高中数学直线与圆、圆与圆的位置关系

1、9.4直线与圆、圆当圆的位置关系1.已知集合A= ( x,y)| x, y 为实数(RO x2-+=1 , B = ( x, y)| x , y 为实数,且x + y= 1,则A A B的元素个数为解析集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x + y=1的距2= v1 = r ,所以直线与圆相交，故2 2AAB的元素个数有2个.答案.圆 C1 :2x2 0 y2 +C1：解析圆x =,2 202+y1)C2：2=，圆1x2 + y2+ y=,则两圆的位置关系是2 40C2 ： x + y +2= 2,所以CC2=5,且2152+1,所以两圆相交.答案相交x- y+ a= 与圆

2、x- 2 + y2= 有公共点，则实数a的取值范围是3.若直线 20(1)1I a + 2|解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有解得一a w - +2- 5W 25.答案4.与圆-2F 5, 2+ 巧x2 y2=外切鹏 P,且半径为的圆的方程是25解析设所求呼圆心为424(4,3)皿一工小_C m, n，则O, P, C二点共线，且()311824 218 2所以m = 5*6= 5 , n= 5X6= 5 ,所以圆的方程是 x 24 2 + y_2=15.5A 向圆 x2 + y2 = (2,4) x =x 5+ y 5 = 1.答案所引切线的方程为4为所求切线之一.另设直线方

3、程为解析显然 2x (2)3那么310A地以每小肘B在A地正东解析1)所以35CC2 =(4,1)(4,1)5 + 22故切线长的最小值为367.y40,- y+47. 51个单位，所得me 121.30 m|4 -2k|解析切线长的最小值在C1x-( C1(532 I 32= 82.台风中心从61 m 11答案 83x- 4y+10 = 0+ 6x78y 11=0相交，则实数m的取值范围为k2+1 = 2答案1 h圆心(3,0)x +三2( 所以入线的距离为d= |3 -0+1|解析(x + 3) 2|6 m| 5 6+ m(y-4) 2所以10, b0)被圆 x2+ y2 + 2x- 4y

4、 + 1=0 截得的弦长一 一 1 一 1 _为4 ,则a +b而最小值是x +2+ y 解析圆(1)(,弦长为4,故为直径，即直线过圆心 (一1,2)，.=a + b=1,111 1b a. + / a+ b = + + + 十=(a 1 b a b ) 2 a b +的最小值为4.a b答案 41=,当且仅当a = b=时，取等号,2214212.圆 C1： x2 + y2 + 4ax+ 4a2- 4= 0 和圆 C2： x2 + y2- 2by + b2 -1 = 0 恰有二条公切线，若a, b R且abw0,则解析由题意，曲圆处切。所以11122 + 2的最小值为.a b| C92|

5、三 1 4, 2,郎 2a 2 +b2 = 3, 也即 4a22 111b2a21 TOC o 1-5 h z + b = 9,所以a2+b2=9(4 a + b ) a + b2 = 95 + a?+ b? 9X(5 + 4) =1,当且 b2a222-L 2 4 2,即b = a时等号成立.仅当a = b 2答案 1.已知集合 A = ( x, y)| x| +| y| W1 , B= ( x, y)| x2 +y2 0,若点 x , y A是点x, y W B的必要条件，则r的最大值是.)()融析由题意得B A：所以r的最大值即为原点到直线x+y=的距离?112d =二、解答产(每小题1

6、5分，共45分).已而圆 C: x2+ y2-8y+ 12 = 0,直线 l : ax + y+ 2a = 0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB = 2 2时，求直线l的方程.葡析 将圆C的方程x2+y 2- y+= 配方得标准方程为x2+y2=,则812 0(4)4此圆的圆心为（0,4）,半径为2.(1)若直线l与圆C相切， . TOC o 1-5 h z I rq aAF/r3则有2 V =2.角牛得a=.1 a + 14(2)过圆心C作CD AB,则根据题意和圆的性质,|4 +2 a 尸严72222得 CD + DA = AC= 2 ,

