二阶常微分方程

1、11dx2+4dx+7y=0因为er2x=e工常数y2的特解y，故应是x2y1的某个函数，设y271=u,其中u=u(x)为待定函rx1=(dx+er1xruer1x1dx=dxru)er1x1dudx2)er1x第七节二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。7.1二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为d2ydydx2+pdx+qy=0(

2、7.1)其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解”就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特d2y解，从方程的形式上来看，它的特点是dX2，dydx，y各乘以常数因子后相加等于零，如果能d2ydy找到一个函数y,其dx2，dx，y之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数erx,符合上述要求，于是我们令y=erx(其中r为待定常数)来试解dyd2y将y=erx,dx=rerx，dx2=r2erx代入方程(7.1)得r2erxprerxqerx=0或erx(r2

3、prq)=0因为erxHO,故得r2prq=0由此可见，若r是二次方程r2prq=0(7.2)的根，那么erx就是方程(7.1)的特解，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r,r，称为特12征根，由代数知识，特征根r,r有三种可能的情12况，下面我们分别进行讨论。若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r,r，此时erix,er2x是方程(7.1)的两个特解。12er1x所以er1x，er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解

4、为y=Cer1xCer2x12若特征方程(7.2)有两个相等的实根r=1r，此时p24q=0，即2_P有r=r2=2，这样只能得到方程(7.1)的一个特解y=erix，因此，我们还要设法找出另iy2一个满足y工常数，1数，即y2=uy1=ue求一阶，二阶导数得dudu2d2y.2dx2=(r2iu+2r1dx+d2u将它们代入方程(7.1)得dud2udu(r2iu+2ridx+dx2)er1x+p(dx+(y1+y2)=2eax(eipx+eipx)=earu)erix+quenx=O或d2uxcospx1du2i(yiy2)=2ieax(eipxeipx)=eaxsindx2+(2ri+p

5、)dx+(巴+pr+q)uerix=0因为emHO,且因ri是特征方程的根，故有rPp*+q=,又因r=2故有2ri+P=，于是上式成为d2udx2=0d2u显然满足dxi=0的函数很多，我们取其px11由上节定理一知，2(y1+y2)，2i(y1y)是方程(7.1)的两个特解，也即eaxcos0 x,eaxsin2px是方程(7.1)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.1)的通解为y=Ceaxcospx+Ceaxsinpx或y=eax(Ccospx+Csinpx)其中C，C为任意常数，至此我们已找到了实12数形式的通解，其中a,p分别是特征方程(7.2)复数根的实部和虚部。

6、中最简单的一个u(x)=x则y=xerx是方程(7.1)的另一个特解，且y,21y是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是2综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.1)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根y=Cerix+Cxerix=(C+Cx)enx1212(3)若特征方程(7.2)有一对共轭复根r=1a+i0，r=aip此时方程(7.1)有两个特解y=e(a+ip)xy=e(aip)x12则通解为y=Ce(a+ip)x+Ce(aip)x12其中C,c为任意常数，但是这种复数形式的12解，在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式的通解，为此利用欧拉公式eix=cos

7、x+isinx，eix=cosxisinx1(eix+eix)=cosx特征方程r2+pr+q=0的根d2ydy微分方程dx2+pdx+ay=0的诵解有二个不相等的实根r,r12y=Cer1x+Cer2x12有二重根r=r12y=(C+Cx)er1x12有一对共轭复根cr=a+1卩1r-a-ip2y=eax(CCospx+Csinpx)据他的三种情况确定其通解，现列表如下例1.求下列二阶常系数线性齐次方程的通有12i(eixeix)=sinx解d2ydydx2+3dx10y=0d2ydy(2)dx24dx+4y=0d2ydy解(1)特征方程+3r-10=0有两个不相等的实根r=5,r=212所

8、求方程的通解y=Ce5r+Ce2x12特征方程r24r4=0，有两重根r=r=212所求方程的通解y=(C+Cx)e2x12特征方程+4r+7=0有一对共轭复根r=2+Ci1r=22所求方程的通解y=e-2x(Ccos，x+1(3Csinx)27.2二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程d2ydydx2+pdx+qy=f(x)(7.3)的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解，而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程的一个特解。方程(7.3)的特解形式，与方程

9、右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。一、f(x)=p(x)eax，其中p(x)是n次多项式，nn我们先讨论当a=0时，即当f(x)=p(X)时方程d2ydydx2+pdx+qy=pn(x)(7.4)的一个特解。(1)如果qH0,我们总可以求得一n次多项式将y及其导数代入方程(7.4)，得方程左右两边都是n次多项式，比较两边x的同次幕系数，就可确定常数a，a，a。1d2ydy例1.求dx2+dx+2y=x23的一个特解。解自由项f(x)=x23是一个二次多项式，又q=2H0,则可设方程的特解为y=ax2+ax+a012y求导数=2ax+a01y=2a0代入方程有2ax2

