非线性规划多目标规划课件

1、非线性规划多目标规划非线性规划多目标规划非线性规划多目标规划 由于非线性规划问题在计算上常是困难的，理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论. 这点又限制了非线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线性规划.第1页，共55页。 由于非线性规划问题在计算上常是困难的，理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论. 这点又限制了非线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误

2、差较大时，则考虑用非线性规划.第2页，共55页。 问题1 抽水费用最小问题 某地区有3个泵站: 第 个泵站的抽水费用为 其中 为抽水流量. 泵站与各灌溉地块用渠道连接. 在一个灌溉周期中, 地块 需流量 立方米/小时. 泵站 的最大抽水能力为 由于渗透和蒸发,从 泵站到 地块的水量要打一折扣, 即乘上系数 称为水的实用系数. 问应如何确定每一泵站的输水量, 才能使总的抽水费用为最小? 试建立相应的数学模型.第3页，共55页。 设从泵站 到地块 的输水量为 分析 问题的关键是确立决策变量和目标函数.第4页，共55页。注: 在上面的问题中, 输水费用函数 一般不是的线性函数. 因而相应的规划不是线

3、性规划.第5页，共55页。 问题2 砂石运输问题 设有 立方米的砂石,要由甲地运到乙地, 运输前需先装入一个有底无盖并在底部装有滑行器的木箱中. 砂石运到乙地后, 从箱中倒出,在继续用空箱装运. 不论箱子大小, 每装运一箱, 需0.1元, 箱底和两端的材料费为20元/米2, 箱子两侧的材料费为5元/米2, 箱底的两个滑行器与箱子同长, 材料费为2.5元/米. 问木箱的长宽高各为多少米,才能使运费与箱子的成本费的总和为最小.第6页，共55页。 建模 设木箱的长宽高分别为 运费与成本费的总和为 则目标函数为第7页，共55页。 若在上述问题中, 箱子的底与两侧使用废料来做, 而废料只有4平方米, 则

4、问题为:第8页，共55页。在上面问题中, 目标函数与约束条件中的每一项可表达成 的形式（其中的 为整数） , 数学上将其成为广义多项式, 相应的规划称为几何规划.当系数为正数时, 规划称为正项几何规划.第9页，共55页。非线性规划问题的标准形式为：第10页，共55页。非线性规划模型按约束条件可分为以下三类： 无约束非线性规划模型： 等式约束非线性规划模型：第11页，共55页。 不等式约束非线性规划模型：针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基本思路可归纳如下： 第12页，共55页。 1) 无约束的非线性规划问题 无约束非线性规划一般可写成其中 解法 1.求 的梯度 2.令梯度 解出 的驻点3

5、.验证 在该点的Hessian矩阵是否为正（负）定的, 若成立, 则该点为函数的极小（大）值点.第13页，共55页。例7 求函数 的极小点.解 的梯度为令 则驻点为 函数的Hessian阵为注意到该矩阵为正定阵, 因而该点为极小值点.第14页，共55页。 注意到此方法只有对一些特殊的函数才有效. 一般情况下, 要求出函数的驻点是比较困难的. 下面我们简单介绍求解该类问题的数值解法.1.给出 的极小点 的一个初始估计值 称为初始点;2.如果 已求得, 并且不是极小点, 设法选取一个方向 （该方向称为搜索方向）, 使目标函数 沿该方向是下降的（一般取梯度方向）;第15页，共55页。3.在射线 取适

6、当的步长, 记 由此确定点 其中的 一般取使得上式取到极小值的值.4.检验 是否为函数 的极小值, 或者满足精度的要求, 若不是, 再回到第二步.第16页，共55页。2) 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为无约束问题求解.3) 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为等式约束，再将约束问题化为无约束问题，用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规划问题. 下面介绍一个简单的非线性规划问题的例子，其中的一些约束条件是等式，这类非线性规划问题可用拉格朗日方法求解.第17页，共55页。 例8（石油最优储存方法）有一石油运

7、输公司，为了减少开支，希望作了节省石油的存储空间.但要求存储的石油能满足客户的要求.为简化问题，假设只经营两种油，各种符号表示的意义如表4所示.其中供给率指石油公司供给客户的速度.第18页，共55页。表4 各种符号表示意义表第i种油的存储量第i种油的价格第i种油的供给率第i种油的每单位的存储费用第i种油的每单位的存储空间总存储公式第19页，共55页。由历史数据得到的经验公式为 :且提供数据如表5所示：第20页，共55页。表5 数据表已知总存储空间第21页，共55页。代入数据后得到的模型为：模型求解：拉格朗日函数的形式为： 第22页，共55页。即:对 求各个变量的偏导数，并令它们等于零，得: 第

8、23页，共55页。解这个线性方程组得：从而可得最小值是 . 第24页，共55页。 非线性规划解法例9 求解非线性规划第25页，共55页。解1 图解法第26页，共55页。解2 用Lingo软件求解min=(x1-1.5)2+x22;x12+x22=1; Local optimal solution found. Objective value: 0.2500004 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 25 Variable Value Reduced Cost X1 0.9999996 0.000000 X2 0.000000 0.

9、000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2500004 -1.000000 2 0.8162711E-06 0.5000006 3 0.9999992 0.000000第27页，共55页。6、多目标规划模型 在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高. 这一类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题. 我们先来看一个生产计划的例子.第28页，共55页。第29页，共55页。第30页，共55页。第31页，共55页。第32页，共55页。第33页，共55页。第34页，共55页。第35页

10、，共55页。第36页，共55页。第37页，共55页。第38页，共55页。第39页，共55页。第40页，共55页。第41页，共55页。第42页，共55页。第43页，共55页。我们希望购买DVD的总数量最小，即 :由此，可以得到问题三的双目标整数线性规划模型如下： 第44页，共55页。第45页，共55页。第46页，共55页。第47页，共55页。第48页，共55页。表6 当 时最小购买量的 值DVD编号D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10最少购买量14211724121719212214DVD编号D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20最少购买量18181

11、717172418161823DVD编号D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30最少购买量20182214181715121624DVD编号D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40最少购买量19222019222213171717DVD编号D41D42D43D44D45D46D47D48D49D50最少购买量32201621221620152020第49页，共55页。续上表DVD编号D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60最少购买量24171917191819172021DVD编号D61D62D63D64D65D66D67D68D69

12、D70最少购买量16191920171917212019DVD编号D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80最少购买量21221520151412171917DVD编号D81D82D83D84D85D86D87D88D89D90最少购买量18101412211322151317DVD编号D91D92D93D94D95D96D97D98D99D100最少购买量24171514251522201122第50页，共55页。 我们利用规划模型求得每种DVD的购买量后，需要对其进行可行性校验，测试此结果是否可以满足一个月内比例为95%的会员得到他想看的DVD，且具有尽可能大的总体满意度

13、.第51页，共55页。校验方法： （一）根据订单和求得的DVD购买数量，利用问题二的规划模型进行第一次分配，对分配情况：租赁的会员，DVD的分配情况，剩余的各种DVD数量作记录；同时将已租赁的会员在满意指数矩阵的指数全变为0，即不考虑对其进行第二次分配. （二）随机从第一次得到DVD的会员中抽取60%，将这部分人所还回的DVD与第一次分配余下的DVD合在一起，作为第二次分配时各种DVD的现有量.然后，利用问题二的0-1线性规划模型对第一次未分配到DVD的会员进行第二次分配；第52页，共55页。 （三）统计出经过两次分配后，得到DVD的会员的比例，若大于95%，则此次分配成功.利用这种算法进行多次随机模拟，若大多