大学物理简谐振动的能量、合成

1、 3-3简谐振动的能量下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。X某一时刻t：位移x=A:o（+申）0速度v=-DAsi&et+申）0振动动能11E=mv2=m2Asinbt+Q）k220=kA2sin2（mt+Q）20振动势能11E=kx2=kA2cos（mt+Q）p220总能量11E=E+E=kA2=mm2A2Akp22简谐振动系统机械能守恒！动能和势能相互转化。简谐振动的系统都是保守系统。2振幅反映了振动的强度动能和势能在一个周期内的平均值为E=丄）TE（t）dt=kT0kJTkA2sin2（rnt+Q）dt=kA1J?p（t）dt二4kA12T0204修龙歹密，殳#大学物理 A(2)求出

2、x二-处系统的动能和势能。2uO解：(1)射入过程，水平方向动量守恒。设射入后子弹和木块的共同速度为V0mu0=（M+m）V0建立坐标系如图，初始条件为x=0，v=V000谐振系统的圆频率为3初相位振幅振动方程cosJk（M+m）（v0=wmukM+m丿2)势能m2U28（M+m）大学物理x 动能E二E-Ekp二1kA2-1kA2二*3kA2二2883m2u28(m+m)Ex：质量为10 x10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x二O.lcos(8兀t+-)(SI)的规律作谐振动，求：振动的周期、振幅和初相位及速度与加速度的最大值；最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能

3、与势能相等?t=5s与t=ls两个时刻的相位差；212兀1解:A二0.1m,二8兀rad/s，/.T二二一秒,Q二2兀/340V=A=0.8兀m-s-i=2.51m-s-1m|a|=w2A=63.2m-s-2m(2)|F=ma=0.63NmmE=1mv2=3.16x10-2J2mE=E=-E=1.58x10-2Jpk2当E=E时，有E=2E，TOC o 1-5 h zkpp111即kx2=-(kA2)22220(3)AQ=w(t一t)=8兀(5一1)=32兀213-4简谐振动的合成一、两个同向同频简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动=Aco(w+91)10 x=x+x=Aco1

4、21大学物理大学物理 122010 下面我们用旋转矢量法求合位移t=0时刻，两分振动与x轴正方向的夹角分别为申和申，以相同的角速1020度逆时针转动。两旋转矢量的夹角恒定不变！故合矢量A的模保持不变，并以同样的逆时针转动。合振动是简谐振动！可写成xx=A:o升屮）0利用几何关系振幅21兀-_20-.A=+A2一2AAcos兀-（申-申）2122010+A2+2AAcos甲）A2+A2+2AAcosAp1212初相位Ata耳=0Ax其中A=Aco甲+Ac(psx11022A=Asinp+As(pn讨论:y11022（1）当Ap=p-p=2k兀（k=0,1,2,）时（即两分振动相位相同）2010A

5、=、A2+A2+2AA=A+Ad合振0幅最121212(2)当人屮=屮一屮=(2k+1)兀(k=0,1,2,)时(即两分振动相位相反)2010A=pA2+A2-2AA=|A-A合振幅最小12121121合振动的相位与振幅大者相同！同向同频谐振动的合成，在后面的机械波和波动光学经常碰到。解：例3.5已知两个谐振动的xt曲线如图所示，它们的频率相同，求它们合振动方程。A=A=0.0512T=0.1s，”21=20兀T%。申=兀20合振动的振幅初相位a=j2a=0.。5m151甲=-r04振动方程 Ex：(1)试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：x=0.4cos(2t+)m16

6、x=0.3cos(2t-)m26x=5cos(3t+)cmi37、+)cm3x=5cos(3t2(2)解：A=-=7213合振幅A=A+A=10cm12=-(-)=66=0.1m12其振动方程为A=A-A合9=-06x=0.1cos(21+)m6二、多个同向同频简谐振动的合成用旋转矢量合成的图解法处理。大学物理 x将各旋转矢量依次平移，使它们首尾相接。x=A:o6Atanp=x其中A=Acops+Acops+Acposx1122nnA=Asinp+Asipi+Aspiiy1122nn三、两个同向不同频简谐振动的合成拍(了解)为简单起见，设两分振动振幅相等，初相位相同x=Acos(ot+p)11

7、10 x=Aco(ot-p)2120质点的合位移x=x+x=Ao(t-tp)+AA0sot12110120o-o121tcos21QI2丿=2Acos1oto22ti+p0丿A(t)cos(ot+p)0o-o，可视为振幅缓慢变化的振动。21若两分振动的频率满足o+o21合振动的特点：（1）合振动的频率二巴+铁QQ212（mdA（2）合振幅A（t）=2Acost111I2丿在02A之间随t周期性变化，时强时弱，不是谐振动！描述的是一个高频振动受到一个低频振动调制的运动。这种振幅时大时小的现象叫“拍”。x+x12四、两个相互垂直的简谐振动的合成（了解）为简单起见，设两个振动的频率相同，分别沿x轴和

8、y轴振动:x=Acos1（mt十申）1y=Acos2(mt+申)2消去参数t，得轨迹方程（椭圆方程）x2y22xy+cos(pp)=sm2(pp)A2A2AA21211212注：将两个余弦函数展开，再将两式联立，可得厂cos0cos0=sinmt-sin(QQ)A2Ai2112Xsin0ysinQ=cosmt-sin(QQ)A2A12112将上两式平方后相加即可得该式。讨论几种特殊情况：（1）pp=2k兀时21y=A2-x线振动1A=,：A2+A2大学物理 (2)申一申=(2k+1)兀时21y=-生x线振动A1A=A2+A212兀(3)甲一甲=时212兰+兰=1椭圆A2A212A=,：A2+A2(4)一般情况下，合振动为斜椭圆。不同频率，但有简单整数比时，合成运动又具有稳定的封闭轨迹，称为李萨如图。1J八kA2cos2（rnt+Q）dt=T020动能和势能在一个周期内的平均值相等，都等于总能量的一半。例3.4：见第一册教材第113页。（不讲）例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为