10、+(2a+2a)x+12a=102a+2a=0012a+a+2a01002a)=x23比较同次幕系数22a+a+01解得=-31所以特解y=2x2x4y满足此方程，事实上，可设特解=Q(x)=axnn0+axn-1a，其中a，a，a是待定常数，1n01n如果q=0,而pH0,由于多项式求导一次,其次数要降低一次，此时y=Q(x)不能满足方程,n所求方程的特解=4x316x2+所求方程的特解=4x316x2+但它可以被一个(n+1)次多项式所满足，此时我们可设19y=xQ(x)=aXn+i+aXnaxn01n代入方程(7.4)，比较两边系数，就可确定常d2y如果p=0,q=0,则方程变为dx2d

11、y数a,a，a。0ind2yp(x),此时特解是一个(n+2)次多项式，可设n例2.求方程dx2+4dx=3x2+2的一个特解。解自由项f(x)=3x2+2是一个二次多项式，又q=0,p=4H0,故设特解y=ax3+ax2+ax0i2y=x2Q(x),代入方程求得,也可直接通过n两次积分求得。下面讨论当aHO时，即当f(x)=p(x)eax时n方程d2ydydx2+pdx+qy=pn(x)eaxdx=eaxdx+aueaxdx+a2ueax求导数丫=3ax2+2ax+a0i26ax+2a0i代入方程得12ax?+(8a+6a)x+(2a+4a)=0i0i23x2+2,比较两边同次幕的系数12a

12、=3o8a+6a=010解得2a+4a=212(7.5)的一个特解的求法,方程(7.5)与方程(7.4)相比，只是其自由项中多了一个指数函数因子eax,如果能通过变量代换将因子eax去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设y=ueax,其中u=u(x)是待定函数，对y=ueax,求导得dydud2yd2u求二阶导数dx2=eaxdx2+2aeadudx2+(2a+p)dx+(a2+pa+q)u1a=o43a=-TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 1619a=3213y代入方程(7.5)得 HYPERLINK l bookmark18

13、 d2ududueax2+2a+a2u+peax+au+queax=p(x)eaxn消去eax得d2udu=p(x)(7.6)n由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有：如果a2+pa+qH0,即a不是特征方程d2y例4.求方程dx2+y=(x2)e3xd2y例4.求方程dx2+y=(x2)e3x1313=(ax+a)e013xdx2+(2a+p)dx+(a2+ap+=(TOx50)e3xr2+pr+q=0的根,则可设(7.6)的特解u=Q(x),n从而可设(7.5)的特解为y=Q(x)eaxn如果a2+pa+q=0,而2a+pHO,即a是特征方程r2+pr+q=0的单根

14、，则可设(7.6)的特解u=xQ(x)，从而可设(7.5)的特解为ny=xQ(x)eaxn如果rz+pa+q=0,且2a+p=0,此时a是特征方程r2+pr+q=0的重根，则可设(7.6)的特解u=X2Q(x)，从而可设(7.5)的特解为ny=x2Q(x)eaxn例3.求下列方程具有什么样形式的特解d2ydydx2+5dx+6y=e3xd2ydydx2+5dx+6y=3xe2xd2ydydx2+adx+=-(3x2+1)ex解(1)因a=3不是特征方程n+5r+6=0的根,故方程具有形如y=ae3x的特解。0因a=2是特征方程+5r+6=0的单根,故方程具有形如y=x(ax+a)e2x的特解。

15、01因a=1是特征方程r2+2r+1=0的二重根,所以方程具有形如y=x2(ax2+ax+a)ex的特解。012的通解。解特征方程r2+1=0d2y特征根r=i得，对应的齐次方程丑2+y=0的通解为Y=Ccosx+Csinx12由于a=3不是特征方程的根，又p(x)=x2为n一次多项式，令原方程的特解为此时u=ax+a,a=3,p=0,q=1,求udud2u关于x的导数dx=a0，dx2=0，代入d2uduq)u=(x2)得：10ax+10a+6a=x2010比较两边x的同次幕的系数有)Oa=12010a+6a=一2解得a0=1011310，a=50于是,得到原方程的一个特解为113所以原方程

16、的通解是1yy=Y+=Ccosx+Csinx+(10 xe3xi0)xi0)x2dXdx=3ax2+2ax+a012代入dx2+(2a+p)dx+(a2+pr+解得d2ydy例5.求方程dx22dx3y=(x2+l)e-x的通解。解特征方程r22r3=0特征根r=1,r=32d2y所以原方程对应的齐次方程dx2dy3y=0的通解Y=Cex+Cesx,由于a121是特征方程的单根，又P(X)=X2+1为二次多项n式，令原方程的特解=x(ax2+ax+a)ex012此时u=ax3+ax2+ax，a=1，p=0122，q=3对u关于x求导dud2udx2=6aox+2aid2uduq)u=x2+1，

17、得12ax2+(6a8a)x+2a4a=x2+1比较0012x的同次幂的系数有一12a=101a=-0T26a8a=0011a=T62a4a=0109a=32故所求的非齐次方程的一个特解为xx2x9y=4(3+4+8)ex二、f(x)=p(x)eaxCOS0 x或p(x)eaxsin0nnx,即求形如d2ydydx2+pdx+qy=Pn(x)eaxcospx(7.7)d2ydydx2+pdx+qy=Pn(x)eaxsinpx(7.8)这两种方程的特解。由欧拉公式知道，p(x)eaxcos0 x，p(x)eannxsinx分别是函数p(x)e(a+迢)x的实部和虚部。n我们先考虑方程d2ydy+

