高等数学10函数课件

1、欢 迎 新 同 学高 等 数 学教 材： 高等数学 （上册）中国地质大学（北京） 李明霞 (讲师) 教学环节 授课 共192 课时，上册96课时， 作业： 每周三交作业 ， 单页纸 批改一半左右 平时成绩占课程总成绩一部分学习方法： 尽快适应大学的教学方法 培养自学的能力 课后先复习，后做作业主讲教师：1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容多元微积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数

2、学.聪明在于学习 , 天才在于积累 .学而优则用 , 学而优则创 .由薄到厚 , 由厚到薄 .马克思 恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .第一节 目录 上页 下页 返回 结束 华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿 (15961650)法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 .1637年他发表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题 ,作

3、图法,华罗庚(19101985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽, 专, 漫 ”, 即基础要宽,专业要专, 要使自己的专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.第一章第 0 节 函数一、基本概念1. 绝对值(absolute value)运算性质绝对值不等式2. 邻域(neighbourhood) 数集即 邻域, 记作几何表示

4、 有时简记为去心(空心) 即两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形区域.如,即为xOy平面上的矩形区域,这个区域在x轴与y轴上的投影分别为闭区间和闭区间3. 逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号“ ”表示 “任取 ”, 或“任意给定”.“ ”表示 “存在 ”,“至少存在一个”,或“能够找到”. 如实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样叙述的:任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个自然数n,用逻辑符号将阿基米德公理改写:Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写Exist(存在)的 字头E的倒写练习符号“ ” 表示 “蕴含 ”,或 “推出”.符号“ ” 表示 “等价 ”

5、,或 “充分必要”.映射与函数二、映射1. 映射概念(mapping)（集合略）定义设 X、Y 是两个非空集合,如果存在一个法则f ,使得对通过f ,在Y中有唯一确定的元素 y 与之对应,则称f 为从 X 到 Y 的映(或算子),记作并称y为x(在映射f下)的像,并记作即x称为y的原像.射定义域 即记映射与函数X中所有元素的像所组成的集合记作 或f 的即称为在中学数学中所接触的函数实际是:实数集(或其子集)到实数集的映射.例如,映射f :正弦函数值域,像集,对元素 x 的像y是唯一的;映射与函数而对元素 y 的原像不一定是唯一的;映射 f 的值域是Y 的一个子集,不一定(2)注(1)集合X,

6、即定义域集合Y, 即值域的范围:对应法则f ,使对有唯一确定的与之对应.三个要素:构成一个映射必须具备以下1.常量(constant quantity)与变量(variable)注三、函数(function)而是相对“过程”而言的.映射与函数常量; 变量.在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法:在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量,用字母 x, y, t 等表示变量.映射与函数 定义设数集则称映射为定义在D上的函数,通常简记为自变量因变量定义域(domain)定义中,按对应法则f ,总有唯一确定的值y与之对应

7、,这个值称为函数f 在x处的函数值,记作函数关系函数值全体组成的集合称为range记作即函数f 的值域,2. 函数概念),(xfy=,Dx,Dx如果对),(xfy=映射与函数注含义的区别.自变量x和因变量y之间的对应法则;与自变量x对应的函数值;定义在D上的函数,应理解为由它所确定的函数f.(1) (2) 函数的记号:除常用的f 外,可任意选取,如相应地,函数可记作:等,等,也可记作:在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时.映射与函数(3) 对应的函数值y总是唯一的,否则称为如是多值函数,它的两个单值支是:单值函数,多值函数.约定:今后无特别说明时,函数是指单值函数.这种函数称为(4)构成函数

8、的是两个不同的函数.(因为定义域不同).如与对应法则f .定义域两个要素:,Dx对 函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即简称函数表示法的答案表达式求解这是由的练习映射与函数(5)而与用什么字母无关,的有效方法.无关特性,L=)()()(fff常用的函数关系表示法公式法(解析法);主要有三种形式表格法.各种表示法,都有其优点和不足. 图形法;公式法(解析法)图形法表格法今后以公式法为主, 映射与函数便于进行理论分析和计算;形象直观,富有启发性,便于记忆;便于查找函数值, 但它常常是不完全的.也可用语言描述.配合使用图形法和表格法. 是多种多样的. 函数的图形(图象)取自变量在横轴上在平面直角

