高中数学高考10大陷阱扫描版

1、1.概念陷阱题概念陷阱题主要是针对某些概念中容易产生模糊认识或容易发生混淆的地方设计的问 物.设计这类问题的目的是考皆学生对基本概念掌握的程度.这类问题.因数学内容的丰富 而有多种表现形式.解答时，要熟练掌握数学概念的内涵与外延,搞清概念中容易发生混淆 的地方.例题1设/(X)是定义在R上的偶函数.其图象关于直线X=1对称，对任意xj,x20,1.都有/(X +)=/($)/(与)，(D 设/。)= 2 求/(：),/(；);(2)证明/(x)是周期函数.错解(2)因为函数图象关于x = l对称，且是偶函数.得/(0) = /(1 + 1-0) = /(2 + 0),/(-1) = /(1-2

2、) = /(2-1).所以函数是周期函数T=2.剖析 周期函数定义中的是定义域中的任意一个数.这里取特殊值.很明显.这是 由于对周期函数定义的理解不透造成的.正解 因为函数/的图象关于直线x = l对称.所以/(x) = (l + l-x),/(x) = /(2-x),又= = /(x). /(-x) = /(2- x),.-./(x) = /(2 + x).所以/(x)是R上的周期函数.且2是它的一个周期.点评 跳出概念陷阱题的对策：一定要彻底理解相应的概念.要把握住概念的内涵与外 延.如本题，就要掌握周期函数的周期定义,就不会掉进设计的“陷困” 了.例题2判断函数/(x) = l + sm

3、x-ss”的奇偶性. 1 + sinx + cosx TOC o 1-5 h z A . X X a . 2 X. X2sin cos + 2sm -sm 错解 f (x) =2=-=tanc . x x . -2 xx 22 sin - cos + 2co，cos 2222x而tan”是奇函数.2，/(x)是奇函数.剖析 一个函数是奇函数还是偶函数的必要条件是定义域关于原点对称,若不对称,则X为芈奇非偶函数.上题错解是因为？ 一是不考虑定义域二是原函数与，(x)=tan不是 同一函数.正解 由I + sinx + cosxxO 得f(x)的定义域为 x |工2/”一,或2xw22”-伏wZ)

4、它不是关于原点对称的区间,所以为非奇牛偶函数.点评函数的奇偶性是在整个定义域内的性质.判断函数的奇偶性必先看定义域是否关于原点对称.要小心错误，如/(用=+川二xw(-C.C)是一个奇函数.1 + sinx + cosx2 2.定理公式陷阱题定理公式陷阱遮主要是针对对数学定理公式的理解上的偏差、应用时限制条件的忽略等 等而命制的.这类问题设计的目的是考查学生对数学定理公式的学习、掌握、应用的情况.要 跳出这类定理公式的陷阱，应该透彻理解数学的定理、公式.明了数学定理、公式的应用限 制条件,进而熟练准确的运用定理公式解决问题.例题3设向量 =(3,乂)=(%,以)则%=是51的 条件./ 心错解

5、 aZo芭必-乂 =0= 五=比.填充要% 以剖析 应用定理时，忽略了限制条件.方o/H-必=0是正确的但是由%乂-%乂=0= 卫=就错了错在未考虑或M为的限制条件,吃y2正解填充分不必要.*实上，若* =则% -与乂 =o.Z晨 若1工 有可能或以为o.故填充分不占 y2必要.点评 正确解决这类问题.要注意定理公式的使用条件.特别一些特殊情况及一些附加 条件.例题4已知.命题甲：lan(a + /O = O.命题乙：Ian a + lan外=0 .则命厩甲是曲迤乙的 条件.错解 由血(+”)=皿+加二得.命题甲是命题乙的充分必要条件.故填充分必要.剖析 因为公式tan(a + 0 = 叫成立

6、是有条件的.即 1 tan a tan k +.a + fi k +(k eZ).所以不是充分必要条件. 222正解 若a=解=,tan(a+4)=0 ,而 lana.lan尸不存在：若 lana + lan = 0.2则可得ian(a + G) = 0 .所以甲是乙的必要不充分条件.故填必要不充分.点评 解决这类问题.要特别注意挖掴公式成立的条件.绝对不能忽略公式成立的条 件.同时还要注意特殊化思想的应用.图解陷阱题解决数学问题时.常常以“形”助“数” ,由“数”思“形”,数形结合快捷解题.但 是这种数形结合的方法.往往因为作图的不规范或不精确或考虑不全面而产生错误的结 果.这就是图解陷阱遮

