高等数学第六章定积分的应用习题课课件

1、第六章 定积分应用习题课一、定积分应用的类型1几何应用 平面图形的面积特殊立体的体积平面曲线弧长旋转体的体积平行截面面积为已知立体的体积2物理应用 变力作功水压力引力二、构造微元的基本思想及解题步骤1. 构造微元的基本思想无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部 上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分 2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： 选取适当的坐标系；三、典型例题1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立

2、体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。在 上求出微元解析式把所求的量表示成定积分 确定积分变量和变化范围 ；【例1】求由 所围成图形的面积。 分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。 如果取 为积分变量, 则 设区间 所对应的曲边梯形面积为 则面积元素 就是在 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。解：(1) 确定积分变量和积分区间：的交点为 和 ,取 为积分变量, 则由于曲线 和（2）求微元：任取 如果将图形上方直线的纵坐标记为 ,将图形下方抛物线的纵坐标记为 ,那么， 就是区间 所对应的矩形的面积。因此（3） 求定积分：所求的几何图形

3、的面积表示为计算上面的积分得： 分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图 【例2】* 求位于曲线 下方，该曲线过原点的切线 的左方以及 轴上方之间的图形的面积。 所示。如果取 为积分变量，则 设区间所对应的曲边梯形就是在 上“以直代曲”所形成的矩形面积。 面积为 则面积元素考虑到当 和 时上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也不同，因此微元 应该分别去求. 解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点 的坐标为 则过原点且与 相切的切线方程为： 由 得 的坐标为 .故得到切线方程为 . 所以选取 为积分变量, .（2）求微元：任取 ,则当时,那么面积元素 就是区间 所对应的矩

4、形的面积，（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：解上面的积分得：即 当 时,那么面积元素 就是区间所当对应的矩形的面积，即 【例3】求由摆线 , 的一拱与 轴所围成图形的面积.分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，设区间 所对应的曲边梯形面积为 则面积元素 就是在 上“以直代曲” 所形成的矩形面积。 如果取 为积分变量,则 .解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 为积分变量，(2) 求微元： , ,那么面积元素 就是区间 所对应的矩形的面积，即 . (3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：【例4】求曲线 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面

5、积如图所示。所对应的曲边扇形的面积为 所求图形的面积 则面积元素 就是用区间 所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积 面积因为曲线关于 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.取 为积分变量,则 设区间解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， (2) 求微元：任取 则面积元素 就是区间 所对应的扇形面积,(3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为则所求的几何面积为 【例5】设由曲线 ， 及 围成平面图形 绕 轴, 轴旋转而成的旋转体的体积。分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕 轴旋转时，取 为积分变量; 绕 轴旋转时, 取 为积分变量。设区间对 或对或 所对应的曲边梯形为 是以直代曲所

6、形成的矩形为 则绕 轴、 轴旋转而成的旋 转体的体积微元 就是矩形 分别绕 轴、 轴旋转而成的体积.解: (一) 求 绕轴旋转而成的旋转体的体积 （1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图,旋转体体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的旋转体的体积，即 （2）求微元：对取 为积分变量,则（3）求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体的体积表示为计算积分得：（1）确定积分变量和积分区间：绕 轴旋转如图, 取 为积分变量, 则(二) 求绕 轴旋转而成的旋转体的体积（2）求微元：对旋转体的体积元素 是 对应的矩形绕 轴所得的旋转体体积, 即（3）求定积分：绕 轴所得的旋转体的体积表示为 计算积分得:通过例5，

7、同样可求出绕平行于 轴和平行于 轴的直线旋转而成的旋转体的体积，见例6。对 设区间 所对应的曲边梯形为 旋转而成的旋转体的体积。 【例6】设由曲线 及 围成平面图形 试求平面图形 绕直线 旋转而成的旋转体的体积。的旋转体的体积微元 就是矩形 分别绕直线 分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线 以直代曲所形成的矩形为 则绕直线 旋转而成平行于 轴, 所以绕直线 旋转时, 取 积分变量。解: (1) 确定积分变量和积分区间：(2) 求微元：对 轴所得的旋转体的体积，即 取 为积分变量,则绕直线 旋转如图 ，旋转体的体积元素 是 对应的矩形绕 计算积分得：(3) 求定积分：绕 轴旋转而成的旋转体

