必修四三角型复合函数的图像与性质题型归纳教师版

1、三角型复合函数的图像与性质重难点题型归纳【知识点1用五点法作函数y = 4sin（公M + e）的图象】用“五点法”作y = Asin（s + ）的简图，主要是通过变量代换，设z =刃工+夕，由z取0,2，况,况2乃 22来求出相应的X,通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.I知识点2由y = sin A得图象通过变换得到y = A sin （+ ）的图象】.振幅变换：y = Asinx, xeR（A0且A壬1）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（A1）或缩短 （0vAl）到原来的A倍得到的（横坐标不变），它的值域-A, A,最大值是A,最小值是-A.若A 1）或伸长（Ovo

2、vl）到原来的A倍（纵坐标不变）.若。0时）或向 右（当。V0时）平行移动两个单位长度而得到.（用平移法注意讲清方向：“左加右减）一般地，函数y = Asin（x + 9）（A0M0）, xeR的图象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y = sinx的图象上所有的点向左（夕0）或右（夕 1）或伸长（0 v。v 1）到原来的1倍（纵坐标不变）；（3）再把所得各点的纵坐标伸长（A1）或缩短（0vA0）的函数的单调区间可以通过 解不等式的方法去解答，即把5 + 9视为一个“整体”，分别与正弦函数），=sinx,余弦函数y = cosx的 单调递增（减）区间对应解出大，即为所求的单调递增（减）区

3、间.比如：由 2k-a）x +（p2k + -（keZ）解出x的范围所得区间即为增区间，由 222攵万+ 431 +夕0）不一定具备奇偶 性.对于函数y = 4sin（0 x + ?）,当夕= k/（k ez）时为奇函数，当夕=攵乃二（攵e z）时为偶函数：对于 2函数），=Acos（5+0）,当夕=女方（k ez）时为偶函数，当e=攵江土工（攵ez）时为奇函数.2（5）周期：函数y = 4sin（Gx + s）及函数y = Acos（0 x + 8）的周期与解析式中自变量x的系数有关，其 周期为7 =三.CD（6）对称轴和对称中心rr与正弦函数y = sinx比较可知，当3% + 8 =攵九

4、3（女e z）时，函数y = Asin（tyx +。）取得最大值（或最 小值），因此函数y = Asin（tyx +）的对称轴由 5十 = k江土二（ e z）解出，其对称中心的横坐标 2cox +（p = k九* z）,即对称中心为 -,0 （k e z）.同理，y = Acos（3x + o）的对称轴由 k CO JCDx+（p = k7t（k e z）解出，对称中心的横坐标由CDx +（p = k7t（k e z）解出.2三、题型分析（一）五点法作图例1. （2019石嘴山市第三中学高一月考）已知函数y = 3si（2x-）, （1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在的图象（请先列表

5、，再描点，图中每个小矩形_ O O的宽度为二）12（2）请描述上述函数图象可以由函数y = sinx怎样变换而来？【解析】（1）由题意，因为xcxe2,七,所以2%一三引0,2加，列表如下: 6 63A7C61724 T1127乃T2x- 30n2n3itT2兀y = 3sin(2x -；)030-30（2）把 =$皿.丫的图象向右平移!个单位，可得）,=sin（x-g）的图象;再把所得图象的横坐标变为原来的J倍、纵坐标不变，可得y = sin（2x-g）的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得y = 3sin（2x-巳）的图象:【变式训练1】.（2019.全国高三月考（理

6、）把函数/（x） = 2sinx的图象向左平移个单位,得到函数y = g（x）的图象，函数y = g。）的图象关于直线工=二对称，记函数/心）=/。）8（“） 6（1）求函数y = （x）的最小正周期和单调增区间：（2）画出函数），= ）在区间上的大致图象.2 2【解析】（1）由题意知g（x） = 2sin（x + 9）,根据函数y = g（x）的图象关于直线x = g对称，得6二 十0= ： +，7m(mZ),即7= g +，m(?wZ),又。?=上,则g(x) = 2sin(x + ?), 623233则 Mx) = /(a) f(x) = 4sin x sin(x + ) = 4sin

7、a(sinx + cosx)3=2sin2 a- + 2/3 sin xcosx = 1 - cos lx + V? sin 2x = 2sin(2x - -) +1 ,贝 ij函数 y =力(工)的最小正周期 6T = = 7r, 42x- - + 2k7t(k e Z) t - + knx0）的图象向左平移三个单位，所得到的函 TOC o 1-5 h z 数图象关于y轴对称，则函数/（x）的最小正周期不可能是（）A, -B. -C.）D. 2不95【解析】将函数/（x） = sin（6?x + ）（6? 0）的图象向左平移二个单位，可得y = sin（5 +”+工）的图 4884象，根据所