7、设计的所在.避免掉进陷阱的策略方法,就是利用数形结合解决问题 时要做到：对“数”考虑全面.对“形循洁精确.例题5直二面角a /-B的核/上有一点A.在平面 c、3 内各有一条射线AB. AC与/成 45：. ABua./ICu”， 则NBAC二.错解 由条件.知ABAC与/成45”.Mica.AC u p .如上笛所示,又由cos43/I(r=co*4cos4得 cos/8/1C = L 所以/BAC 60u.2剖析 本题根据条件画出的图只考虑了一种情况.而忽 留了另一种情况.如下图所示.正解 由条件.知ABAC与/成45. ABua./Ou/.有两种情况.分别如上图、下图所示.根据上图,由c

8、os/&4C=cos4于cos4下.博cos BAC = - -所以/BAC = 60：2又根据下图.由cosZS/CxosFcM以cos所以NBAO1201 2综上烟，/BAC=60或120.点评对本题应该仔细全面的思考根据条件准确的述出两肿图形,并按图求解.才 能跳出本题设计的馅体.例题 6 集合 A/=(x/)|y = Y + 2x+l.集合N = (x,y)|y = 2,则集合/ = A/nN中的元素个数 为.错解 在同一坐标系中作y = /+2x + l与y = T的图像.如右图所示，由右国观察可知,两函数图像有2个交点所以集合.4= A/CIN中的元 素个数为2故填2.剖析 本题用

9、数形结合的方法来解.确实是一个好主意.但是.由于仅仅作出了函数 局部的图形.从而导致了错误.游实上.两函数图像在56之间还有一个交点.正解 在同一坐标系中作y = /+2x + l与y = 2的悝像如下图所示,由下图观察可知.两函数图像有3个交点.所以集合力=A，/nN中的元盍个数为3.故填3.点评对于本题,由于两个集合的交集中的元素个数就是这两个方程构成的方程组的 解的不数.但这个方程组显然是无法解决的.因此借助数形结合的方法成为解决这个问题首 选.但是借助数形结合的方法解题常常会因为只考虑局部届形而忽略图形的整体性,而导致 不必要的错误，所以要注意细心观察.准确作图.4-多解陷阱题数学问题

10、经常出现多解的情况.售超时常常会因思考不周而忽略空节.从而导致解题 错误.这类问题.就是多解陷阱题.要跳出多解陷阱,就要仔细审题.全面思考,把握细节. 详细网答.例题7曲线C的方程为(1-左)/+(3公)，2=%左w).则曲线C为圆时.k二:曲线C为两直线时,k=.错解 曲为圆时行1-2=3一二.所以k=2或k = -l：曲线C为两TU戈时.有1 一左=0或3-2) =0所以k= 1或k = J3 .综上.得k=2或k = 1： k 1或卜=6剖析 本题错误的原因：曲线C为圆时.不仅要1-左=3一二.而且还要 l-jt03-Xr2 0 ；曲线C为两直线时，不仅要1 一左=0或3父=0,而且还要

11、 0,3 0.jE解 曲线C为圆时，有1-左=3-公且-公0 .所以k=-1 ：曲线C 为两直线时，有1一4=0或3-公=0,且1一%0.3公0.所以k= 1或k=-J5.综 上，得k=-1：卜=1或卜=一、回.点评本题要注意对问题的审题应该仔细.对问题的思考应该全面.只有这样才能避 免出现错误.在错解中.可以对所求k值,进行检验,通过检验可以检测结果的正确性.例题8已知凸n边形的各内角成等差数列.公差为5,且最小的内角为120，则n等错解 由等差数列的求和公式,得 (n-2)-18O=/7-12O +，?1.5o, 解之.得n=9或16.故填9或16.剖析事实上,当n=l6时.最大的内角为1

12、95.这与凸n边形的条件相矛盾. 正解由等差数列的求和公式,得5-2)180。=120。+ 若山.5解之，得n=9或16.检验：当n=9时.最大的内角为120,符合条件： 当n=16时.最大的内角为195.不符合条件.综上,可知n=9.故填9.点评本题中.对多解问题中的多解，要注意对其检验.检聆所求有无增解.5.特殊情况陷阱题有些数学问题的条件中隐藏着某些特殊情况,而这些特殊情况时而成立.时而不成 立,这就是特殊情况陷阱题.跳出情况的陷阱.要在解题时慎重审题.周密考虑.例题9 1 .现有1角、2角, 5角、1元 2元、5元、10元、50元人民币各一张, 100元人民币2张，从中至少取一张,共可

