非线性方程组牛顿迭代法

1、华中师范大学课程结业论文题 目：非线性方程组牛顿法及 MATLA醒序院 系：数学与统计学学院专 业：数学与应用数学年 级：2014级课堂名称：数值分析（1）实验学生姓名：杨帅学 号：学142126432016年6月18非线性方程组牛顿法及其MATLA程序摘要学了数值分析这门课，了解到非线性方程的数值解法有：对分区间 法、简单迭代法、Aitken-Steffensen 加速法、Newton迭代法、正割法等，自然 就会想到非线性方程组的数值解法有哪些呢？和非线性方程的数值解法有哪些 不不同呢？在研究非线性方程组的数值解法之前，首先要给非线性方程组下 一个合理定义；n个变量n个方程(n1)的方程组表

2、示为f(xi,x2,.,xn)= 0 (其中i=1,2., n),若fi中至少有一个是非线性函数，则称上述的表本为非线性方程组。在R中记，f = f (X, 乂2,.,),，其中记 fi = fi(x) = fi(x1,., xn)且 x W D 若存在九6 D,使?(咒)=0,则称几为非线性方程组的解。上述方 程组可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方 程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不 象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求 得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于 解九的迭代序列九(k=0 , 1,)，

3、即可得到求解非线性方程组的各 种迭代法；但研究数学问题的时候，一般是由简单到复杂，由特殊到 一般。因此要在研究非线性方程组牛顿解法的时候，首先要探究非线性方程的牛顿解法。求解线性方程组的牛顿法及其 MATABS序程序设计思路输入的量：初始值x。、近似根xk的误差限tol ,近似根xk的函数值f(xk)得误差限ftol ,迭代次数的最大值gxmax函数fnq (x) =f (x) 及其导数 dfnq (x) =f (x)。输出的量：迭代序列xk、迭代k次得到的迭代值xk (迭代次 数超过gxmax时，运行后输出信息请注意：迭代次数超过给定的最 大值gxmax)、相邻两次迭代的偏差piancha=

4、| xk-xl和它的偏差的 相对误差 xdpiancha=| xk-xk-i|/| xk | 的值。具体操作现提供名为newtonqx.m 的M文件：function k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;for i=1: gxmaxx(i+1)=x(i)-fnq(x(i)/(dfnq(x(i)+eps); piancha=abs(x(i+1)-x(i);xdpiancha= piancha/( abs(x(i+1)+eps); i=i+1;xk=x(i);yk=fnq(x(i); (i-1) xk yk pi

5、ancha xdpianchaif (abs(yk)ftol)&(pianchatol)|(xdpianchagxmaxdisp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。)return ;end(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha;例题分析用牛顿法求解方程2xA3-3xA2+1=0 ftxo= -0.4和0.9的近似根，要 求精度s = 10A(-3).然后判断此方法分别在方程的根x*= -0.5和1 处的收敛速度.(1),先求方程白近似根.在MATLAB：作窗口输入程序k,xk,yk,piancha,xdpiancha=newtonqx(-0.4,0.001,0.0

6、01,100)运行后输出初始值x =-0.4的迭代结果如表所示.kxkyk| xk -xk -1| Xk i-1|/|Xk |1-0.516 7-0.076 70.116 70.225 82-0.500 4-0.001 60.016 30.032 63-0.500 0-0.000 00.000 40.000 7迭代次数k = 3根的近似值xk =-0.500，它的函数值yk=-1.759e-013偏差piancha=1.712e-007和相对误差 xdpiancha =3.423e-007如果将-0.4改作0.9,则运行后输出初始值x= -0.4的迭代结果为 k =7; piancha =7.

7、290e-004; xdpiancha =7.295e-004;沙=0.999;, =1.590e-006.(2),再讨论收敛速度比较初始值分别是x=-0.4和0.9的两组结果，在k=-0.4处迭代3次 就得到单根x*=-0.5的近似值xk =-0.500;而在x0 = 0.9处迭代7次 才得到二重根x1的近似值xk =0.999.可见，牛顿切线迭代法在单根 处的迭代速度比二重根处的迭代速度快很多.这正如前面讨论的结果 一样，即若x是f (x) =0的单根，则牛顿切线法是平方收敛的；若 x*是f (x) = 0的二重根，则牛顿切线法是线性收敛的；,求解二元非线性方程组的牛顿法及其MATLA叁序

8、程序设计思路：输入的量：初始值X = x,y,要求的近似根(xk,yk)的误差tol , (xk,yk)的函数值f(xk,yk),i=1,2的误差限ftol ,迭代次数的最大值ngma琳口函数fdm)=1,2及其一阶偏导数：输出的量：迭代c=k次数得到的迭代向量值 X= (x,y)、向量的函数值Y= f W, yk), f 2由,yk)、Y的2范数hanfan、迭代方程组的 系数行列式D的值、相邻两次迭代向量的2范数danfan=norm( X Xk) 和它的2范数的相对误差xddf=danfan/norm( Xr)的值(当迭代次数 超过最大值ngmax时运行后输出请注意：迭代次数超过给定的最

