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文档简介

曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。1一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方2定义3二、曲线凹凸的判定定理14证明分别应用L定理，得两式相减，得由假设5这就证明了同理可证（1）注定理的结论可推广到任意区间上例1解注意到,6三、曲线的拐点及其求法1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证7方法1:8例2解凹的凸的凹的拐点拐点910方法2:例3解11注意:12例4假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且这里n为奇数3，证由高阶导数判定极值的方法知不妨设为极小值13二阶导数变号，例5解14例6求曲线的拐点解15是拐点例7Jensen不等式证由Taylor公式，得16各式乘以再相加，得=1=117四、小结曲线的弯曲方向凹凸性;改变弯曲方向的点拐点;凹凸性的

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