问题2平面向量中的范围、最值问题-2017届高三数学跨越一本线原卷版

1、2a7届常三女学绮越一冷钱晶品问题二平面向量中的范围、最值问题平面向量中的范国、最值问题是热点问题,也是难点问题，此类问题综介性强，体现了知识的交汇组合.其 基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解 决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决 平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结令.一、平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量&和6,它们的夹角为氏把数量口|.忖.cose叫做5和6的数量积（或内积），记作6 .即 6=忖.忖05规定二6 = 0,数景积的表示一般有三种方法

2、：当已知向量的模和夹角时，可利用定义 法求解，即a*6= a|- b cos。： （2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=（xi,yi）/=（x%y2）,则。山= xix34-yiy2： （3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后，再运算.【例1】在边长为2的等边三角形ABC中,D是AB的中点,E为线段AC上一动点，则EB - ED的取值范围 为【分析】利用向最的加法或减法法则，将向量丽，而分别表示，结合已知条件设I而匚x（0 xW2）,将丽丽用变状x表示,进而转化为：次函数的值域问即.【解析】由题适得,屈与M 的夹角是60。, D是AB的中点，设 温|二X,A E

3、B ED =（覆-画（而_函=延而-（与+而）检+|瓯2=2 | AD一3 AD - AE+ | AE= 2 -x+x由于 E 为线段 AC 上一动点，故 0Wx2,2令 f（x） = 2- x+ X3 = （x- -）2 + , 2416当 x=m 时,f（X）nna=, 416当x = 2时，f（x）nwx = 3,.-.EB-ED的取值范图为得3.【点评】将瓦丽用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择变量要有可操作性.【小试牛刀】【2017届贵州贵阳花溪清华中学高三月考】已知圆C的方程（x-l）2+y2=l,p是椭圆土+上=1上一点，过P作圆的两条切线,切点为A, B,则PAPE的

4、取值范围为() 43A.停，+6) B. 2V2-3,+oo) C. 2V2-3,y D. 境二、平面向量模的取值范围问题设 = (&y),则忖=仔=疗后，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向 线段的长度,过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基底向最表示再求.例2已知向量a,b,c满足a =4, |b|=2/2, a与b的夹角为,，(c-a)-(c-b) =-1,则c- a的最 大值为()(A)立 (B)T+1(c)警(D) Vl+l【分析】根据已知条件可建立立角坐标系，用坐标表示有关点(向量)，确定变量满足的等式和目标函数的解析式，结合

5、平面几何知识求最值或范围【解析】设6=5,65 = 6,66 = 1；以0A所在直线为x,0为坐标原点建立平面直角坐标系，|a = 4, b = 2-5/2, a 与 6 的夹角为,则 A (4,0) ,B (2,2)，设 C (x,y)(c- a) (c- b) = 1,/ x3+y2-6x-2y+9=0,即(X-3) ?+ (y-1) 2=1表示以(3,1)为圆心，以1为半径的阴，c- a表示点A,C的距离即圆上的点与点A (4,0)的距离;,圆心到B的距离为1(3-4尸+ (1 -0尸=直,e* c-a|的最大值为JJ + 1,故选：D.【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示仃关

6、向量或点的坐标，正确找到变量间的关系，以及目标 函数代表的几何意义是解题关键.【小试牛刀】【2017届湖南师大附中高三上学期月考】已知6为单位向量，且aj_6,向量e满足c-a-b =2,则向的范围为()A. 1,1B. 2-,2 + C, /2,25/2 D. 3-2/1,3 + 2/1三、平面向量夹角的取值范围问题设 =(%，),6 = (x?,3),且 a,6 的夹角为。,则 cos。=a -b I a b看”+吧2收+ 丫：后+ %2T TTTTTTT T【例3】已知向量OA与OB的夹角为/OA = 2,OB =l,OP = tOAOQ = Q-t)OB,PQ在t0时取得最小值，当Oc

7、to时，夹角夕的取值范围为()【分析】将|所|表示为变量t的：次函数产用=(5 + 4的夕始+ (-2-4(：03夕)1 + 1,转化为求二次函数的最小值问题，当 =1 + 2 cos 6时取最小值，由已知条件o % = (1一。质一1口,所以PQ2 = (1 -1)2OB2 +12OA2 - 2t(1 - t)OA- OB = (1 -1)2 + 4t2 - 4t(1 -1) cos0= (5 + 4cos6)t?+(-2-4cose)t + l,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时=匕2* 由题5 + 4cos6 TOC o 1-5 h z 意可得,0 1 +2。0so 1.求得_

