等参单元概述

1、 前面介绍的三角形单元和四面体单元，其边界都是直线和平面，对于结构复杂的曲边和曲面外形，只能通过减小单元尺寸，增加单元数量进行逐渐逼近。这样，自由度的数目随之增加，计算时间长，工作量大。另外，这些单元的位移模式是线性模式，是实际位移模式的最低级逼近形式，问题的求解精度受到限制。为了克服以上缺点，人们试图找出这样一种单元：一方面，单元能很好地适应曲线边界和曲面边界，准确地模拟结构形状；另一方面，这种单元要具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分比较稀疏，也可得到较好的计算精度。等参数单元（等参元）就具备了以上两条优点，因此，得到广泛应用。6-1 等参元的概念第六

2、章 等参数单元1等参数单元 每一种等参数单元有二种形式：一种形式在局部座标 或 中，是以边长为2的正方形单元或边长为2的立方体单元用作计算称为母单元；另一种形式在整体座标 x y或x y z中，通过母单元映射到整体座标上的单元用于离散结构物称为子单元。由于母单元上的位移函数与座标变换的函数具有相同的参数。这就是等参数单元名称的来由。 母单元的位移函数:座标变换的映射关系:2 等参元的基本思想：首先导出关于局部坐标系的规整形状的单元（母单元）的高阶位移模式的形函数，然后利用形函数进行坐标变换，得到关于整体坐标系的复杂形状的单元（子单元），这种子单元的位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函

3、数与结点参数进行插值，称其为等参元。一、形函数对于单元形函数的确定，首先假设单元的位移模式，代入结点的位移和坐标，从而推导出单元的任意一点的位移插值函数，即形函数。实际上，形函数是定义在单元内部的、满足一定条件的、坐标的连续函数。形函数不仅可以用于单元位移函数的插值，还可以用于单元形状的变换。形函数应满足的条件是：3(6-1)1. 在结点i处 ， 在其他结点处 ； 2. 能保证用它定义的未知量（位移或坐标）在相邻单元之 间的连续性；3. 应包含任意线性项，以保证用它定义的单元位移可满足常应变条件； 应满足下列等式以保证用它定义的单元位移能反映刚体位移。4如图6-1所示，坐标原点在单位形心上。单

4、元边界是四条直线： ， 。为保证用形函数定义的未知量在相邻单元之间的连续性，单元结点数目应与形函数阶次相适应。因此，对于线性、二次和三次形函数，单元每边的结点数分别为两个、三个和四个。除四个角点外，其他结点位于各边的二分点或三分点上。 二维母单元是平面中的22正方形二、母单元首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形状简单且规整的单元，称为母单元。5图6-1 二维母单元(a) 线 性 单 元(b) 二 次 单 元123412348756 1) 线性单元（4结点）(6-3)以上形函数也可以合并表示为（i=1, 2, 3, 4） (6-4)其中(6-5)6三、坐标变换母单元可以直接用来进行

5、有限元分析，其单元特性可以按照前面几章中讲述的步骤进行。但是这些单元形状规整，难以适应实际工程中出现的各种结构的复杂形状。为了解决这个矛盾，需要用坐标变换的方法，把形状规整的母单元，转换成具有曲线（面）边界的形状复杂的单元。转换后的单元称为子单元。子单元在几何上可以适应各种实际结构的复杂外形。这样，对于一个实际结构，就可以采用各种形状复杂的子单元在整体坐标系中进行划分，来逼近其复杂的曲线或曲面边界。而每个子单元，通过坐标变换，都可以映射成一个局部坐标系下的规整单元，即母单元，计算比较简单。为了进行坐标变换，必须在局部坐标 和整体坐标 之间建立一一对应关系。这种对应关系可以利用形函数建立起来。

6、7等参数单元1. 平面坐标变换 在整体坐标系中，子单元内任一点的坐标用形函数表示如下(6-4) 其中，Ni 是用局部坐标表示的形函数，xi，yi 是结点i的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。返回8 若以母单元上12边为例，通过映射可得在平面内任一直线，12边的方程为 = -1,代入 通过局部座标与整体座标的映射关系把母单元变换到整体座标上成为一个任意四边形用于离散结构物，它能适合于任意曲边的形状。9同理可得 把以参数 代表的 x方程和 y方程消去 ，则得 x , y 所组成的直线方程 y=kx+b 所以母单元上的四个边都可以通过映射在x, y座标面上得出一个任意四边形，用该四边形离散结构物。

7、10（a）母单元 （b）子单元图6-2 二维单元的平面坐标变换1234875623154678等参数单元返回 图6-2表示了二维单元的平面坐标变换。母单元是正方形，子单元则分别变换成任意四边形和曲边四边形。而且相邻子单元在公共边上的整体坐标是连续的。以二次单元为例，两个相邻单公共边界上都是二次曲线（抛物线），而在三个公共结点上具有相同的坐标。因此，整个公共边界都有相同的坐标，即相邻单元是连续的。11等参数单元2. 两类坐标系的关系以上坐标变换式给出了局部坐标和整体坐标之间的一一对应关系。如果给定了局部坐标 的值，则可以求出整体坐标 的对应值，反之亦然。在有限元分析中，两者的作用是不同的。直角坐

8、标系在 整个结构的所有子单元中共同采用，所以称为整体坐标。返回而曲线坐标系 则只适用于单个独立的子单元，所以称为局部坐标。整体坐标在整体分析中采用，局部坐标则在单元分析中采用。12现在讨论两类坐标系中有关偏导数的关系，以二维坐标为例：根据复合函数的求导法则，有(6-5) 上式可写成矩阵形式(6-6)其中：J称为雅可比（Jacobi）矩阵式（6- 7）的逆变换式为(6-7)(6-8)其中，J-1是J的逆阵13等参数单元 四、等参元在有限元分析中，定义一个单元需要确定其几何形状以及位移分布。以上已经建立了各种子单元的几何形状，还需要假设其内部的位移分布情况。子单元的位移模式可用形函数表示如下(6-9)用矩阵表示为返回14(6-10)其中：N为用局部坐标表示的形函数， 是整体坐标下的结点位移。比较子单元的坐标变换式和位移模式，两者都利用了形函数，它们可以是局部坐标的一次、二次、三次甚至更高次的函数。坐标变换式是根据结点的坐标 和形函数 来确定单元的几何形状；位移模式是根据结点的位移 和形函数 来确定单元的位移场。如果单元坐标变换式和位移模式所用的形函数的阶次相等，即用于规定单元形状的结点数等于用于规定单元位移的结点数，那么这种单元就称为等参数单元（等参元）。在等参元中坐标变换和位移模式一般使用相同的结点。15等参数单元等参元具有以下优点：1）可以模拟曲线和曲面边界，适用于处