(完整版)鸡兔问题

1、【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42） 假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42） 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42） 假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42） 【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，

2、然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。 例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？ 解假设35只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只） 兔数352312（只） 也可以先假设35只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只） 鸡数351223（只） 答：有鸡23只，有兔12只。 例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？ 解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（35）千克”

3、与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有 白菜亩数（91216）（3512）10（亩） 答：白菜地有10亩。 例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？ 解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有 作业本数（690.7045）（3.200.70）15（本） 日记本数451530（本） 答：作业本有15本，日记本有30本。例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？ 解假设10

4、0只全都是鸡，则有 兔数（210080）（42）20（只） 鸡数1002080（只） 答：有鸡80只，有兔20只。 例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？ 解假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，比实际多吃（3100100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（31/3）个。因此，共有小和尚（3100100）（31/3）75（人） 共有大和尚1007525（人） 答：共有大和尚25人，有小和尚75人。【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、

5、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数总头数）（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是（每只兔脚数总头数-总脚数）（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-236）（4-2）=14（只）兔；36-14=22（只）鸡。解二 （436-100）（4-2）=22（只）鸡；36-22=14（只）兔。（答 略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数总头数-脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚

6、数之差）（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或（每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数产品总数-实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不

7、合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一 （41000-3525）（4+15）=47519=25（个）解二 1000-（151000+3525）（4+15）1000-1852519=1000-975=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=鸡数；（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=兔数。例如，“有一些鸡和