18、p+qy=p(x)e(a+i0)x(7.9)方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面讨论。由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的一个特解。注意到方程(7.9)的指数函数e(a+iP)x中的a+i0(0H0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以a+i0最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特解形为Q(x)e(a+ip)x或xQ(x)e(a+nn例6.求方程dx2y=excos2

19、x的通解。取其实部得原方程的一个特解例6.求方程dx2y=excos2x的通解。取其实部得原方程的一个特解d2ysin2x)解特征方程r21=0特征根r=1,r=112于是原方程对应的齐次方程的通解为Y=Cex+Cex12为求原方程的一个特解y。d2y先求方程dx2y=ed+2i)x的一个特解，由于l+2i不是特征方程的根，且p(x)为零次多n项式，故可设u=a，此时a=(1+2i),p=0,q0=1代入方程d2ududx2+(2a+p)dX+(a2+ap+q)u=1得(1+2i)21a=1,即(4i4)a=1,0011a0=4(i1)=(i+1)d2y这样得到旺y=e(1+2i)x的一个特解

20、1y_=gex(cos2xsin2x)故原方程的通解为1y=Y+=Cex+Cex128ex(cos2xsin2x)d2y例7.求方程dx2+y=(x2)e3x+xsinx的通解。解由上节定理三,定理四,本题的通解只要d2y分别求dx2+y=o的特解y,d2ydx2+丫=(x2)e3x的一个特解d2ydx2+y=xsiny1x的一个特解y2然而相加即可得原方程的通解,由本节例4Y=Ccosx+Csinx,12131yi=(10 x50)e3xy=8(i+1)e(i+2i)x由欧拉公式1y=8(i+1)e(i+2i)x1=8(i+1)ex(cos2x+isin2x)1=8ex(cos2xsin2x

21、)+i(cos2x+yy下面求2,为求2先求方程d2ydx2+y=xeix由于i是特征方程的单根，且p(x)=x为一n次式，故可设u=x(ax+a)=ax2+ax,此时a0101=i,p=0,q=1,对u求导1x所以，所求方程的通解y=Y+yi+y2由于a=1不是特征方程的根1x所以，所求方程的通解y=Y+yi+y2由于a=1不是特征方程的根dud2udx2ax+a，dX2=2a0代入方程d2ududx2+(2a+p)dx+(a2+pa+=Ccosx+Csinx+(12114X2COSX+4xsinxq)u=x2a2i(2axa)0=x0014iax+2ia+2a=x010即比较x的同次幕的系

22、数有:4ia202ia11+2a=0得01113e3x综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程d2ydydx2+pdx+qy=f(x)当自由项f(x)为上述所列三种特殊形式时，4id2y即方程dx2+y=xeix的一个特解iy_=(4x2+4x)eix4X2+4)(cosx+isinx)=(4X2sinx+4xcosx)+i(4X2cosx自由项f(x)形式特解形式y当qHO时=Q(x)f(x)=p(x)nny当q=0,pH0时=Q(x)ny当q=O,p=O时=X2Q(x)当a不是特征方程根时f(x)=p(X)eaXny=Q(x)eaxny当a是特征方程单根时丿=xQ(x)eaxn当a是特征方程

23、重根时y=X2Q(x)eaXf(x)=p(x)eaxcospXn利用欧拉公式eipx=cos0 x+或nisin0 x，化为f(x)=p(x)e(+if(x)=p(x)eaxsin0 xp)x的形式求特解，再分别取其实部或虚部其特解y可用待定系数法求得，其特解形式列表如下：+4xsinx)取其虚部，得y2=4x2cosx+以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。例8.求y+3y+3y+y=ex的通解解对应的齐次方程的特征方程为r3+3r2+3r+1=0r=r=r=1234xsinx所求齐次方程的通解Y=(C+Cx+Cx2)e1231d2ydt1dy

24、y因此方程的特解)pex代入方程可解得a。1=8故所求方程的通解为y=Y+y=(C+Cx+12=xdt2dx-x2BF1d2y1dy=X2dt2X2df代入方程(7.10)得d2ydydyao(dTdt)+a2dt+aiy=f(et)axnaxn+aiTdXn-1+昕1xdx+ay=f(x)nCx2)ex37.3欧拉方程下述n阶线性微分方程dnydn-iydy称为欧拉方程，其中ao,叮都是常数，f(x)是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。对于二阶欧拉方程d2ydyaox2dx2+aixdx+a2y=f(x)(7.10)作变量替换令x=et，即t=lnx引入新变量t,于是有dydydtdx=BFdx=dy11dy3tx=x爼td2yd1dy1ddx2=dx(xdt)=xdxdydyd1(dt)+dtdx(x)d2ya-ady20即dT+adt+0a1i