高中数学圆锥曲线焦点弦斜率公式及应用专题辅导

1、8Bffilct。l为F对应的准线，如图1对曲线1：_|AF_| |AA| ,|BF| |BB|_-1 |AF|-|BF| _” |AF| |BF| 一e(|AA1|-|BB|)(_|BC|)二 e|AF| |BF|AB|ecosot(F为左焦点)、ecosot(F为右焦点)(1)2C所以 sec : =e 2，即 tan( -1)2(2)当 90b0) 或 双曲线 2 22 22 2.2八：b2x2 a2y2 =a2b2或抛物线 R : y2 =2px(p 0)的焦点弦，F 为焦点且 AF=?.FB, (A 在B之上)，则弦 AB所在直线斜率k满足k2(T)2 2-,、(1)2 e - 1(

2、 , . : 0,. .;二1)( -1)2证明：设AB的倾角为 (1)当 0口b 0）或双曲线 b2y2 _a2x2 = a2b2或 抛物线x2 =2py（p 0）的焦点弦，F为焦点，且AF =?：FB , （A在B之上）则弦AB所在 直线斜率k满足（1）2 二6?2 .（九/0,九#1）k （一 1）下面我们介绍公式（1） （2）的一些巧妙应用。一、由定比求方程例1. （2002年南昌高考模拟题） 已知椭圆C的焦点为Fi（-V3,0）,F2（J3,0） , Fi到相应准 线距离为 今,过吊且倾角为锐角的直线l与椭圆交于A、B,使|F2B|=3|F2A |。（1）求椭圆方程；（2）求直线l的

3、方程。- b2、3 一o o解：（1）设椭圆为 b2x2 +a2y2 =a2b2,=,c = v,3 ,所以 b2 =1,a2=4,所以椭c 32圆方程为、+y2=1。4-11.3o 3一 一（2） ?.=-,- = 2,e=一，代入（1）中得 k2 =4 一1 =2 ,因为 k A0,所以 k=42 ,3 -124AB 方程为 y =V2（X y/3） o二、算定比求参数例 2.已知椭圆 C 的方程为 b2x2+a2y2=a2b2,（ab:0）,双曲线 b2x2 a2y2 = a2b2 的 两条渐近线为11,12,过椭圆C的右焦点F作直线1,使l_Ll1，交点依次为A、B （如图3）, 求四

4、！的最大值及此时椭圆 C的离心率e。|PA|图3aba2 ab 斛：设 F (c, 0) , l 方程为 y = (x c),代入 l2 ： y =- x 中得 P:(一 ,),故 P bac c在椭圆准线上，设 止BJniBBLLJnXjfjBF7FAMAFn2FB，在(1)中以二代 |PA| |AA1| |AF|入可化为k22(1)2 a、2=1% e -1=(),所以( -1)2b(1)2(-1)2222、a (a b )、几 b、2-1 2/ 2，设 t=L) U(0,1),且b (a -b )a1 tt(1 -t)0化简为 f(t) =ut2 +(1u)t +1=0,因为 f(0)0

5、,f(1)0,故 f(t) = 0 有根t w （0,1）的充要条件为r 、2. 一 =(1 -u) -4u 0,；1 -u0 122 -3 2,2=u _3 2.2，由(.(一 1)得,2 -12 1所以u =3+242时, max解：设l在y轴上截距为t,则k =t ,2以1代(1)中九，k2 = 1), e2 _1 ,即 ( -1)22，心年一1,又因为8工0弓且所以5 A11 E勺，即4-13_225 .( 1)16 ( -1)2噜所以祥2 Y。2u占3+2量或u 11 - u -=J2 +1 ,此时 t =J2 1,而e = VT=j242 。2u三、由定比求参数 TOC o 1-5

6、 h z 22X V例3.设双曲线。：下4=1（a A0,b0）的右焦点为F,过F作倾角为一的直线l与双 a2b23曲线交于M、N两点，若|MF|=5|NF|,求双曲线离心率 e。解：1）当儿=5时，由（1）,2 （ 1）2 236 2 “曰4k =e e - 1艮 口3 =e - 1寸 e=一。（一1）216311、2）当M、N位于不同支上，则 M应在N之下且NF = FM ,取九=一 代入（1）5516 2中得3 =e -1 ,解得e =3。36故所求双曲线离心率为 4或3。 3例4. （2004年全国高考题）给定抛物线C: y2 =4x , F是C的焦点，过点 F的直线l与C相交于A、B两点，设FB = zAF ,若九W4,9,求l在y轴上截距的变化范围。解得 一4 wt 一3或a Mt 0 ,此时AB的方程是y 1 =勺1 x即 2.( -1)x -2, y 2. =0设M点坐标为(x1 ,y1), xx - 2y - 2y1 0重合，所以其对应的切点弦方程为士1 = -2 = 2G ,解得X12-2y1x1-1 -1-2.k MF =,所以 k MF -11一一所以FM AB =0为定值。k2 -4y =0(2)由. 一1 二.、，,x2y.1=2, xk AB =一1。-2(九1)x46=0。所以 |AB|=yA