9、坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指变化,平面点集:通常是一条或几条映射与函数曲线(包括直线).中的集合例按国家规定,个人月收入x不超过880元不纳税,超过880元而小于1380元的部分按 5纳税,而超过1380元小于2000元的部分按 10纳税,则个人月收入x与交纳所得税 y 的函数关系为 除了可用一个数学式子表示函数外,有些函数随着自变量取不同的值,分段函数.我国部分工薪人员应纳多少税映射与函数这种函数称为函数关系也不同,映射与函数例几个今后常引用的函数映射与函数绝对值函数例 定义域值域符号函数 定义域值域对例映射与函数有或 取整函数如例映射与函数当阶梯曲线 定义域值域表示不超过

10、x的最大整数例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859(x为有理函数)(x为无理函数)映射与函数 定义域值域有理数点无理数点练习设则f (x)的定义域 20(1) 填空:映射与函数-=.31,1;10,2;01,2)(xxxxxfx（2）. 用分段函数表示函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:即注映射与函数而不是几个函数.1-2431.有界性 (bounded)设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说 f(x) 在区间I上有上 界.(下)使得对所有若存在常数A都有映射与函数(B),四. 函数的几种特性 若存在常数使得对所有则称 f(x) 在I上有界. 在 I上

11、无界;映射与函数都有 若这样的M 不存在,则称 f(x)即为对于任何 总存在使则称 f(x)在 I上无界.有界无界在定义域上有界的函数叫做例是有界函数;是无界函数,但它在区间 上在区间 上 注 一定要把区间明确出来!不是有界函数, 就是无界函数.显然,映射与函数(bounded function)有界函数.有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.练习A. 有上界无下界B. 有下界无上界C. 有界, 且D. 有界且解C解题提示将函数取绝对值, 然后用不等式放缩法.映射与函数六个常见的有界函数映射与函数2.单调性(monotonicity)是单调增加;映射与函数如果对恒有 monotone in

12、creasing 注 应指明单调区间 ,否则会产生错误. 是单调减少.映射与函数如果对恒有monotone decreasing3函数的奇偶性（略）4. 函数的周期性（略）练习判别给定函数的奇偶性,解题提示奇函数的有效方法.判别下列函数的奇偶性:奇函数偶函数有时也用其运算性质.映射与函数主要是根据奇偶性的定义,映射与函数例狄利克雷(Dirichlet)函数狄利克雷(德)1805-1859有理数点无理数点1xyo(当x是有理函数时)(当x是无理函数时)这是一个周期函数,任何正有理数r都是它的周期.因为不存在最小的正有理数,所以没有最小正周期.1. 函数的运算设函数的定义域分别为则可定义这两个函数

13、的下列运算:和(差)积商且线性组合为实数,五. 函数的构造2. 反函数xy反函数的定义域是直接函数的值域；直接函数的定义域是反函数的值域。单调函数必有反函数，且其反函数与直接函数具有相同的单调性。xuy3.复合函数定义:设函数)(ufy=的定义域 fD,而函数)(xuj=的值域为jZ ,若 W=jZDf,则称函数)(xfyj= 为复合函数.(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数;(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.注因为 的值域不能构成复合函数.不能包含于的定义域映射与函数之中.(3) 反过来,一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合.例 将下列函数分解为复合函

14、数解：1. 基本初等函数 幂函数 对数函数 三角函数 反三角函数 常数函数 指数函数六. 初等函数(elementary function)1) 幂函数(power function) 定义域与 的取值有关.(basic elementary function)映射与函数(1) 基本初等函数2) 指数函数(exponential function)定义域为值域为映射与函数3) 对数函数(logarithm function)定义域为值域为映射与函数4) 三角函数(trigonometric function)正弦函数定义域为值域为映射与函数余弦函数定义域为值域为映射与函数正切函数余切函数定义域

15、值域定义域值域映射与函数5) 反三角函数(inverse trigonometric function)定义域值域 主值映射与函数反正弦函数定义域值域 主值映射与函数反余弦函数 主值定义域值域映射与函数反正切函数反余切函数 主值定义域值域 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.(2) 初等函数(elementary function)初等函数.如都是初等函数.不是初等函数.映射与函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为注一般分段函数不叫初等函数,想一想 可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?答:故又可看作是初等函数.是!由于映射与函数不是用一个式子表达出来的.因为它奇