泛函分析度量空间知识和不动点的应用

1、I三泛函分析度量空间知识和不动点的应用第七章度量空间和赋范线性空间知识总结一、度量空间的例子定义：设X为一个集合，一个映射d： XXX-R。若对于任何x,y,z属于X,有(正定性)d(x,y )3 0,且 d(x,y)=0 当且仅当 x = y ；(对称性)d(x,y)=d(y,x )；(三角不等式)d(x,z )W d(x,y)+d(y,z )则称d为集合X的一个度量(或距离)。称偶对(X, d)为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C【a, b】空间、空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们

2、是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间：证明极限有二种方法：1、定义法：设X 是(X，d)中点列，如果存在xe X，是limd(x , x) =0，则称点列x nnnX T8是(X，d)中的收敛点列，x是点列xn的极限。2、M是闭集是充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中。即若xn e M，n=1、，2，x T x，则 x e M。给出n维欧氏空间、Ca,b序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例 子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n维欧氏空间Rn

3、是可分空间，坐标为有理数 的全体是Rn的可数稠密集，离散度量空间X可分的充要条件为X是可数集。18是不可分空间。三、连续映射证明度量空间的连续映射有四种方法： z一 1、定义法：设X= (X，d)，Y= (Y，d )是两个度量空间，T是X到Y中的映射，x e X，0如果对于任意给定的正数8，存在正数8 0，使对X中一切满足d (x，x0 ) Y 5的x，有d(TxTx0) Y ，则称T在x0连续。2、对Tx0的每个 -领域U，必有x0得某个5 邻域V使TVu U，其中TV表示V在映 射T作用下的像。3、定理1：设T是度量空间(X，d)到度量空间(Y，d )中的映射，那么T在x e X连0续的充

4、要条件为当X T X （ n T8 ）时，必有Tx T Tx （n T3）。n 0n04、定理2：度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原象T-1M是X中的开集。（注意：把定理中的开集改为闭集仍然成立）。四、柯西点列和完备度量空间定义：在度量空间的基础上度量空间（X，d）中每个柯西点列都在（X，d）中收敛的空间 叫做完备度量空间，根据定义得出n维欧氏空间Rn、况、Ca,b空间都是完备度量空间， 而有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，柯西点列=备条件土=收敛点列。度量空间证明完备度量空间有二种方法：1、定义法：度量空间（X，d）中每个柯西点列都在（X，d） 中收敛

5、。2、定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要 条件为M是X中的闭子空间。五、度量空间的完备化直线上有理数全体Q作为R1的子空间不是完备的度量空间，但是可以将Q扩大成完备的度量空间R1，即在Q中加入“无理数”，使之成为新的度量空间R1，并且Q在R1中稠密， 下面介绍每个不完备的度量空间都可以加以“扩大”，首先介绍等距同构和等距同构映射的 定义，但是在泛函分析中把两个等距同构的度量空间不加于区别而视为同一的，如何完备化 呢?接下来就介绍度量空间的完备化定理：设X=（X，d）是度量空间，那么一定存在一完 备度量空间X=（X，d），使X与X的某个稠密子空间W等距同构，并且X在等距同构意义下唯一

6、的，即若（X，d）也是一完备度量空间，且X与X的某个稠密子空间等距同构， 则（X，d）与（文，d）等距同构。等价于定理1”设x=（X，d）是度量空间，那么存在唯 一的完备空间X=（X，d），使X为X的稠密子空间。六、压缩映射原理以其应用关于存在唯一性的定理的证明，在完备度量空间中巴拿赫的压缩映射原理是一个很有力 的证明工具，先定义：设X=（X，d）是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个 数a，0 Y a Y 1，使得对所有的x，ye X，d（Tx，Ty） a d（x，y），则称T是压缩映 射，几何意义：点x和y经T的映射后，它们像的距离缩短了，那么T有且只有一个不动 点。是根据构造柯西点

7、列和有压缩映射定义可证明。压缩映射原理在分析、微分方程、积分 方程、代数方程解的存在和唯一性定理证明中起了重要作用，这里介绍隐函数存在定理以及 常微分方程解的存在性和唯一性定理，定理2 :设函数f（ x，y）在带状域 a x b，-8 Y y Y 8中处处连续，且处处有关于y的偏导数f（x，y）。如果还存在常数 ym和M，满足0 Y m f（x，y） M，m Y M，则方程f（x，y）=0在区间【a，b】上必y有唯一的连续函数y=（x）作为解：f（x，（x）=0，x e a, b 。这个证明是利用压缩映 射和微分中值定理。七、赋范线性空间和巴拿赫空间在泛函分析中，特别重要和有用的一类度量空间是

