根轨迹概念和分析法讲解

1、根轨迹概念和分析法讲解注意：K一变，一组根变；K一停，一组根停；一组根对应同一个K；-2-10jks(0.5s+1)K:0 特征方程：S2+2s+2k=0特征根：s1,2= 112kk=0时， s1=0, s2=20k0.5 时，两个负实根 ；若s1=0.25, s2=?k=0.5 时，s1=s2=10.5k时，s1,2=1j2k1演示rltool二 闭环传递函数与开环传递函数1、闭环传递函数其中D(s)= 1+G(s)H(s)为闭环系统的特征方程式，方程的根为特征根。2、开环传递函数 (s) = B(s)/E(s) = G(s)H(s) 闭环特征方程由开环传递函数加“1”组成3 、传递函数的

2、零点和极点 若G(s)为闭环传函，则-z和-p为闭环零、极点;若G(s)为开环传函，则-z和-p为开环零、极点。必须指出：a 闭环极点就是特征根。 b 根轨迹的实质，就是从开环零极点来求取闭环极点 c 单位反馈系统的闭环零点就是开环零点4 、零点与极点表示法 零点: -z1=-2, -z2= -3极点: -p1= 1, -p2= -1, -p3= -1+j, -p4= -1-jGHG(s)= KG*(s-piqi=1);(s-zifi=1)H(s)= KH*(s-pjhj=1)j=1(s-zjl)(s)=(s-piqi=1)hj=1(s-pj)(s-zifi=1)+kG*kH*(s-zjl)j

3、=1(s-zifi=1)(s-pjhj=1)*KG结论：1 零点、 2 极点、3 根轨迹增益闭环零极点与开环零极点的关系三 图解法求作根轨迹的基本条件1、有关复数一个复数可以用不同的形式表示,如z =+j矢量形式: z=z其中幅值z=2+2 相角=tg-1(/)指数形式: z=zej图形表示 复数相加: z1 =1+j1 z2=2+j2 则z1 + z2=z11+z22复数相乘:z1z2=z1z2(1+2)复数相除: z1/ z2=z1/z2(1-2)2、根轨迹方程 闭环特征根和开环零、极点也可以是复数，因此复数形式也可用到传递函数中来。根轨迹上每个点都是上述方程的根，或者说凡平面上满足上式的

4、点都在根轨迹上，根轨迹就是这些点的集合，称为根轨迹方程。 根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*=0(ss-zjpi)i=1-1(s-zj) (s-pj) = (2k+1) k=0, 1, 2, j=1i=1mnj=1mnK*=1ss-zjpii=1K*=mnj=1s-zjs-pii=1相角条件:模值条件:绘制根轨迹的充要条件 确定根轨迹上某点对应的K*值 1、相角条件 (s+zi)- (s+pj) = 0-(s+1)+ (s+2) =180o(2k+1)试差法 s= -1.5 1+ 2=180 o s= -1.5+j1.5 1+ 2=180 o s= -1.5-j1.5 1+ 2=18

5、0 o找出足够多的点，连接而成根轨迹2、 幅值条件不同特征根s，就对应了不同的K值。 4-2 绘制根轨迹的基本法则1 根轨迹的起点和终点由幅值条件：K=0时,s=- pi，即根轨迹始于开环极点；K=时,s=- zj，即根轨迹终于开环零点。极点多于零点时，只有s 才有K=，则此时根轨迹将趋于无穷远。 2 根轨迹的支数根轨迹支数=闭环极点数=开环极点数3 根轨迹的对称性由于特征方程的根1+G(s)H(s)=0只有实根和共轭复根两种，故根轨迹必在实轴上或是对称于实轴。 4 实轴上的根轨迹在实轴的根轨迹上任取一点s1，则其与开环零极点间构成的矢量有三种可能：(1) 开环零极点为共轭复数,如 (2)开环

