《空间向量》专题3 非坐标运算 学案（Word版含答案）

1、空间向量专题3-1 非坐标运算（4套，4页，含答案）知识点：非坐标运算：（1）加减与数乘运算： 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 ；（2）运算律： 加法交换律：； 加法结合律：； 数乘分配律：；用行路法分解向量，会比较简单，容易理解。 具体操作方法：假设自己行路，绕路行，如果行路方向与向量方向一致，则向量为正，否则为负；把行路经过的向量相加即为该向量分解的结果。（4）向量的数量积： 已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度（5）空间向量数量积的性质： （1）（2）（3）（6）空间向量数

2、量积运算律： （1） （2）（交换律）（3）（分配律） 典型例题：在空间四边形OABC中， eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CB,sup6()等于( 答案：C；解析：eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CB,sup6()Oeq o(B,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6().)Aeq o(OA,sup6() Beq o(AB,sup6() C eq o(OC,sup6() Deq o(AC,sup6()如图所示，已知平行六面体OABCOABC，e

3、q o(OA,sup6()a，eq o(OC,sup6()c，eq o(OO,sup6()b，D是四边形OABC的中心，则( 答案：D；解析：eq o(OD,sup6()eq o(OO,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(OO,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()eq o(OO,sup6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq f(1,2)abeq f(1,2)c.)A.eq o(OD,sup6()abc B.eq o(OD,sup6()beq f(1,2)aeq f(1,2)c C.eq o(OD,sup6()e

4、q f(1,2)abeq f(1,2)c D.eq o(OD,sup6()eq f(1,2)abeq f(1,2)c如图所示，已知正三棱锥ABCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，DC上的点，且AEEBAFFDCGGD12，求下列向量的数量积：(1)Aeq o(D,sup6()Deq o(B,sup6()；(2)Aeq o(D,sup6()Beq o(C,sup6()；(3)Geq o(F,sup6()Aeq o(C,sup6()；(4)Eeq o(F,sup6()Beq o(C,sup6(). 答案：eq f(1,2)a2，0，eq f(2,3)a2，eq f(1,6)a2

5、；解析：(1)|Aeq o(D,sup6()|a，|eq o(BD,sup6()|a，Aeq o(D,sup6()，Deq o(B,sup6()120，所以Aeq o(D,sup6()Deq o(B,sup6()|eq o(AD,sup6()|Deq o(B,sup6()|cos 120eq f(1,2)a2.(2)因为Beq o(C,sup6()Aeq o(C,sup6()Aeq o(B,sup6()，所以Aeq o(D,sup6()Beq o(C,sup6()Aeq o(D,sup6()(Aeq o(C,sup6()Aeq o(B,sup6()Aeq o(D,sup6()Aeq o(C,s

6、up6()Aeq o(D,sup6()Aeq o(B,sup6()，又因为|Aeq o(D,sup6()|a，|eq o(BC,sup6()|a，Aeq o(D,sup6()，Aeq o(C,sup6()Aeq o(D,sup6()，Aeq o(B,sup6()60，所以Aeq o(D,sup6()Beq o(C,sup6()eq f(1,2)a2eq f(1,2)a20.(3)因为点F，G是AD，DC上的点，所以Geq o(F,sup6()eq f(2,3)eq o(CA,sup6()eq f(2,3)Aeq o(C,sup6()，所以Geq o(F,sup6()Aeq o(C,sup6()

7、eq f(2,3)eq o(AC2,sup6()，因为eq o(AC2,sup6()a2，所以Geq o(F,sup6()Aeq o(C,sup6()eq f(2,3)a2.(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以Eeq o(F,sup6()eq f(1,3)Beq o(D,sup6()，所以Eeq o(F,sup6()Beq o(C,sup6()eq f(1,3)Beq o(D,sup6()Beq o(C,sup6()，结合图形可知Beq o(D,sup6()，Beq o(C,sup6()60，所以Eeq o(F,sup6()Beq o(C,sup6()eq f(1,3)Beq o(D