8、赋范线性空间，所以给出范数的定义， 而X按照范数赋Hxll成为赋范线性空间，在赋范线性空间中也给出极限的定义，而且得出 空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性。可以证明llxh是x的连续函数。完备的赋范线性空间叫做巴拿赫空间。根据定义可以得出欧氏空间Rn、空间18、空间C【a，b】、空间Lp【a，b】都是巴拿赫空间，而要证明Lp【a，b】是巴拿赫空间以前必须了解霍尔德(Holder )不等式和民科夫斯基(Minkowski)不等式，利用这两个不等式得证Lp【a，b】是巴拿赫空间。同理空间Lp也是完备的。如果是有限维赋范线性空间的性质，那么有什么性质？定理3：设X是n维赋范线性空间， e ,

9、e，,e 是X的一组基，则存在常数M和M， 12 n使得对一切X = Y e e成立，推论1：设在有限维线性空间上定义了两个范数II xl和ll，k k1k=1那么必存在常数M和M，使得M|x|llM |x|。推论2：任何有限维赋范空 间和同维数欧氏空间拓补同构，相同维数的有限维赋范空间彼此拓补同构。第八章有界线性算子和连续线性泛函知识总结一、有界线性算子和连续线性泛函根据线性算子和线性泛函的定义，分别给出相似算子、恒等算子、零算子、微分算子、 乘法算子和对应的线性泛函定义。根据算子和泛函的关系得出1、算子和有限维空间中的方阵相对应。2、泛函与有限维空间中的向量相对应。算子和泛函是映射，所 以

10、就有有界和无界的区别，定义2：设X和Y是赋范线性空间，T是X的线性子空间中(T)到Y中的线性算子，如果存在常数c，使对所有x e (T)，有|Tx|c|x|，则称T是俱T)到Y中的有界线性算子，当中(T)=X时，称T为X到Y中的有界线性算子，简称有界算子，否则称为无界算子。证明有界算子的方法：定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要 条件为T是X上的连续算子。证明连续泛函的方法：定理2设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间9( f )是X中的闭子空间。从定义2中可以看出对于x e9(T)成立的最小5引入定义3： T

11、为赋范线性空间X的子空间9 (T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称IT ITx有限，=sup 为算子T在9(T)上范数。若T是9(T)上有界线性算子，0 11 T 是 皿 xe9(T)反之，当TIIy 8时，由T是线性，则有TxTx, x E9,根据引理 设T是甲(T)上有界线性算子，那么 T = sup II Tx = sup II Txxe9 (T)xe9 (T) 讪=1IMM1二、有界线性算子空间和共轭空间有界线性算子全体所成空间P (X - Y)成为赋范线性空间，定理1：当Y是巴拿赫空间是P(X - Y)也是巴拿赫空间。或者当x。0时，P (X - Y)也是巴拿赫空间。如果f是 连续O

12、 M(f )闭集。(若f是有界线性算子，就不成立)。当X是完备时，P (X - X)X 为巴拿赫代数。如果X是赋范线性空间，令X表示X上连续线性泛函全体所成的空间，成 为X的共轴空间。由于定理可知，任何赋范线性空间的共轴空间是巴拿赫空间。引出两个 赋范线性空间同构的概念：设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y中的线性算子，并 且对所有x e X，有|Tx = x，则称T是X到Y中的保距算子，如果T又是映射到Y 上的，则称t是同构映射，此时称x与y同构。根据定义可得n的共轴空间是为l，即(ll) = l8 ； lp (1Y p Y 8)的共轴空间为 lq ，其中+ - = 1 p q(L)= L

13、(有界可测函数)；(Lp) = L(p A 2)- + - = 1； pq总结：度量空间包括赋范线性空间，而赋范线性空间包括有界线性算子和连续线 性泛函，一步一步具体化，一步一步详细，而有界线性算子和连续线性泛函有些 性质在赋范线性空间是不成立的。而赋范线性空间也有些性质在度量空间是不成 立，它们之间相互联系，又相互区别。应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。并对 隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。1应用不动点定理证明数列极限定理求数列极限的方法有多种，比较典型的有单调有界原理和迫敛法。若能熟练掌握不动点 原理，也能方便求出一些数列极