8、 1. cos。0,所以工6O,Ha与b不共线同向,所以由ab0,得40,且a与b不共线同向，由ab 0 =-3丸+ 10 0,解得/ 0,且cosew 1,而三角形内角为锐角，则cosd0,.【小试牛刀】【2017届河北沧州一中高三上周测】如右图所示,己知点G是AABC的重心，过点G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点，且AM = xAB, AN = yA6,则x+2y的最小值为（）A. 23 + 2。 C.3 D.-4【迁移适用】1.12017广东汕头市高三上学期期末】在平面内，定点AB,C,D满足 | DA|=| DB|=| DC |, DA- DB = DB DC = DC - D

9、A= -2，动点 P,M 满足| AP |= 1, PM = MC，则|血的最大值是（）434937+ 6637+ 2届A. B. C. D.44442.【2017届江西鹰潭一中高三上学期月考】在AOAB中,0A=40d,0E； = 20D；,AD,BC的交点为M ,过M作动直线1分别交线段AC , BD于E , F两点，若。百=2OA.OF =/zOB,（2,么 0 ）,则4 + 4的最 小值为（）2 + 63+63+264 + 2677773.12016学年重庆市巴蜀中学高二理卜学期期末】由点P向圆O： x? + y2 = 2引两条切线,切点为A,B,则PAPE的最小值是（）A. 4岳6

10、B. 2-3 C. 3-25/2 D. 6-424.12017届福建福州外国语学校高三适应性考试】三棱锥P - ABC中，已知NAPC = ZBPC = ZAPB =-,点M是AABC的重心，且正而+而记+记 记=9,则|国|的最小值为（）A. 2.【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中】已知向量;1满足向=2内向工0,且关于X的函数Hx）=2x3+3|a|x2+6a-bx+7在实数集R上单调递增,则向量a,b的夹角的取值范围是（）rzv 71 .r-兀 1兀 1r 兀兀 I人，B.叼 C. 0,- D.两个单位向量OA,O4的夹角为60。,点C在以。圆心的圆弧AB上移动= xOA+ y

11、O则x+y的最大值为（）A. 1ly63.【2016届湖南师范大学附中高三上学期月考】已知RtAAOB的面枳为1,0为直角顶点.设向量一 OA - OB - =尸=尸=j,0P = a + 2b,则PAPB的最大值为（）M lOBlA. 1B. 2C. 3D. 41一 2 c = xa + ybA. oA13（0,13113 1 _a b =8.12016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】若a，“c均为单位向量，（“丫玲,则*+丫的最大值是（）A. 1B.C. VID. 2 9.12016届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】已知向量满足：百=3,|谭1,|二五仁,则会占上的投影长度的取值

12、范围是（）10.12016届宁夏银川一中高三上学期第三次月考】已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向氨若向量c满 TOC o 1-5 h z 足6一).(6-(；)= 0,则c的最大值是 ()A. 1B. 2C. 41D.211.已知a,b是单位向量,6 = 0若向量2满足卜泉-耳=1,则利的取值范围是()A.衣1,向1B. /2-1,/2+2-c. l,VLhD. 1,忘+2 7T 1x112.设用与为单位向量，非零向量b=乂与+ 丫与，7风若2的夹角为右,则方的最大值等于13.12017届甘肃天水一中高三12月月考】己知AABC中,过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB , AC 于M

13、 ,N 两点，设 AM = xAB, AN = yAC ( xywO )，则 4x+ y 的最小值.14.12017吉林长春五县高二理上学期期末】己知1】0,110的口星用=(141,-3)与6 = (1,11,2)垂直,则1】11】 的最大值为.15. 2017涧北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD中,AD/BC .ZADC = 90, AD = 2 ,BC = 1 ,P是腰 DC上的动点，则叵+3图的最小值为:16.12017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,0为原点,A(-l,0),B(0,6),C(3,0),动点D满足 |ct| = 1 ,!i!ij|oa+ob + od| 的最大值是17.【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量oA=(l,l),O口 = (l,a),其中O为原点，若向量OA与。口的 夹角在区间。，5内变化，则实数a的取值范围是.18.12017届江西鹰潭一中高三上学期月考】如图，在直角梯形ABCD中,ABCD,AB = 2,AD=DC = 1,P是线段BC上一动点,Q是线段DC上一动点,DQ = 2DC ,CP = (1-) CB，则醺项的取值范围是./)19.12017届四川双流中学高三训练