8、,sup6()Beq o(C,sup6()eq f(1,3)aacos 60eq f(1,6)a2. 随堂练习：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量eq o(AC1,sup6()的是( 答案：D；解析：(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(AC1,sup6()；(eq o(AA1,sup6()eq o(A1D1,sup6()eq o(D1C1,sup6()eq o(AD1,sup6()eq o(D1C1,sup6()eq o(AC1,sup6(

9、)；(eq o(AB,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(B1C1,sup6()eq o(AB1,sup6()eq o(B1C1,sup6()eq o(AC1,sup6()；(eq o(AA1,sup6()eq o(A1B1,sup6()eq o(B1C1,sup6()eq o(AB1,sup6()eq o(B1C1,sup6()eq o(AC1,sup6().)(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CC1,sup6()； (eq o(AA1,sup6()eq o(A1D1,sup6()eq o(D1C1,sup6()； (eq o(AB,sup6

10、()eq o(BB1,sup6()eq o(B1C1,sup6()； (eq o(AA1,sup6()eq o(A1B1,sup6()eq o(B1C1,sup6().A B C D在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若eq o(PA,sup6()a，eq o(PB,sup6()b，eq o(PC,sup6()c.试用a，b，c表示向量eq o(BE,sup6(). 答案：eq f(1,2)aeq f(3,2)beq f(1,2)c；解析：eq o(BE,sup6()eq f(1,2)(eq o(BD,sup6()eq o(BP,sup6()eq f(1,2)(eq o(

11、BA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BP,sup6()eq f(1,2)(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq f(1,2)eq o(PA,sup6()eq f(3,2)eq o(PB,sup6()eq f(1,2)eq o(PC,sup6()eq f(1,2)aeq f(3,2)beq f(1,2)c. 在空间四边形ABCD中，Aeq o(B,sup6()Ceq o(D,sup6()Beq o(C,sup6()Aeq o(D,sup6()Ceq o(A,sup6()

12、Beq o(D,sup6()_ 答案：0；解析：设Aeq o(B,sup6()b，Aeq o(C,sup6()c，Aeq o(D,sup6()d，则Ceq o(D,sup6()dc，Beq o(D,sup6()db，eq o(BC,sup6()cb.原式0._. 空间向量专题3-2 非坐标运算在平行六面休ABCDABCD中，若eq o(AC,sup6()xeq o(AB,sup6()2yeq o(BC,sup6()3zeq o(CC,sup6()，则xyz等于( 答案：B；解析：如图， eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CC,sup6

13、()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CC,sup6()，所以x1，2y1，3z1，所以x1，yeq f(1,2)，zeq f(1,3)，因此xyz1eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(7,6).) A1 B.eq f(7,6) C.eq f(5,6) D.eq f(2,3)如图，空间四边形OABC中，点M、N分别OA、BC上，OM=2MA，BN=CN，则MN=（ 答案：B； ）A12OA23OB+12OC B23OA+12OB+12OCC12OA+12OB12OC QUOTE 12+1212 D23OA+23OB12OC如图，平行六面体ABCDA1B

14、1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为( 答案：D；解析：eq o(AC1,sup6()Aeq o(B,sup6()Aeq o(D,sup6()eq o(AA1,sup6()，|eq o(AC1,sup6()|eq avs4al(r(o(sup7(),sdo5(Ao(B,sup6()Ao(D,sup6()o(AA1,sup6()2)eq avs4al(r(o(sup7(),sdo5(Ao(B,sup6()2Ao(D,sup6()2o(AA1,sup6()22Ao(B,sup6()Ao(D,sup6()Ao(B,sup6()o(AA1,sup6(

15、)Ao(D,sup6()o(AA1,sup6()AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，Aeq o(B,sup6()，Aeq o(D,sup6()90，Aeq o(B,sup6()，eq o(AA1,sup6()Aeq o(D,sup6()，eq o(AA1,sup6()60.|Aeq o(C,sup6()|eq r(149213cos 6023cos 60)eq r(23).) A.eq r(13) B.eq r(43) C.eq r(33) D.eq r(23) 空间向量专题3-3 非坐标运算如图所示，在平行六面体A1B1C1D1ABCD中，M是AC与BD的交点，若eq

