食品加工模型建设与过程优化

1、专题6数学模型的建立为了实现对一个食品加工过程的模拟和操作、设计、控制的最优化首先必须用定量的方式即用数学式来表达系统的构造以及系统中各单元的输入和输出间的关系、即建立过程的数学模型（卜称模型）。本章主要讲述模型建立的有关问题，包括自由度分析及设计变量的选择等。第1节 食品加工过程的基本概念一、食品加工过程系统食品加工过程是将食品原料及半成品进行一系列化学和物理的处理，生产出预期的产品，并获得附加值的过程。系统是由相互联系、相互作用的若干组成部分结合而成的具有特定功能的总机体。按一定目的组织起来的食品单元过程所构成的食品生产过程整体称为食品加工过程系统。一个食品厂包括有好几套生产装置，投进一种

2、或几种原料，生产出多种产品、各套装置之间有物料相能量的联系.这整个食品厂就构成了一个系统；一套食品加工设备.用一定的原料生产出一定的产品，构成这套装置的所有设备也组成了一个食品加工系统。二、食品加工过程系统的性质食品加工过程系统是由物流、能流相信息流组合叠加而成的。具有如下性质：（一）阶层性和相对性食品加工过程系统是一个多阶层的综合系统，如图1 1所示。图中最高阶层是联合企业，它拥有若干个食品作为子系统，它接受一次原料，通过一系列子系统生产出多种产品。同时，联合企业拥有若干辅助设备，以协调和服务于各子系统，如公用工程（水、电、汽）设备、运输队、仓库等。各个食品厂之间有物料流和能量流的关系、一个

3、工厂的产品可以是另一个工厂的原料。生产装置则是由分离器、换热器、泵、风机、干燥器等单元设备作为其于系统。单元又可分为若干部件，但通常以单元设备作为基本单元以, - - e fa B 一联合企 一 后所述系统中均是以单元设备为基础的。备Mfr邸件IiX 能策 p关统统I统统I统 统统图1-】食品加工过程系统的阶层系统与子系统是相对的，某一系统对较高层的系统而言是其子系统，即是下级、但对较低层的系统而言,则是这些子系统的上级。（二）复杂性食品加工过程系统是一个庞大而又复杂的系统。主要表现为：系统的变量数很多、概述这些变量之间 关系的方程组庞大；变量之间相互交联强，且大多为非线性关系，为更好地了解过

4、程的复杂性，可以分析 一下基本单元的特性及各单元间连接关系 （即系统结构）的持性。.基本单元待性不同食品厂所组成的系统，其组成的单元为换热器、混合器、精微塔、吸附注、浸出器，有的还有反 应器。在这些基本单元中进行着热量、质量或动量的传递及化学反应过程。这些过程有可能同时发生，相 互关联。描述这些过程的数学棋型大多是非线性的，涉及的变量数很多。.过程系统结构特性系统结构是指组成系统的子系统间的连接方式，它和基本单元的特性一起决定了整个系统的待性。任何系统，其结构必为以下五种结构形式中的一种或几种组合而成。(27多地并联系统1匚_,一C1)多展中联赛就带有分支的系统(5)嫁合式系统(4)苒再系饶图

5、1-2过程聚统的结格很多复杂的过程系统，为了充分利用副产品，便成为多系列的具有分支的结构；又为了充分利用原料 及溶剂，系统中便含有再循环回路；另外，为了充分利用热能.整个系统各部分便组成了一个统一的热能 回收网络，通过该网络，系统各部分被紧密地联系起来，充分地体现了综合性的持点：过程系统的复杂性还在 r系统具有许多不确定因素，例如，原料组成的变化、换热器中传热系数的变 化及冷却水进口温度的变化等等。这些不确定的因素对系统的设计、操作管理等均有很大影响。(三)整体性食品加工过程系统虽然复杂，但是它是由许多于系统有机地构成的.是一个整体、它把预定的任务分 配给各子系统来完成。子系统必须在系统的约束