6、零极点在左边实轴上如-p2和z2也有2=0 2=0所以2 + 2 =0(3)开环零极点在右边实轴上如-p1和z1则1 + 1= 1800根据相角条件，前两种情况矢量角为零，不需考虑。只要考虑开环零极点在右边实轴上的情况。设s1右边有a个极点和b个零点，由相角条件可知：b 1800 a 1800 =(2k+1) 1800 (k=1,2,.) b a =(2k+1) 即结论为：实轴上的点，若其右边实轴上有奇数个开环零极点，则它必在根轨迹上。 六、根轨迹的渐近线 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴正方向的夹角为，截距为-的一组渐近线趋向无穷远处。其中 = 式中，k=0，1，2，一直取够n-m 个夹角为止

7、。 渐近线与实轴交点的坐标以-a表示，则 -a = 180（2k+1）nmnm （-pj）（-zi）J=12i=1nm例 已知系统的开环传递函数为 GK（s）=试在s平面上确定根轨迹渐近线的方位。 解： 系统有4个开环极点和1个开环零点： -p1=0，-p2=-1+j1，-p3=-1-j1，-p4=-4；-z1=-1。可知有3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线的方位是：截距： -a=Kg（s+1）s（s+4）（s2+2s+2）（0）+（-1+j）+（-1-j）+（-4）-（-1）4-1 =-夹角： =当k=0，1，2时，=60，180，300。3条渐近线如图的虚线所示。 53180（2k+1）3j

8、ws平面0-1-221-3-2-1-453-七、根轨迹的分离点和回合点 两条根轨迹分支在s平面上的某点相遇，然后又立即分开的点，叫做根轨迹的分离点（或会合点）。 图所示为两条根轨迹分支。它们分别从开环极点-p1与-p2出发，随着Kg的增大，会合于a点，接着从a点分离，进入复平面，然后又从复平面回到实轴，相遇于b点，再从b点分离。0jw a-p2-p1-z1b图 根轨迹的会合与分离最后，一条分支终止于开环有限零点-z1，另一条趋向负无穷。我们把a点称作分离点， b点称作会合点。 一般地，若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，则这两相邻极点之间必有分离点；若实轴上相邻开环零点（其中一个可能是无穷远

9、零点）之间存在根轨迹，则这两相邻零点之间必有会合点。若实轴上根轨迹处在开环零点与极点之间，则它们中间可能既无分离点也无会合点，亦可能既有分离点也有会合点。 求取分离点的方法很多，主要有：1 重根法如果代数方程f(s)=0有重根s1 ，就必同时满足f(s1)=0 和f(s1)=0。设开环传递函数为 Gk(s)=Kg = Kg其中， N(s)、 D(s)分别为m阶、n阶多项式,则闭环特征方程为： 1+ Kg =0或 D(s)+ Kg N(s)=0 mi=1(s+zi)(s+pj) nj=1N(s)D(s)N(s)D(s)设f(s)=D(s)+KgN(s)=0 且f(s)=D(s)+KgN(s)=0

10、消去Kg得D(s)N(s)- N(s)D(s)=0即从该方程解得的重根点就是分离点或会合点。2 极值法在实轴的根轨迹上，分离点或会合点对应着Kg的极值，因而可以用求极值的办法求分离点或会合点。由前闭环特征方程可知， Kg =- D(s)/N(s)故 = - = dKgdsD(s)N(s)- N(s)D(s) N2(s)D(s)N(s)- N(s)D(s) N2(s)如果令dKg/ds=0，则其结果与重根法相同。例：已知开环传递函数为Gk(s)=试求分离点。解：由题知，D(s)=s(s+1)(s+2) N(s)=1 故 D(s)=3s2+6s+2 N(s)=0 解得 s1=-0.423 s2=-

