融合高等数学与初等数学竞赛思想促进中学数学教学的研究

1、融合高等数学与初等数学竞赛思想促进中学数学教学的研究摘要：高等数学思想与初等数擘竞赛思想分别体现了高等数学和初等数学竞赛的数 学本质。将两者融合应用于中学数学的教学中，有利于教师在高观点下指导完善数学教学模式和策略从而提高教学质量，有利于教师教学观念的转变从而在融合应用中提升自身数学专业素养。对学生而言，高阶思维的指导有利于数学思维的发展、数学学习热情的高涨、个性品质与能力的提升。本文探究了高等数学思想和初等竞赛数学思想的契合之处，析出融合的数学思想，并通过教学实践提出教学建议。关键词 数学思想 高等数学 初等数学竞赛 中学数学教学 教师素养0 引言长期以来，中国选手在国际上的数学竞赛中的实力

2、有目共睹。但在第 11 届罗马尼亚数学大师赛（RMM中，中国队却无一人夺得金牌，然而在获得金牌的选手中不乏华裔选手的身影，这一现象不禁引起我们对当前数学教育的思考。新课改的深入对师生数学思维能力和数学素养提出了更高要求，但毕业升入大学后，却发现这批大学生的数学素养普遍不高，数学专业的学生在专业课的学习上略显吃力，中学时的数学感性思维已达不到高等数学的理性分析要求。因此，在高观点下指导中学数学的教学以发散学生思维并提升师生的数学素养是有必要的。高等数学思想与初等竞赛数学思想的融合数学思想不仅仅是解决数学问题的方法，也不仅仅是展现数学内在价值和意义的载体，更是一种思维模式，是思考的过程。数学思想的

3、渗透是潜移默化的，只要掌握了数学思想，即使忘记了在数学课堂上老师教授的相关问题的具体情境和解题步骤，也不会阻碍我们思考解决实际问题的方法。数学思想本无明显的分界，因数学内容的深度、广度、难度可以包罗万象，为了使思想方法能为各个阶段的人的思维能力所接受，将其进行细致划分为各个阶段的数学。因此，各个阶段的数学思想的融合能展示出最完整的数学本质。高等数学思想和初等数学竞赛思想同为初等数学思想的进阶，初等数学竞赛思想介于高等数学思想和初等数学思想之间，能更好的为中学生思维的培养、知识的拓展、视野的拓宽而服务。高等数学的部分内容貌似深奥，实则可用初等数学来解决。初等数学竞赛多是以高等数学为背景，用初等数

4、学解法来解决，很少用到高等数学中的高深的理论，却可以借鉴高等数学的解题思维和思考方式。在目前的高中数学教材中，许多知识内容已经达到了竞赛甚至高等数学的水平，只是在内容呈现上更加简明，要求掌握的程度相对偏低。但不可否认的是，高等数学“初等化”、数学竞赛普及化已逐渐在渗透。例如，柯西不等式作为高等数学中的重要成果，早期只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中课程标准选修系列不等式选讲教材中加入了柯西不等式。利用不同方法证明柯西不等式的过程、简单应用柯西不等式的过程便是高等数学思想的最好体现。例如2017 年高考浙江卷第15 题：已知向量，满足，求的最小值和最大值。此题可借助最值函数与绝对值不等

5、式的性质，再利用柯西不等式求解，方法简单且不易出现计算错误。可见，高等数学以及初等数学竞赛的思想、内容正逐步渗透到中学数学中。以高等数学思想、数学竞赛思想指导中学数学的教与学，在一定程度上增强了师生的自信心，同时还能发现与创造新的思想方法，逐步提升创新意识。在应用融合思想的过程中，还能拓宽学生的思维，从而找到更有效的解决问题的途径，提升数学素养。学习融合的数学思想，有利于学生主动学习数学知识，形成知识体系，更准确把握知识的本质和精髓，从而更容易掌握知识。在各类创新情境中，发现数学取之生活，用于生活，发现数学之美，从而激发学生研究数学的热情和兴趣。而教师在学习过高等数学理论知识的基础上，对中学数

6、学的知识、内容、思想、方法等将有更深刻的认识，教学起来便也得心应手，能够引导学生探索数学之奥秘，感受数学之美，学生兴趣浓厚了，教师的自豪感和成就感也就增加了，工作热情自然便能提高了。在挖掘高等数学和初等数学竞赛中所蕴含的数学思想方法时，教师势必转变已有的传统的教学观念，对教学方法进行积极学习和研究，通过教学实践提升自身数学教学素养。本文把高等数学思想与初等竞赛数学思想的融合之处简称为融合的数学思想。将融合的数学思想应用于中学数学教学中，需要教师拥有良好的专业素养，需要教师对数学思想有深刻的把握和理解，对数学知识透彻掌握并能灵活运用，才能将思想转化为教学能量输送给学生。因此这样一个探索教学的过程

7、，也是教师数学素养提升的过程。而对于学生而言，对数学思想的消化吸收不仅利于灵活解题，也是对思维的创新训练。融合的数学思想在中学教学中的应用。 1 联想的思想联想的思想在高等数学和初等数学竞赛中经常用到。关于联想的数学思维在波利亚的怎样解题一书中有很好的体现。在波利亚的解题表中，第二步便是通过联想的手段来制订方案。联想可以是未知与已知的联想，特殊与一般的联想，数与形的联想等等。联想是一种思维活动，也是一种心理活动，是求解数学问题的重要思维途径。1：已知数列满足：分析：此题为 2017 年高考浙江卷第 22 题第（2）小题。按照因果联想，分析题目的条件与问题，乍一看很难建立起联系，并且由题设也不容