13、组成不同的币值种数是.2.掷两颗般子.则出现的点数之和为3的概率为.错解 因为共有人民币10张,每张人民币都有取和不取2种情况,减去全不取的1种情况,共有21 - I = 1023种.故填1023.剖析这里100元面值比较特殊有两张,在误解中被计算成4种情况,实际上只有不 取、取一张和取二张3种情况.正解 除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况, 100元人民币的取法有3种情 况,再减去全不取的1种情况，所以共有2。*3-1=1535种.故填1535.点评 本遨是排列组合问邃.求解时要特别注意一些特殊情况,一有硫漏就会出错.错解 掷两颗骰子出现的点数之和的可能值123. 4. 5. 6.

14、 7. 8. 9. 10. 11.12 .而点数之和为3的只包含其一,所以出现的点数之和为3的概率为11故填L it剖析 这里将点数之和为2这一特殊情况发生的可能性与其它的视为等可能的了.其 实2的发生只有一种情况即（11）,而其它的都各有二种.正解掷两题骰子可能出现的情况有：（b IX （1. 2）,.（6. 6）,即基本事件 总数为36种.而这些结果中，点数之和为3的结果只有（1. 2）. （2. 1）两种.所以出现的点数之和为3的概率为2=-L .36 18故咕点评 本踵是个古典型问题.求解时要特别注意在“等可能”的条件下运用公式 求解,要特别注意一些特殊的非等可能情况,不能因此而出错.

15、6.直觉陷阱题由于直觉在解题中起着举足轻重的作用,成为数学解邂中的不可或缺的.但是直觉也 是一把双刃箭.直觉思维中的错觉.对正确判厮解麴的方向.也起着不可估量的误导作用.直 觉陷阱题就是由此命制的.解题时,要对数学问题中的信息、形式等汰识清楚.这样才能避 免错觉的产生.例题10在ZV18C中，己知行 =（2.3）石 =（1,攵），且A48C的一个内角为直能求实数上的值.3%/13错解 因为 C4 = 90。,所以前，正，即衣衣=0.又而=元一通=（-1/一31所以-1 + H左-3）=0,解得左=剖析 凭直觉认为45c4是直角,而忽视对诸情况的讨论.正解 (1)若 4。= 90。.所以近1.而

16、即荏.从而2 + 34=0.解得2 =3，(2)若 ZBC4 = 90,所以 BCA.AC ,即 5C-1C = O ,又 前=力？一刀=(-1次一3),所以-1 + 上%-3)=0,解得 = 3/；(3)若 N48C = 90。，所以反.而,即 BC-AB = 0.又 BC = (-l.Zr-3),所以-2 + 3k-3)=0,解得左=；.综合上面讨论可知，儿=-2或左=生也或左=U.323点评 借助直觉解邈,也要全面审题.搞清问题的各个方面.例题11设P点是在以坐标轴为对称轴的椭制上，点P到两焦点的距离分别为.过P点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.则椭圆的方程为.错解设两焦点为G凡.且I

17、Pi=华产乙|=半.由椭圆的第一定义得2a=MI+|P|= 26a = y/5对忸叫.耳=90。,sinZP=-=- 1咫 I 2g = 30. 2c = 21 0片 | cos3002/5石/.62=a2-?=y .故椭圆的方程为3=1.51010=1.剖析 本题因椭圆的焦点位置未定.应该考虑两种情况,这里由于直觉犯了 “对而不 全”的错误.正解 当焦点在大轴上时.如上面求解.当焦点在y料上时.同理可得椭圆的方程为至+。10 5工 X* 3y 2 . - 3f故填+= 1 751010点评 对本题的思考要深刻要注重其解法.不能光凭感觉解题.7.归纳类比陷阱题在解决某些数学问题时，由于对特殊化