11、1.577由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。Kgs(s+1)(s+2)八、根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与正实轴的夹角。而根轨迹的入射角，是指终止于开环零点的根轨迹在终点处的切线与正实轴的夹角。出射角和入射角又分别称为起始角和终止角。 设根轨迹离开某开环极点-pa时的出射角为a；根轨迹进入某开环零点-zb时的入射角为b，则a 、 b之值可求之如下： 设系统开环零、极点的分布如图所示。jw1-p12-p2-p3-z132-pas1xxxx复数极点出射角的求取按相角条件有 1- 1- 2- 3- a=180（2k+1) 故 a= + 180+

12、1-（ 1+2+ 3）当0时，其他零、极点对s1的幅角等于对-pa的幅角。如果系统共有m个有限零点，n个极点，那么式（4-27）可写成以下的通式： a= + 180（2k+1) + i-jmi=1j=1na式中， j= -pa+pj 是各开环极点对- pa的幅角；i = -pa+zj 是各开环零点对- pa的幅角；表示j=1n取代数和，但不包括- pa的角度，因为该点的幅角已经在式（4-28）中用a表示过了。 同理可求得根轨迹进入复数零点-的入射角通式为 b= 180（2k+1) + j-ibj=1ni=1nmj=1b例 设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所示，试确定根轨迹离开复数共极

13、点- p1 、- p2的出射角。解 按公式（4-28），由作图结果得b= +180（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2- - p1+ p3- - p1+ p4 = +180（2k+1) +45 -90-135-26.6 =+1802k-26.6取k=0，得1= -26.6。S平面135-p3-j026.6-p2-3-2-z14526.6-p4-p126.6xxjw取k=0,得1=-26.6 。 考虑到根轨迹的对称性，根轨迹离开- p2点的出射角必为2=-26.6 。九、根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令其

14、实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标值及其相应的Kg值。例 设系统的开环传递函数为 Gk（s）=Kgs（s+1）（s+2）试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增益Kgp。 解 闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0 即 s3+3s2+2s+ Kg =0 （A）当Kg= Kgp时，根轨迹和虚轴相交。为求出交点，令s=jw，代入特征方程（A）， 得（jw）3+3（jw）2+2（jw）+ Kgp =0上式分解为实部和虚部，并分别等于0，即 Kgp-3w2=0 2w-w3=0解之，得w=0，+-2，相应的Kgp =0对应于根轨迹的起点，显示不属于所讨论的根轨迹与虚轴之交点。只有

15、当Kgp =6时，根轨迹才与虚轴相交，其交点坐标为+-jw=+-j2。于是Kgp =6为根轨迹的临界增益。 本题给出Gk（s）是以零、极点表示的，可将其化为典型环节即时间常数表示的形式，如下：Gk（s）=式中，K= Kg/2，是系统的传递系数。显然，当Kg = Kgp =6时，K=Kp=3。Kgs（s+1）（s+2）KKg/2s（s+1）（0.5s+1）s（s+1）（0.5s+2）绘制根轨迹的基本法则1根轨迹的条数2根轨迹对称于 轴实就是特征根的个数3根轨迹起始于,终止于j=1mnK*=1ss-zjpii=1j=1mn=ss-zjpii=11K*开环极点开环零点(nm?)举例( )( )4n-

16、m条渐近线对称于实轴,均起于a 点,方向由a确定:pi-zjn-mi=1j=1nma =a=(2k+1)n-mk= 0,1,2, 5实轴上的根轨迹6根轨迹的会合与分离1 说明什么2 d的推导3 分离角定义实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹j=1mi=1nd-pi11d-zj=k= 0,1,2, L=(2k+1)L,无零点时右边为零L为来会合的根轨迹条数7与虚轴的交点可由劳斯表求出或令s=j解出8起始角与终止角根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏了吧？根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj04-3 广义根轨迹一 参量根轨迹前面