8、易作出变形和转化，不妨由问题入手。利用联想的思想方法，要证明不等式成立，只要证明，即证。再将题设中的条件代入不等式，便只须证：此时，问题转化为“求证关于的函数的最小值大于或等于0”的问题。再利用导数求解最值即可得证。 2 数学抽象思想在中学阶段，数学抽象思想多体现于概念教学，数与形的教学，数量关系之中。概念教学比如函数的概念、集合的概念、复数的概念、导数的概念等，这些数学概念都是抽象的。而函数往往要结合图象来理解或分析，这就将函数抽象成数学图象这一直观语言来研究。在实际问题情境中，往往存在许多数量关系，要通过字母、数字建立方程、不等式模型，从而将实际问题抽象成数学问题。因此，在教学中渗透数学抽

9、象思想时，首先要从具体问题出发，由具体的形式抽象出数学的概念、定理等，比如通过对实际问题的分析抽象出函数的概念。其次，在教学中要注意将抽象问题具体化、复杂问题简单化，将抽象与形象相结合，比如将函数的单调性、周期性与图象相结合。再次，注重培养学生的观察分析能力以及归纳类比能力，这样才能通过大量实验或类比发现规律、特征，从而抽象出数学内容，比如观察图形数量变化规律找到图形数量与序数之间的关系，实际上是将数量规律抽象成数列这一数学语言。最后，将抽象思想与数形结合、化归与转化等数学思想相结合，共同促进教学。初中阶段，学生往往对抽象的概念茫然不知所措，总是用死记硬背的方式记住概念，比如函数，大多数学生甚

10、至说不出函数是什么。函数的概念是浙教版八年级上册数学教材的第五章内容，明确指出了函数的概念。函数的概念是抽象的，在教学中应与具体的实例联系起来，使学生逐步养成用辩证思维来理解抽象的概念。初中生对函数这一抽象概念的理解是需要时间沉淀和经验积累的。在函数概念的教学中，应将重点放在概念形成的过程上，原因在于，函数的本质是对应关系。学生通过实例总结归纳出各个变量之间的对应关系正是把握函数实质的过程，是数学思想形成的过程。于教师而言，只有经历了高等数学和初等数学竞赛的洗礼，才能看透初等数学中这些概念的本质，才能引领学生少走弯路。数学抽象思想的形成是由感性到理性的深入过程，是不断内化感悟的产物，不可能一蹴

11、而就，而是在长期的积累沉淀中实现的。在教学中，教师应当遵循循序渐进的原则，设计好教学活动，深化抽象思想。 3 极限思想极限思想指的是用极限的定义或概念来分析问题、解决问题的一种数学思想。法国数学家柯西提出利用极限定义微积分，用和的极限来表示定积分。数学中的另一分支级数理论也以极限思想为基本工具研究函数。极限思想在大学数学中有着举足轻重的地位，在数学分析教材中以数列极限、函数极限两个章节来介绍极限的定义，并以微积分、级数章节来应用极限思想。而在数学竞赛中，极限思想也有广泛的应用。极限思想在小学阶段便有渗透，比如在人教版小学六年级教材中，求解0.9 。此阶段的小学生便对极限思想有了一定的体会，即“

12、无穷”、“无限接近”的体会。又如圆的概念教学中，将圆分割成正多边形，当边数无穷多时，便近似为圆。中学阶段利用极限思想解决问题的应用较为普遍，比如在研究圆锥曲线时，离不开对渐近线的研究。学生普遍通过记公式掌握了渐近线的求法，却很少有学生能准确说出渐近线的含义。在高等数学中，一般地，曲线的渐近线是这样定义的：若曲线上一动点沿着曲线无限远离原点时，该点与某一直线的距离无限趋于0，则该直线即为曲线的渐近线。在人教A 版高中数学选修2-1教材中，介绍双曲线的几何性质时首次提及渐近线，并在教材中指导教师利用信息技术演示双曲线各支向外延伸时与两条直线逐渐接近的过程，从而定义双曲线的渐近线，指出双曲线与渐近线

13、无限接近，但永不相交。学生认识渐近线的过程实则是渗透极限思想的过程，然而，笔者调查发现，众多教师为了赶超教学进度，在平时教学中只一句话带过，指出渐近线就是与双曲线无限接近但不相交的直线，并给出求解公式。因此，学生很难把握渐近线的本质含义，错过了渗透极限思想的机会。结束语高等数学思想与初等数学竞赛思想的融合并不是难以企及的。在中学教学中，结合数学知识、内容，结合数学实际情景，通过有效的教学手段能够将融合的数学思想有效应用和渗透于课堂中，并能促进学生思维的发散。融合的思想是高观点下的思维方式和思考过程，包括但不仅限于联想的思想、数学抽象思想、极限思想、模型思想。时代在进步，数学思想的应用也更加广泛，大数据时代更离不开数学这一基本工具，而中学阶段的解题数学思想已经不足以指导和推进思维的发散。因此，将融合的数学思想融入中学的教学，才能使师生开拓思维境界，为社会的发展提前奠定思想的基础，亦是跟随发展的大流。基金项目：广西民族大学 2018 年研究生教育创新计划项目（编号： gxun- chxzs2018047 ）。作者简介：姜莹莹（ 1993.12 ），女，浙江衢州人，广西民族大学理学院学科教学（数学）专业硕士生，研究方向：中学数学教育。参考文献蔡小雄 . 更高更妙的高中数学思想与方法M. 杭州：浙江大学出版社， 2018 ：