16、 o(A1B1,sup6()a，eq o(A1D1,sup6()b，eq o(A1A,sup6()c，则下列向量中与eq o(B1M,sup6() 相等的向量是( 答案：A；解析：eq o(B1M,sup6()eq o(B1B,sup6()eq o(BM,sup6()eq o(BB1,sup6()eq f(1,2)(eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()ceq f(1,2)(ab)eq f(1,2)aeq f(1,2)bc.)Aeq f(1,2)aeq f(1,2)bc B.eq f(1,2)aeq f(1,2)bc C.eq f(1,2)aeq f(1,2)bc Deq f

17、(1,2)aeq f(1,2)bc如图所示，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设Oeq o(A,sup6()a，Oeq o(C,sup6()b，Oeq o(P,sup6()c，E、F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：Beq o(F,sup6()、Beq o(E,sup6()、Aeq o(E,sup6()、Eeq o(F,sup6(). 答案：Beq o(F,sup6()eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c，Beq o(E,sup6()aeq f(1,2)beq f(1,2)c，Aeq o(E,sup6()aeq f(1,2)beq f(1,2)

18、c，Eeq o(F,sup6()eq f(1,2)a；解析：连结BO，则Beq o(F,sup6()eq f(1,2)Beq o(P,sup6()eq f(1,2)(Beq o(O,sup6()Oeq o(P,sup6()eq f(1,2)(cba)eq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)c.Beq o(E,sup6()Beq o(C,sup6()Ceq o(E,sup6()aeq f(1,2)Ceq o(P,sup6()aeq f(1,2)(Ceq o(O,sup6()Oeq o(P,sup6()aeq f(1,2)beq f(1,2)c.Aeq o(E,sup6()Aeq

19、 o(P,sup6()Peq o(E,sup6()Aeq o(O,sup6()Oeq o(P,sup6()eq f(1,2)(Peq o(O,sup6()Oeq o(C,sup6()aceq f(1,2)(cb)aeq f(1,2)beq f(1,2)c.Eeq o(F,sup6()eq f(1,2)Ceq o(B,sup6()eq f(1,2)Oeq o(A,sup6()eq f(1,2)a.在直三棱柱ABCA1B1C1中，若eq o(CA,sup6()a，eq o(CB,sup6()b，eq o(CC1,sup6()c，则eq o(A1B,sup6()_ 答案：abc；解析：eq o(A1

20、B,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(CA1,sup6()eq o(CB,sup6()(eq o(CA,sup6()eq o(CC1,sup6()abc._.(用a，b，c表示) 空间向量专题3-4 非坐标运算已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M、N分别为BC、PD的中点，求满足Meq o(N,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()zeq o(AP,sup6()的实数x，y，z的值 答案：x1，y0，zeq f(1,2)；解析：eq o(MN,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(DN,sup6(

21、)eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(DP,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(AP,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AP,sup6()，x1，y0，zeq f(1,2).如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体(1)化简eq f(1,2)eq o(AA1,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()，并在图上标出结果；(2)设M是底面

22、ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的eq f(3,4)分点，设eq o(MN,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6()，试求、的值 答案：作图略，eq f(1,2)，eq f(1,4)，eq f(3,4)；解析：(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F2FC1，则eq o(EF,sup6()eq f(1,2)eq o(AA1,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6().(2)eq o(MN,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BN,sup6()eq f(1,2)eq o(DB,sup6()eq f(3,4)eq o(BC1,sup6()eq f(1,2)(eq o(DA,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3,4)(eq o(BC,sup6()eq o(CC1,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AD,sup6()eq f(3,4)eq o(AA1,sup6().eq f(1,2)，eq f(1,4)，eq f(3,4).在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|2|AM|，|CN|eq f(1,2)|ND|，求|MN|