17、介绍的仅是系统开环传函数中根轨迹增益Kg或开环传递系数K变化时的根轨迹绘制方法。在实际工程系统的分析、设计过程中，往往还需要考虑除系统的增益系数以外的其它参量变化对系统的影响，例如时间常数、测速机反馈系数或开环零、极点变化对系统性能的影响等等。这种以系统其它参量变化而绘出的根轨迹，就称为参量根轨迹或广义根轨迹。绘制系统参量根轨迹的关键在于：正确求出等效单回路系统的开环传递函数。一旦求得等效开环传递函数，便可以依照绘制Kg变化时的根轨迹的法则，顺利地绘制出系统的参量根轨迹。以下举例说明参量根轨迹的绘制方法。 例:已知具有测速发电机反馈的控制系统如下图a所示。试绘出测速机反馈系数由0变化时的根轨迹

18、。 （a） 原系统结构图； （b）等效结构图 5S(5s+1) sC(s)R(s)(a) 5S(5s+1) 1+s(b)解 本题显然是关于绘制的参量根轨迹的问题。首先将图a作结构图等效变换成图b的单回路形式。再按图b得出开环传函数为 Gk(s)=G(s)H(s)=由此得闭环系统的特征方程为 s(5s+1)+5(s+1)=0 将特征方程化简整理成包含 与不包含 的两大部分，如下： （5 +s+5)+5 s=05(s+1)S(5s+1)接着，用不含的部分除全式，得 1+ =0或 1+ =0 记成如下的形式 1+Gk(s)=0式中， Gk(s)= 5 s5 +s+5 S +0.2s+1 s +0.2

19、s+1 可见，经转化，Gk(s)成为等效单回路系统的开环传递函数，这里的参量相当于常规的根轨迹增益Kg 。因此，描绘参量变化的根轨迹可全盘照搬绘制Kg变化时的根轨迹的方法。 等效式表明，等效开环传递函数含有两个极点、一个零点： -p1，2=-0.1+-j0.995 -z1=0 由根轨迹方程可以证明，本题的根轨迹在s平面上是圆弧，圆心位于零点-z上，亦即坐标原点处，半径是向量-p1 （或-p2）的幅值，即 R =22=1 用圆规将圆弧画出，再加上（-，0的整个负实轴，即为 =0变化的参量根轨迹，如图所示。-Z10-11=0-p2-p1xx。=0必须指出：系统等效开环零点-z1=0并非原系统的闭环

20、零点，因为原系统的结构图（a）可以看出，原系统是没有闭环零点的。 由前所绘出的参量的根轨迹，可以分析参量的变化对系统性能的影响：（1）当 =0，即未加入测速反馈时，系统的一对复数闭环极点位于等效开环极点处，即 -p1,2= -0.1j0.99 系统的阻尼很小，震荡比较剧烈。（2）当0 1.8时，一对复数闭环极点逐渐向实轴靠近，使系统的阻尼逐渐增大，震荡随之减弱。（3）当1.8 0时，闭环特征根为负实数。 =1.8 对应于系统的临界阻尼（即1，则系统的阶跃响应过程将越迟缓。 可见，只要选得合适的值，就能保证系统具有良好的动态性能。二 多回路系统的根轨迹 绘制多回路系统根轨迹的方法与绘制单回路系统

21、根轨迹的方法相类似。通常是从系统的内环入手，由里到外，从局部到整体地多次绘制其根轨迹。具体做法是：首先根据局部闭环子系统的开环传递函数绘制其根轨迹，确定局部小闭环系统的极点分布。然后由局部小闭环系统的零、极点和系统其它部分的零、极点所构成的整个多回路系统开环零、极点的布局，绘制出总系统的根轨迹。 由于多回路控制系统所研究的变量多于一个，因此，多回路系统的根轨迹往往是一族曲线，形成一个根轨迹族。 例：已知多回路控制系统的结构如图所示，试绘制系统局部闭环参数以及放大器系数K变化时的根轨迹。+-R(s)K 1(S+1)(S+2) 1 SC(s)+- 解 系统局部闭环的传递函数为 （s）= = 则全系