8、得到的函数图象关于轴对称，可得于+ ? = k;r+g,即0=8攵+ 2, keZ.二函数的最小正周期为2三=,则函数“X）的最小正周期不可能是2不，故选：D.例3. （2019.宁夏高一期末）要得到函数y = 2sin 2工+二的图象，只需将函数y = 2cos2x的图象（）A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度c.向左平移:个单位长度6D.向右平移三个单位长度o【解析】因为y = 2sin（2x + ?= 2cosj 2x- =2cos 2 x- -所以只需将y = 2cos2x的图象向右平移1个单位. o【变式训练11 （2019浙江高二期末）将函数y = sin 2x+y |

9、的图形向左平移。个单位后得到的图象关于丁轴对称，则正数9的最小正值是（B- T254D.2乃12【解析】将函数y = sin 2x +三|的图形向左平移。个单位后，可得函数丁 = $也；21+ 23+三）的图象,再根据得到的图象关于）轴对称，可得2。+三= k/+,kZ,即0=k7T 7t212令攵=1,可得正数。的最小值是与，故选：D.C2： y = cos 2x-g ,则下而结12【变式训练21（2019.安徽高二期末（理）已知曲线C y = sinx,论正确的是（A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移;个单位长度，得到 曲线B.把G上各点的横坐标伸长到

10、原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移,个单位长度，得到 曲线Gc.把G上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移展个单位长度，得到 曲线GD.把G上各点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移*个单位长度，得到 2曲线G【解析】已知曲线Ci ：y = sinx = cos x- , C2 :y = cos Za - - k/，)1，把a上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，可得，=cos 2再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线： cos 2x + * -彳(三)已知函数图像求.V = Asin(0 x + e)例4. (2019

11、广东高考模拟(理)把函数y = /(x)的图象向左平移手的图象，-1 = cos2x-g的图象，故选C.个单位长度，再把所得的图象上每 .一. .7r_八 4、个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象,达式可以为()A. /(A) = 2sinjx + jB. /(x) = sinC. /(A)= sin4x-jD. /(x) = 2sii并且g(x)的图象如图所示，则/(x)的表, 、4九4x + 、6yl1 4x.6)【解析】丁 g(0)= 2sino = l,即sino = ,，夕=江 + 2%乃,或p=2 + 2A/r,A wZ (舍去) 266则 g 3 = 2 si

12、n5*COX+ 674 7 ，乂 12125乃5 12co + = 2ktt, k Z, co = 2k x ，: j k= 1 . g = 26677即式x）=2sin（2x + ?）,把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的!，得到.v=2sin（4x+营）, 626再把纵坐标缩短到到原来的1,得到y=sin （4x + ）,再把所得曲线向右平移三 个单位长度得到函数263g(x)的图象，即 g (x) =sin4 (x- ) +=sin 4x- 36-84 54一 + 一36= sin(4x-l 6= sin 4x + 一I 6,3 =(5乃0，一480,幻0,9七用的部分图象

13、如图所示，则将y = /（口的图象向右平移多个单位后得到以幻，得到的函数图象对称轴为 6 TOC o 1-5 h z 7T2?r-即月二LT 二历，所以=二二2,所以/（x） = sin（2x + 0）,又 671因为5二向（三+。）=1、解之得9 +q=2匕1 + 1故/ = 2也7 + ,所以，3 = 讽2%+今,将其向 63j266右平移可得g。) = sin 2(x-) + y=sin(2x-1)，故其对称轴方程满足2%一1二收十三，即666626工二三 + ；R w Z)，对应的表达式为g(x) = sin(2x-1).应墉=7 + Te 立),丫 = sin(2j -5.(四)函数

14、 = Asin(x +夕)综合应用例6. (2019湖北高二月考)已知函数/(x) = sin(3x +。)口0,1夕Ivg ,其相邻两条对称轴之间的距离乙为，将=/(的图象向右平移*个单位后，所得函数的图象关于轴对称，则( 2A. “X)的图象关于点已0)对称B. 7()的图象关于直线x = 7几对称C. /(x)在区间一工，工单调递增一/、一人/57r 九)单调递增D.7(x)在区间-五，万【解析】因为函数/(x) = sin(x + 9)的相邻两条对称轴之间的距离为所以工=2，T =兀，3=生=2, /(x) = sin(2x +。)， TOC o 1-5 h z 2 2T将函数/(x)