9、大值namax,请重新输入初始值玄：当D=0时，运行后输出信息请 注意！迭代方程组的系数行列式的值等于零)具体操作：使用两个初始值x, y,现提供名为newtonzu2.m的M文件function ci,D,danfan,xddf,hanfan,Xk,Yk=newtonzu2(X,tol,ftol,ngmax) Y=Z(X);for i=1:ngmaxdY=JZ(X);D=det(dY);A1=Y(1),dY(1,2); Y(2),dY(2,2); A=det(A1);B1=dY(1,1), Y(1); dY(2,1), Y(2);B=det(B1);Xk=X-A,B/D;hanfan=nor

10、m(Y);danfan=norm(Xk-X);xddf=danfan/(norm(Xk)+eps);X=Xk;Y=Z(X);ci=i;if D=0ci=i; Xk=X-A,B/D;Yk=Y; ci,D,danfan, xddf, hanfan , X, Y;elsedisp(请注意！迭代方程组的系数行列式的值等于零.)endif (hanfan ftol)&( danfan tol)|( xddf gxmaxdisp(请注意：迭代次数超过给定的最大值ngmax,请重新输入初始值 x0.)return ;endend例题分析：用上述迭代法求解方程组xA2+yA2=16与乂5-丫5=2(1)设 f

11、 1(x)=xA2+yA2-16f2(x) =xA2-yA2-2则 *(X，y) =2x-fl(X,y) =2y-f2(X，y) =2x-2(X，y) 2y ：:xfyfxfy(2)作函数fi(x)和f2(x)的图像，输入程序syms x yF1=xA2-yA2-2;F2=xA2+yA2-16;ezplot(F1,-4,5,4.5), hold onezplot(F2,-4.5,4.5) ,hold off运行后屏幕显示如右图，取两个初始值xo=2,yo=2(3),建立并保存名为Z.m的M文件function F=Z(X)x=X(1);y=X(2); F=zeros(1,2);F(1)= xA

12、2+yA2-16; F(2)= *人2-丫人2-2;(4),建立并保存名为JZ.m的M文件function dF=JZ(X)x=X(1);y=X(2); dF=zeros(2,2);dF(1,1)=2*x; dF(1,2)=2*y;dF(2,1)=2*x; dF(2,2)=-2*y;(5),保存名为newtonzu2.m 的M文件；(6),在MATLAB：作窗口/入程序:X=2,2; k,D,danfan, xddf, hanfan , Xk, Yk= newtonzu2 (X,1e-4,1e-4,100)(7),运行后输出结果k =5D =-63.49803146638493danfan =

13、3.932201289951168e-011xddf =9.830503224877920e-012hanfan =3.336593498083849e-010Xk =2.99999999996068 2.64575131106449Yk = 1.0e-015 * 0 -0.888178419700132.2求解n元非线性方程组的牛顿法及其MATLA能序程序设计思路输入的量：初始值X0,要求的近似根Xk的误差限tol , xk的函数值fi (xk) , i =1,2,.,n的误差限ftol ,迭代次数的最大值gxmax和函 数fi (xk) , i=1,2,.,n及其一阶偏导数；输出的量：迭代

14、k次数得到的迭代向量值xk、向量的函数值fi (xk) , i=1,2,.,n及其2范数hanfan、迭代方程组的雅可比矩阵的行 列式D的值、相邻两次迭代向量的2范数danfan=norm(xk+-xk)和它 的2范数的相对误差xddf=danfan/norm( xk*)的值。(当迭代次数超 过最大值gxmax时运行后输出信息请注意：迭代次数超过给定的最 大值gxmax,请重新输入初始值；当D = 0时，运行后输出信息请注 意！迭代方程组的系数行列式的值等于零.)具体操作：使用两个初始值x0, y0,现提供名为newtonzu2.m的M文件function ci,D,danfan, xddf,

15、 hanfan , Xk, Yk= newtonzun (X, tol,ftol,gxmax) Y=Z(X);for i=1:gxmaxdY=JZ(X);D=det(dY);Xk=X-(dYY);hanfan=norm(Y);danfan=norm(Xk-X);xddf=danfan/(norm(Xk)+eps);X=Xk;Y=Z(X);ci=i;if D=0ci=i; Xk=X-(dYY);Yk=Y;ci,D,danfan,xddf,hanfan,X,Y;elsedisp(请注意！迭代方程组的系数行列式的值等于零.)endif (hanfan ftol)&( danfan tol)|( xddf gxmaxdisp(请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax,请重新输入初始值.)return ; end例题分析：用上述n元非线性方程组的迭代法求解方程组xA2+yA2=16与xA2-yA2=2在MATLAB工作窗口输入程序X=2,2;k,D,danfan, xddf, hanfan , Xk, Yk= newtonzun (X,1e-6,1e-6,100)运行后输出结果k=5 , D=-63.49803146638493, danfan=3.932201289951168e-011xddf=9.830503224877920e-012, hanfan=3.336593