22、统的开环传递函数为 Gk（s）=k（s） =1sKs（s+1）（s+2）+11（s+1）（s+2） （s+1）（s+2）（s+1）（s+2）+1+局部闭环的特征方程为(s+1)(s+2)+=0当时，内环有两个闭环极点：-s1=-1.5+j1.5 -s2=-1.5-j1.5代入全系统的开环传函： Gk(s)=以K为参量绘制出根轨迹如右图实线。当等于其他数值时，可以画出相应的一组根轨迹，最终形成一族根轨迹。 Ks(s+1.5-j1.5)(s+1.5+j1.5)xx4-4 系统性能的分析一 求取闭环极点的方法可根据已知条件在图中读出。例：已知单位反馈系统的开环传递函数为GK(s)= 试用根轨迹求具有

23、的闭环极点。解： GK(s)= =绘制根轨迹如下， Ks(s+1)(0.5s+1) 2Ks(s+1)(s+2) Kgs(s+1)(s+2)=0.5, =arccos0.5=60做等线如图，即可在图上读出对应的闭环极点：-s1 2j0.58再根据闭环极点之和等于开环极点之和，可求得对应的第三个闭环极点为-s3=(-p1-p2-p3)-(-s1-s2xxx =60-p3 -p2 -p1-2 -1 0二 求取闭环零点的方法1 单位反馈系统的闭环零点设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)= 则系统的闭环传递函数为： (s)= =可知，单位反馈系统的闭环零点等于开环零点。Kg(s+zi) (s+pj)m

24、i=1 nj=1 G(s)1+G(s) Kg(s+zi) (s+pj)+ Kg(s+zi) m i=1nj=1mi=12 非单位反馈系统的闭环零点设非单位反馈系统前向通道和反馈通道的传递函数分别为：G(s)= H(s)=则系统的闭环传递函数为：(s)= = 即非单位反馈系统的闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的零点组成。Kg(s+zi) (s+pj)m1i=1n1j=1KH(s+zk) (s+pl)m2k=1n2l=1 G(s)1+G(s)H(s) Kg(s+zi) (s+pl) (s+pj) (s+pl)+KgKH (s+zi) (s+zk) m1i=1n1j=1m1i=1n2l=1n2l=

25、1m2k=13 G(s)的极点与H(s)的零点相抵消时的闭环极点如果G(s)的分母与H(s)的分子中含有公因式，那么系统开环传函将有零极点相互抵消，致使系统阶次下降，闭环极点丢失。可将系统等效为单位反馈形式，如 Kgs(s+1)(s+2)s+1- Kgs(s+2) 1s+1-(b)(a)这样，(a)中丢失的闭环极点-s=-1就可在(b)的1/(s+1)环节中补回来了。4 多回路系统的闭环零点 多回路系统的闭环零点一般由系统的闭环传递函数决定，不同的系统应做不同的分析。三 闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系（1）要系统稳定，闭环极点应全部位于s平面的左半平面，而稳定与否与闭环零点的位置无关。（

26、2）要使系统快速性好，应使闭环极点远离虚轴，这样暂态分量的衰减较快。（3）要使系统平稳性好，则共轭复数极点应位于=45的等阻尼线上，这样对应的阻尼系数最佳。（4）主导极点对系统的动态性能影响最大，工程上往往只用主导极点去估算系统性能。（5）闭环零点可以削弱或抵消其附近闭环极点的作用，因此我们可以引入适当的零点以抵消对动态过程有明显坏影响的极点，从而提高系统的性能指标。四 增加开环零、极点对根轨迹的影响1、增加开环零点对根轨迹的影响 由绘制根轨迹的法则知，增加一个开环零点，对系统的根轨迹有以下影响： （1）改变了根轨迹在实轴上的分布。 （2）改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距。 （3）若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，构成开环偶极子，则两者相互抵消。因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点。 （4）根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能，而且，所加的零点越靠近虚轴，则影响越大。2、增加开环极点对根轨迹的