15、 = sin(2x + p)向右平移三个单位后得到函数g(x) = sin(2x + 3 2), 63因为函数g(x) = sin(2x + e 为的图象关于丁轴对称，所以g(0) = sin(p-为=1 ,(p = + k 兀(k eZ),因为 lelvg,所以 = 一2，/(x) = sin(2x-，),当一2+ 2攵4 v2x-二三+ 2Z/r(k wZ)即一巳+ A;r x v巳+ 万(女 eZ)时，26 263函数x) = sin(2x一卷)是增函数,故C正确.例7. (2018.浙江诸暨中学高一月考)已知函数/(冷=小皿5 +。)(八0,卬0,匣勺在一个周期内 乙的简图如图所示，则

16、函数的解析式为,方程程(另=(其中在0,3幻内所有解的和为【解析】根据函数x) = Asin(心 + 0(AO,卬0,图为在一个周期内的的图象, 22x + .)在0,3乃内与直线可得A = 2, /S) = 2sie = L即s加0 =,.8 =二，再根据五点法作图可得。且+巳=4, 2612 6求得0 = 2,故函数/(x) = 2si“2x + t卜因为函数函数/(x) = 2sin对称，则/(x) = 7 (其中1cm o,3o,oiw5)的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为不，且图象上一个最低点为(1)求函数/(X)的最小正周期和对称中心;(2)将函数y = /(x)的图象上

17、各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的;，再把所得到的图象向左平移E个单位长度，得到函数了 =g(X)的图象，求函数y = g(x)在区间上的值域.【解析】由题得A=2.T=x2 = /f = 227r,卬=2,又因为/(?) = 2sin(2竺+ 夕)=-2,因为0|0,函数y = cos(0 x + )的图象向右平移个单位长度后关于原点 33对称，则G的最小值为（【解析】函数y = cos（公的图象向右平移工个单位长度后，对应图象的解析式为g（x） = cos（s- +。 ），因为g（x）的图象关于原点对称，所以巳一竺=%4+三次eZ,故刃=一3攵一1水2,因30,故。的最小值为工，故选

18、B.33222（2019.宁夏高一期末）若函数/（x） = sin（2x + e）（O0V/r）的图象上所有的点向右平移三个单位长度 o后得到的函数图象关于1:,。对称，则。的值为（）14 ）【解析】函数/W = sin（2x + 0）的图象上所有的点向右平移g个单位长度后，可得函数 o/(x) = sin 2*一。+。的图象,3)又二函数/W = si2x-g + 9的图象关于：,0）对称,乃471= sin +(p =0, :. +(p = k7t(k eZ),故。=16+ k7T(k Z),又。0）的最小正周期是34，则其图象向左平移:个3 ）6乃A. x =4 5笈x = 6c 194

19、x =12【解析】函数/W = 4sinGx + 1J（30）的最小正周期是3尸，则函数/W = 4sin（2（33）2（移后得到函数解析式为y = 4sin x +看+g=4 sin x + (39得工=3女九+二（女eZ）,当A = 1时，工=火,故选D.2121224汗 j 汗由X + = K7T + (K Z), 3924. （2019安徽高二期末（理）已知曲线G： N = sinx, G ： y = cos 2x - g卜则下而结论正确的是（）A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移;个单位长度，得到 曲线B.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐

20、标不变，再把得到的曲线向右平移,个单位长度，得到 曲线Gc.把G上各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移展个单位长度，得到 曲线GD.把G上各点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移*个单位长度，得到 21/曲线G【解析】已知曲线G ：y = sinx = cos x-三把G上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，可得，= cos的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C? ： costx + / -彳| = cos卜x 您的图象，故选C 12 o 2 y 3 ?5. （2019辽宁高一期中）已知函数/（x） = 2cos 2x + 1 , xeR（1）求函数的最小正周期和单调递减区间：（2）将函数/W = 2cos（2x + ?）的图象向右平移巩0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数的图象关于y轴对称，求？的最小值.【解析】（1）由题可得：7 =三=芝=4， CD 2令：2k2x + /r + 2k e Z）,整理得：一2 + 2攵42三 + 2攵4 444解得：一上+ k7T x 二+ k7T, （k eZ）88所以函数/（X）的单调递减区间为:-+ k7T. + k7r (k e Z)