6、条件下进行自身优化，称为局部优化。而整个系统的优化 称为整体优化。整体员优时，其子系统必定最优，但子系统的局部最优的简单叠加不一定整体最优。第2节模型的概念和分类用来描述系统或单元的数学表达式称为模型。模型是一个系统或单元的近似表示。它本质上是一组数学方程.可以是一组代数方程，也可以是一组 微分方程或积分、差分方程，通过其各变量问的相互关系，可以在一定程度上表示系统或单元的特征。系统模型是对整个过程系统的数学描述，比如一整容食品加工过程装置。子系统模型是系统中各组成部分的数学描述。所谓组成部分，可以是一个车间、个工段或一个单元操 作设备乃至某个单元设备中的局部构造。数学描述是特系统或者系统中有

7、关的各部分变量(设计变量、操作变量、等)、系统或子系统的输入与输出之间的关系，用数学形式表达出来。因此，是由描述过程的数学方程组及其限制条件组成的，其构成 表本为图l 3。图3数学模型的构成求取数学模型中变量值的过程称为模型识别或模型化。二、模型的分类模型的分类有不同的标准，分类方法有以下四种：（一）机理模型、经验模型和混合模型机理模型从过程机理出发，经推导得到，并经实验验证而建立起来的描述过程的方程组的数学模型称为机理模 型。这种数学方程组有明确的物理意义，是实际过程本质的反映，且有较大范围的适用性，因而其结果可 以外推。2 经验模型由小试实验数据、中型或大型工业装置实测数据，通过数据回归分

8、析而得到的过程各参变量之间的函数关系式，称为经验模型。比如流体输送中所描述的Nu数与Re、Pr数之间关系方程:Nu=0.023Re0.8 - Pr0.3它描述了在湍流状态下传热过程各参数间的数学关系。经验模型与过程的机理无关， 它是根据实验中输入与输出各变量之间的关系，分析方法整理而得到的。上式即是通过因次分析，由实验数据关联得到的。实验条件的限制，经验模型的局限性很大，因为它只在实验范围内有效。3混合模型对实际过程进行抽象概括和合理简化，然后对简化的物理模型加以数学描述而得到的数学关系式称为 混合模型。混合模型是为了克服机理模型和经验模型的局限性而提出的。机理模型虽然对过程进行直接描述，但

9、由于过程方程复杂，且边界条件众多，要准确地描述一个过程，其方程组的求解很难进行。这种困难.使 机理模型在实际的过程处理中，用处极为有限。经验模型视过程为黑箱子”。经验公式没有什么物理意义，而且众多参变量之间的取舍都取决于个人对过程的理解.难免有失真的情况。在实际中，纯粹的经验 模型也不多，它只是针对简单过程而提出的。目前，在过程的数学模拟中，混合模型是应用得最广、也是最有实用价值的模型。混合模型的建立是 对过程的简化，避免使用过于复杂的数学求解过程。模型的主要特征是对客观过程的物理实质进行抽象、 概括和合理的简化。模型简化的目的是使建立的模型能够用现有的数学工具进行求解，或者说能比较简便 地求

10、解。然而，这种简化是建立在对客观过程确切理解的基础上，先对物理过程本身进行合理的抽象、概 括，再建立简化的物理模型。可见，混合模型方法的本质是首先进行物理上的简化，然后对这种简化加以 数学描述。（二）稳态模型与动态模型按时态本质划分可分为稳态模型与动态模型。.稳态模型过程对象的参数不随时间的变化而变化。这种模型目前应用较广.比较符合过程稳态操作的特点，从 数学上讲只涉及到代数方程组。本书所介绍的大部分过程均属于此类型。动态模型考虑过程对象的参数随时间的变化的关系，主要用到微分方程组。如间歇操作过程，开、停车过程及 有扰动操作过程。（三）集中参数摄型和分布参数模型.集中参数模型当过程参数在整个系