14、限。定理对于数列x ，若存在常数r : 0 r 1，使得一切n e N有 nXn+1 f 咛一，1则x 收敛。n若递推公式由一元可微函数xn = f (xn 1)给出，则可通过f的导数f来考察。若存在实数Y ，使得f(x)| If (x )- f (x )|= I广(x)| nn-1，不过，这时必须验证，x n是否保持在I f(x) Y成立的范围之内。这样我们就可以通过构造函数，得到一个压缩映射利用“不动点原理”很快求出极限值。例1：对于数列x设 x =1，x = *+2。求证:0n+1 x +1lim x =瑚2。n 口 n证明：由x0=1，x 工=1+上 1。n+1= x +1 x +1令

15、 f (x) =旦2,(了x +11)，则 Y 0，x =2(2 x*)，求 lim x。1n+12 + x nx nn解构造函数f (x) = 2(1 + x)，显然f (x)在(0, +8)连续可导，因x 0，2 + xn故当x 0时，f，(x) = (2(1+ x) )，= 2 02 + x(2 + x)2故x* 1 = f (x*)为压缩映射。由定理4知xj收敛。设lim = x*，又f连续，即有x*= f (x*) nT8从而2(1 + x *)得x* = v2，即lim x =为。nsn上例通过构造函数，得到一个压缩映射，利用“不动点原理”很快求出极限值。2应用不动点定理证明隐函数

16、定理 (隐函数定理)若满足以下条件：(1)函数F在P (x ,y )为内点的某一区域D =x,y)|x- x |r, |y- y |r R上连 00001102续； F(x0, y0) = 0 ；F在D内存在连续的偏导数F (x, y) ；yF (x0, y0)1 0。则在p的某领域U(*) I D内，方程F(x, y) = 0唯一地确定了一个定义在某闭区间上U (x0,a)内的函数y =j (x)，使得 j (x ) = y，当 xI U(x ,a)时，j (x)I U(y ,d)且 F(x,j (x) = 0 ； 0000(2)j (x)在U(x ,a)内连续。0证明：用X = CU(x0

17、,a表示所有定义在U(x0,a)上取值于R的连续函数全体。其中，a 0, f X定义映射T : f Tf，使得 f x)，则Tf I x。 f, g X，由微分中值x ? U(x0,a),(Tf)( x) f(x)- cF定理及Fy (x, y)的连续性得：r (Tf, Tg = maxxI U xa)f (x)- g (x)- c 臌F (x, f (x)- F (x,g(x) |Tf )-xmaxxI U (x ,a )maxxI U (x ,a )f (x)- g (x) - cF (x,q f (x) +(1- q ) g (x)(f (x)- g (x)IH- cF (x,qf (x

18、)+(1- q ) g (x) (f (x)- g (x) ? max 1 cF (x,qf (x)+(1-q ) g (x) ? max x挝/ (x,a)yx U (x,a)maxxI U (x ,a )f (x) g (x)max 1- cF xl U (x ,a )(x,q f (x)+(1- q ) g (x)y，有 F (x,q f (x)+(1 - q ) g (x) 2 c其中 0 q 1,又 F (x, y) 在 P (x , y )处连续，所以取 e =： c,$ d min a, r 当 y00022x - x a ,| y - y d 时1- c F q , J)+f

19、- qX () 2，g从而x (Tf,Tg)0；那么存在唯一的连续函数y =j (x)满足 M = F (x, y)且(x ) = y。 TOC o 1-5 h z dx00中 d 满足 Kd 1。 f, g X，用 r (f, g )= maxxi U (x ,a )同样由泛函分析的知识知X为完备度量空间。上述常微分方程等价于等价于积分方程证明：用X = C (U (x0,d)表示所有定义在U (x0,d)上取值于R的连续函数全体，其 f (x)-g(x)表示 f, g间的距离，y(x)= y+8f(t乂 dt，定义映射Tf =y &7(, tfdt由F的连续性知00 x0 x0Tf (x) - Tg (x)Tf i X， f, g Xr (Tf, Tg ) = maxxi U (x ,a )maxxl U (x ,d )x ()轾F (x, f (x)- F (x, g (x) dtx0? max Kxi U (x ,d ) x0? Kd maxxi U (x ,d )f(D g(t)f (t) g (t)dt=Kdr (f, g)因为Kd 1，故存在唯一的连续函数y =j (x), x U (x , d)，使得 0j(x)=y +&f ,jt()t，显然y =j(x)可微，所以 y =j(x),xU(x