq r(x)3eq f(1,r(x)Ceq oal(2,4)(3eq r(x)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(x)2Ceq oal(3,4)(3eq r(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(x)3Ceq oal(4,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(x)481x2108x54eq f(12,x)eq f(1,x2).方法二eq blc(rc)(avs4alco1(3r(x)f(1,r(x)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(3x1,r(x)4eq f(1,x2)(13x)4eq f(1,x2)1Ceq

4、 oal(1,4)3xCeq oal(2,4)(3x)2Ceq oal(3,4)(3x)3Ceq oal(4,4)(3x)4eq f(1,x2)(112x54x2108x381x4)eq f(1,x2)eq f(12,x)54108x81x2.(2)化简：Ceq oal(0,n)(x1)nCeq oal(1,n)(x1)n1Ceq oal(2,n)(x1)n2(1)kCeq oal(k,n)(x1)nk(1)nCeq oal(n,n).解原式Ceq oal(0,n)(x1)nCeq oal(1,n)(x1)n1(1)Ceq oal(2,n)(x1)n2(1)2Ceq oal(k,n)(x1)n

5、k(1)kCeq oal(n,n)(1)n(x1)(1)nxn.引申探究若(1eq r(3)4abeq r(3)(a，b为有理数)，则ab_.答案44解析(1eq r(3)41Ceq oal(1,4)(eq r(3)1Ceq oal(2,4)(eq r(3)2Ceq oal(3,4)(eq r(3)3Ceq oal(4,4)(eq r(3)414eq r(3)1812eq r(3)92816eq r(3)，a28，b16，ab281644.反思感悟(1)(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于n；字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母

6、b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪训练1化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解原式Ceq oal(0,5)(x1)5Ceq oal(1,5)(x1)4Ceq oal(2,5)(x1)3Ceq oal(3,5)(x1)2Ceq oal(4,5)(x1)Ceq oal(5,5)1(x1)151x51.二、二项展开式通项的应用例2若eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(1,2r(4,x)n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中

7、含x的一次项；(2)展开式中所有的有理项解(1)由已知可得Ceq oal(0,n)Ceq oal(2,n)eq f(1,22)2Ceq oal(1,n)eq f(1,2)，即n29n80，解得n8或n1(舍去)Tk1Ceq oal(k,8)(eq r(x)8keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2r(4,x)kCeq oal(k,8)2k ，令4eq f(3,4)k1，得k4.所以含x的一次项为T5Ceq oal(4,8)24xeq f(35,8)x.(2)令4eq f(3,4)kZ，且0k8，则k0,4,8，所以含x的有理项分别为T1x4，T5eq f(35,8)x，T9eq

8、f(1,256x2).反思感悟(1)利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型求第k项，TkCeq oal(k1,n)ank1bk1；求含xk的项(或xpyq的项)；求常数项；求有理项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练2(1)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x)

9、5的展开式中x3项的系数为()A80 B80 C40 D48答案B解析eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x)5的展开式的通项为Tk1Ceq oal(k,5)(2x)5keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)k(1)k25kCeq oal(k,5)x52k，令52k3，得k1.于是展开式中x3项的系数为(1)251Ceq oal(1,5)80，故选B.(2)已知n为等差数列4，2,0，的第六项，则eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,x)n的二项展开式的常数项是_答案160解析由题意得n6，Tk12kCeq oal(k,6)x62k，令62k0得

10、k3，常数项为Ceq oal(3,6)23160.三、二项式定理的应用例3(1)试求2 01910除以8的余数；(2)求证：32n28n9(nN*)能被64整除(1)解2 01910(82523)10.其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同又31095(81)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)证明32n28n9(81)n18n9Ceq oal(0,n1)8n1Ceq oal(1,n1)8nCeq oal(n1,n1)8n9Ceq oal(0

11、,n1)8n1Ceq oal(1,n1)8nCeq oal(n1,n1)82(n1)818n9Ceq oal(0,n1)8n1Ceq oal(1,n1)8nCeq oal(n1,n1)82.式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除反思感悟(1)利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系(2)把余数及整除问题转化为二项式定理问题，体现了数学建模的核心素养跟踪训练3已知nN*，求证：122225n1能被31整除证明12222325n1eq f(125n,12)25n132n1(311)n131nCeq oal(1,n)3

12、1n1Ceq oal(n1,n)311131(31n1Ceq oal(1,n)31n2Ceq oal(n1,n)，显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除1注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记Ceq oal(k,n)ankbk是展开式的第k1项，不要误认为是第k项3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值1.eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)5的展开式中含x3项的二项式系数为()A10 B10C5 D52.eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(2,x3)5展开式中的常数项为()A80 B80C40 D403设S(x1)3

13、3(x1)23(x1)1，则S_.4(x2)n的展开式共有12项，则n_.5Ceq oal(0,n)2nCeq oal(1,n)2n1Ceq oal(k,n)2nkCeq oal(n,n)_.一、选择题1(1i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为()A210 B210C120i D210i2.eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(2,x)6展开式中常数项为()A60 B60C250 D2503.eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)9展开式中的第四项是()A56x3 B84x3C56x4 D84x44(xeq r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是

14、()A840 B840 C210 D2105在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是()A5 B5 C10 D106使eq blc(rc)(avs4alco1(3xf(1,xr(x)n(nN*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5 C6 D7二、填空题7(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)8在(xeq r(4,3)y)20的展开式中，系数为有理数的项共有_项9若(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)10(x2x2)4的展开式中，x3的系数为_(用数字填写答案)11对于二项式eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)x3)n(nN*)，有以下四种判断：存在nN*，展开式中有常数项；对任意nN*，展开式中没有常数项；对任意nN*，展开式中没有x的一次项；存在nN*，展开式中有x的一次项其中正确的是_(填序号)12若eq blc(rc)(avs4alco1(ax2f(b,x)6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_答案2三、解答题13求e