11、统中是均一时，称为集中参数。这样建立的模型中， 各参数数值与空间位置无关。数学上表现为代数方程组或常微分方程组。如搅拌釜中作用，釜内各点的温度、浓度、压力及组成可视为 均一o.分布参数模型过程参数在整个系统中变化，为空间位置的函数时，称为分布函数。数学上表现为偏微分方程式。如一 个吸收塔沿塔高变化，各点浓度也发生变化。（四）确定摄型和随机模型1确定模型每个参变量均对任意一组给定的条件取一个确定的值或一系列确定值时，称为确定模型。2.随机模型用来描述一些不确定性的随机过程，过程输入与输出关系的参变量取值无法淮确确定的模型，称为随 机模型。这时过程服从统计概率规律。三、模型的简化前已述及，数学模型

12、的持征是力求用简化的数学表达式来模拟实际过程的变量关系。其近似程度的关 键是简化的合理性。而合理性是相对的，同一过程，可以根据不同的简化程度建立从简到繁一系列的数学 模型，以适应不同的需要。也可对过程的不同侧面进行简化，建立具有不同特性的数学模型。简化应道循 以下四条原则。(1 )简化但不失真 一个模型基本反映过程实质是最重要的。造成失真的原因主要是对过程的实质理 解得不确切。模型本质上必须真实，或在某一条件下符合事实。恰当的简化可以认为它既可使复杂的过程 简化，又反映了过程基本的数量关系。一般来讲，模型不可能在很大范围内具有普遍性，只要求在有限的 意义和目的下与实际过程等效。(2)简化但能满

13、足应用要求模型经过简化.精确度受到影响，要求怎样的精确度，由模型的应用目的决定.(3)简化使之能用实验来检验和估计参数一般来讲，简化后的模型.要通过实验来检验其可靠性并估计其参数值。有时由于实际情况的限制.实验条件和测量技术都跟不上要求，要建立较精细的模型，往往 难以实现，因为既无法知道其可靠性，又无法确定模型参数的值。(4)简化使之能适应计算机计算能力过程模拟是通过计算机进行的，建立模型时，要兼顾到计算精度的要求和计算机的能力，要考虑到计算机的速度和容量。可见，在满足应用的前提下，要力求使模型简单。精细的模型可能更精确地反映了过程，但它复杂， 同时实验条件难以满足其参数确定的要求。在实际应用

14、中，应将模型化作为一种方法，自觉地、普遍地加 以运用。第三节模型的建立模型的建立可分为模型识别和参数估计两个方面。模型识别是指模型方程形式的确定，特别是当有多种形式可供选择的时候，还要从中选择出最能反映 实质的一种来。建立经验模型，靠回归实验数据来完成；建立混合模型，模型识别主要靠运用物料杨算、 热量衡算的基本关系及“三传一反”的基本规律，对有关理论进行理论分析，来找出能表达该过程特征的 关系。对混合模型来说，往往由于对有关过程的机理尚未完全理解，最初只能提出多种后可能的合理假设， 并推导出各种模型，从中识别出最好约一种来。通常也要依靠实验数据的帮助，才能作出合理的决择。死 是借助于实验数据时

15、均要十分注意实验范围的外推问题。图1-4建立数学模型的一般步骤（一）提出问题提出问题要抓住主要矛盾，抓得正确、恰当，这是最有决定意义的一步。（二）概括和简化过程实质基于对过程的确切理解，对过程物理实质进行概括和合理简化.得到物理模型，这一步决定模型的质量。（三）收集和整理基础数据基础数据包括物性数据、该单元操作的过程数据及成本核算数据。有的数据来源于资料，有的则要根 据数据的求算方法编程供计算时用。（四）建立数学模型要善于忽略次要影响、尽量减少变量和方程式数目，用一组简化的数学方程及其边界条件来描述主要 参变量之间的关系。对于一个过程，也许可找到不少已建好的模型。为判断哪一种更合适，有个“模型

16、认别”的问题。（五）选择合适的模型解法对一般的解法.大多可以从数学方法程序库中找到。特殊过程则编写合适程序求解。（六）求解模型并进行检验由于真实过程的复杂性和数学方法的限制，开始开发的数学模型往往是很不理想的。所作的简化是否 已足够准确地反映了过程的有关特性，可依据判别，如不理想，加以修正，直到得到理想的模型。模型参数个别可由机理导得，大部分需通过实验确定。实验确定分两类：一类使用现有实验技术独立确定，另一类难以或不能独立确定，要通过模型的总结果与实验数据相比较反推得到。如果一个模型的 参数太多，则模型的合理性将无法鉴别，其确定工作将难以进行，因为此时它与经验模型没有区别.而实 验数据可适应任