8、的体积表示为 【例7】 计算底面是半径为2 的圆，而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择 积分变量为 , 如果能求出平面 所截立体的截面面积 那么， 所对应的体积元素为 . 建立如图所示的坐标系，解: (1) 确定积分变量和积分区间：则底圆方程为 取 为积分变量, 所以 （2）求微元：因为过点 的截面为等边三角形（如图）， 其边长为 高为 所以截面积为 因此, 对 所对应的体积元素为 （3） 求定积分：所求立体的体积为【例8】计算半立方抛物线了 被抛物线 截得的一段弧的长度。分析：所给定的曲线弧如图所示。 对 把区间

9、 上 所对应的曲线段长 用切线段长 代替，则得到弧长的微元 的解析式.取积分变量为 则取 为积分变量,则解: (1) 确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点的横坐标得(2) 求微元： 区间所对应的曲线段长 用切线段长 来代替,得弧长元素由于从而 (3) 求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得【例9】求星形线 的全长.分析：曲线为参数方程，由于星形线关于 轴都对称所以只须考虑第一象限中的情况。取参数 为积分变量， 对 把区间 上所对应的曲线段长 用切线段长 代替,则得到曲线弧长的微元 的解析式。 解: (1) 确定积分变量和积分区间:取参数 为积分变量, (2) 求微元： 把区间 上所对

10、应的曲线弧长用切线段长 代替, 得弧长元微元 (3) 求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得则所求曲线弧长为 注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标来做，但积分时要注意积分上下限的确定。 以上例1-9给出了定积分在求几何图形面积，旋转体体积，截面面积为已知的立体的体积和曲线弧长方面的应用。下面的例10给出了定积分的综合应用。【例10】* 设曲线 与 交于点过坐标原点 和点 的直线与曲线 围成一平面图形， 问 为何值时, 该图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的体积最大？最大体积是多少？分析：此题为定积分应用的最值问题，首先应先求出交点 的方程与曲线 围成一平面图形绕 轴旋转一周所得

11、到的旋转体的体积可看成直线 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积减去曲线 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积, 见图, 最后求驻点，即可得 .解：求交点： ,的坐标，确定 的范围, 然后求出直线 的方程, 直线解得直线 方程为直线 与曲线 围成一平面图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为令 得 为唯一驻点.所以，当 时旋转体的体积最大2. 物理应用 定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。【例1

12、1】 将半径为 的半球形水池内注满水,若将满池水 全部抽出，需作多少功？分析：吸水作功是水的重力在作功问题，此问题可理解成将水一层一层吸出的。取坐标原点在水平面， 轴铅直向下如果设 所对应的薄层的体积为 那么在 上以直代曲，便得体积元素 从而得到重力作功的功元素 解: (1) 确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系.则半圆的方程为 取 为积分变量, 则(2) 求微元: 对 把区间 所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到 由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为 所以功的元素为(3) 求定积分：将满池水全部抽出所作的功为【例12】一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，

13、铅直沉 入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘 米，求每面所受的压力。分析：由于水压力等于受力面积乘以压强。如果取如图所示的坐标系，压力可理解水深 处的压强乘上受力面积. 的矩形面积 代替, 所以水压力元素为对应的受力面积 可用相应那么 在 窄条所受的水解: (1) 确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系，则直线 的方程为 取 为积分变量，则 (2) 求微元： 且 窄条上所受的压强为 窄条 的面积 用对应矩形的面积 近似代替, 得到所以的水压力元素为(3) 求定积分：每面所受的压力为 【例13】* 有一半径为 得均匀半圆弧，质量为 求它对 位于圆心处的单位质量质点的引力。分析：圆弧对质点的引力可采用元素