18、数学思想方法缺乏正确的理解,常常会犯“以 特殊代替一般不能警出完整无误的解答”的错误：有时由于对问题实质把握不住,仅仅依养 形式上的相似,而将其结论进行迁移.就造成了失误.例题 12 已知例 18 = 1. sin（2+）=3sin 求lai（0+。）.错解 由tan9 = l.可设。=2.代入sin(2e+M=3sin。,得cos0=3sin即 4tan 0 =5. TOC o 1-5 h z n -. . 1tan + tan1 + 一 tan（ +。） = tan（ + 4）=言=2 .1 - tan - tan1 一 剖析 上述解法犯了以特殊代替一般的错误，是不完整的错误解法.本题应注

19、意从tan = l解得0 =小江+ （左6二）.从而可把。代入sin（26+0） = 3sin。得解：另外.若 4注意到角的变化：20+。= （0+。） + 0,。= （+。）-0.则仍然可得解.正解 由 lan0 = l得0 = k万 + 石(k w 二).故sin(2+) = sin(C + 0) = cos。. 42 sin( 2。+。) = 3 sin。. tan . 3二 tan( + ) = taii(- + 4)=4TC .一 1tan + tan1 +4“T = 2.1 - tan - tan(/1点评解题中不能以特殊代替一般.否则就会形成解题的失误.8.分类陷阱题许多数学问鎏

20、的解决,常常要用分类讨论的思想方法，但在分类讨论时.会出现分类 的重合或遗漏而造成错误.这就是分类陷阱题.要跳出这类问通的陷阱,就要在分类讨论时 确定分类标准，并且要不重合也不遗漏的全方位进行讨论.例题13已知数列4满足/“ =5-4| + 2(丫).试探求q的值,使得数列qkN)成等差数列.错解递推式中含绝对值,按照常规去掉绝对值号的方法进行分类讨论：(1)当凡24时.由凡“=凡-4 + 2变形整理得=/-2.设等差数列的公差为d则4 = -2,所以数列4为单局递减数夕入有. 。2。3一.a-1 4 例 总存在自然N.当时.一定有? 4.这与& 24矛盾.所以勺24不成立.(2)当勺4时.由

21、r = 4一川+ 2变形整理得=6,表明数列%任意相邻两项的和为常数6.因为为等差数列,所以这个等差数列必为常数列.故q=34符合题意.所以q =3.综合(1)、(2)知当q =3时,才使数列4为等差数列.例析 解答过程不完善.分类讨论不周密.在解答中.4 24表示数列任意一项都恒不小于4： & 4表示数列的每一项都恒小于4漏掉数列有一部分项不小于4余下的项都小于4这种情况，而这种情况处理有难度.正解 设数列4是等差数列,公差为由1“用一.=-4：平方后两式相减 J - 2 = I1 - 4得.2-2)2 -(勺“-2)2 =(1 一4一 (% -4),即(限 + - - 软-+J =(4.1

22、 + 4 - 8)(a”.i - 4) ,(4+2 + % -4乂 = (an+l + a” -8乂，即(。会 一4 + 4 = 0,4 = 0 或 H = -2 (1)若 = (),则4 =q,.q-2 = |q-4|.解得q =3经检验,当q =3时.q=3(6N).数列d(、)是等差数列.(2)若4 = -2时.则a，“=a2,将其代入递推得4-4 = |q,-4|24.对一切wN都成立，另一方面,a/=q-2(- 1).4N4当且仅当4：-I时成立, 矛盾.4 = -2不符合题意.舍去.综上所述，q=3.点评 在运用分类思想解决问题时.要注意统一分类标准,并作到不贪不漏.9.充耍条件陷

23、阱题在解决一些数学问题时,若忽视或混淆条件的充分性、必要性和充要性.进行非等价转 化,就会出现解题的错误,这就是充要条件陷阴题.要避免充要条件的陷阱,一要准确掌握 数学的概念定理公式等.二要规范解题的过程.并要学会反思检验.例题14己知函数/(x) = axr+：,若-34/。)40. 34/(2)4 6.求/(3)的范围.0错解由条件.得-3Sa + b 0, 342a + g 46.X2一，得64aMi5.X2一.得+.得 103a+-43, 33 3即裂八3)4JJx剖析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的困数/(x) = or十,其 b值是同时受a和力制约的.当a取最大(小)值时.6不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的.也就是说./(3)取到最值并不是。和8同时取到最值的充要条件.f/(l) = a +瓦正解由跑意有八2)=%+ g. TOC o 1-5 h z 12解之得。=?2/(2) - /(1). Z)= 2/(l)-/(2)h JJ./(3) = 3a +