7、1DA = 2AB= 2.解得a = 7或a = - 1.故所求直线方程为 7x- y+ 14 = 0或x-y + 2 = 0.=0的交点的圆中面积最15.求过两圆 x2+ y2 + 4x + y = 1,x2 + y2 + 2x+2y+1 小”圆的方程. TOC o 1-5 h z x2+y2+ 4x + y= 1 , 解析由|x2+y2 + x +y + =,2 210 x-y = 代入得1一得2051 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 12.二两圆两个交点为 一5， 5、（ 1, 2）.12/xJrj 一 Il.，Il过两父点周中，以一宠

8、-5卜（一1, -2）为端点的线段为直径的圆，面积最小.36:该圆圆心为一5， 5半径为21+1552-2-2 22 /户513 26 24J 1圆方程为x + 5 + y+5，= 5.16以加图，已伸位于 y铀左侧的圆 C与y轴相交于点（0,1）且被x轴分成的两段W斗k上比为 1 ： 2,过卜H（0 , t ）的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点：O.(1)求圆C的方程;(2)当t =1时，求出直线l的方程；(3)求直线OM的斜率k的取值范围.解析(1)因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,1),所以圆心C在直线y=1上.C与x轴的交点分别为 A、B设圆2

9、兀由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2 ： 1 ,得/ ACB= 3 -所以 CA = CB = 2.圆心C的坐标为(一2,1),所以圆C的方程为(x + 2) 2 + ( y-1) 2=4.(2)当t =1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y = mx+1不妨令y= mx + , 12 x+2十2y 1=4,2m m+ 1m+ 12,N(0,1).x一 4x= 2,m+ 10 或芋 21-m4 m+ 1y =2J m+ 1MN为直径的圆恰好经过 O因为以OM ON _ 所以(0,0)2=2 4研 1m/ 1(0,1)2-+ 1m 4m1m = 2m + 1023.所以所求直线l方程

10、为y= (2 + 3)x+ 1或y=(2 3)x+1.(3)设直线MO 1的方程为y= kx.r k-j 一 TOC o 1-5 h z 一1| - 21|3由题意，知 2 W2,解得k .1 + k4 4.广134同理，得k0.由(2)知，k = 0也满足题意.所以k的取值范围是一0, - 3 u 0, 4 .17.如图所示，某粮食储备库占地呈圆域形状，它的斜对面有一条公路，从储备库中心A向正东方向走1 km是储备库边界上的点 B,接着向正东方向走2 km到达 公路上的点C;从A向正北方向走2.8 km到达公路上的另一点D,现准备在储备库 的边界上选一点E,修建一条由E通往公路CD的专用线路

11、EF,要求造价最低，用 坐标法回答：点E应该选在何处？DfryXII I 、I解析 如图所示，分别以直线AC、Ad加牺Sy轴建立平面直角坐标系，为1/作圆A的切线GH,使GH II CD ,这时而点就是 E点的位置(另一条切线不在考虑之,连接AE, A、E、F三点共线，AFXCD,由已知,2.8CD的斜率为 3 =1415,x2+y2 =1 14 42115二. E点选在坐标为，42142118.已知圆O的方程为x2+y2=1,(1)求直线l 1的方程；(2)设圆-O交x轴于P, Q两点，M轴,直的直线为l 2 ,直线PM交直2解析(1)由题意，可设直线2 2x + y = 1. TOC o

12、1-5 h z 1515 AF的斜率为14, AF的方程 y=14x,圆A的方程为 为15 一一由y= 14 解得E点的坐标为14 421 15 421421421.421的点，造价最低.KHl X直线l 1过点A(3,0),且沙忸N是圆O万异于P,叵的任意T点,过点A且与x A fj J7!1. r. 1 JII证:以线段P Q为直径的圆C总过走点，并求出定点坐标.l 1 的方程为 y = k( x 3),即 kx y 3k = 0,21 ,解得k=,4t2s- 12所以直线l i的方程为y= 4Mx证明P 1由题意，(1,0)设 M( s , t )( s w 1),则直线 Px=,3于是由 t TOC