17、何模型。因此，建模时参数应尽量减少.特别是不能独立测定的参数。过程的数学模型与融学衰达式关摹模型典型数学妻达式参数类就状愁与变景代数方程集中拿铁无门变差分方程集中参状态改变量均碑敢差分翻外方建X(t)=集中多找状态数变及连续其中s为一细小于r的值常廉分方程it/i*常中参数.分布整数状态、变量均连舞偏谶分方程分而势数状毒、变量均建建枳分附分方卷分布善施Kj租分方程K集中毒数非定态 分布参数最简单的模型是代数方程式，没有导数，不考虑任何空间中或时间上的连续变化。其次是可以考虑连续变 化的一些方程式。常微分方程仅有一个自变量、只能处理或是单分布参数问题，或是集中参数的非稳态问 题，比如描述多级系统

18、中的有限变化的一维差分方程。员复杂的是有多个自变量的偏微分方程，过程中最 多有4个自变量（空间变量x, v、z及时间变量t）,对应的是多级系统中的多维差分方程。食品加工过程的优化过程的优化是工程中的一个核心内容。一个工厂的建设或对一个工厂进行评估，都离不开优化问题。一般地讲，优化问题有三个方面的内容：最优化设计，如在设计一个设备或工厂时总希望产品的成本最 低，效益最大；最优控制问题，如对现有设备或工厂.考察和调整其操作状态，使设备生产能力达到最 大；最优管理.如全厂各生产部门间的调节、调配，合理生产计划的组织，以使企业的利润最大。由此 可见，要使一台设备或一个工厂处于运转效率水平最高，就必须根

19、据原料及公用工程的供应，根据市场的 变化，及时对全厂作出最优决策。工程中，最优问题大多与经济效益相联系，常会遇到减少设备费与减少操作费之间的矛盾。一般情况 下，一个设备的设备投资费低.则其操作费用会大一些，如何在设备费和操作费之间进行平衡，在一定的 评判标准下，使总费用最小，这就是优化所要解决的问题。优化的目标是确定系统中各单元设备的结构参 数和操作参数，使系统的经济指标达到最优。许多面临选择的问题都属于优化问题。如连续操作与间歇操作的选择、流程设计的选择、操作条件、 设备材质、型式、结构尺寸等的选择。同时，设备工艺参数的确定也属于优化问题。为了应用数学知识求解过程的设计及操作问题.先要建立过

20、程的数学校型， 然后确定合适的优化目标，运用适当的工程判据。对于不同类型的过程（设计型，操作型），优化的目的也不一样，对设计型问题，优化是为了选择最合适的流程、装置，以达到最大利润、最小能耗、最大产量等经济目标；对操作型问题， 则是对现有设备及过程进行改善，来挖掘生产潜力等。对于过程系统，其优化求解分多层进行，在过程的各阶层也可进行优化。由于系统较复杂，要达到真正的优化比较困难；另外，某些单元过程的优化不等于全过程系统的优化，全过程系统的优化也不等f各单元过程优化的叠加。本章将针对不同类型的优化问题，介绍其数学优化方法，并介绍过程的优化方法。第一节 有关过程优化的基本问题一、优化问题的数学描述

21、不同的优化问题可以有相同的数学描述，只是内容的解释不同而已。最优化问题包括如下一些基本要 素:.目标函数一个最优化问题，将其要达到的最优目标写成数学形式的表达式称为目标函数，对于不同的问题，有 时也称目标函数为性能指标或评价函数，它描述的经济指标有利润、费用、能耗、单耗、产率等，具体地 讲，有以下几种：系统的原料利用率最高；系统的产量最大：系统的能耗最小；系统的操作费用最低；系统的经济效益最大；系统的稳定操作周期最长等等2决策变量决策变量是系统的参数中被选来进行调节以改进系统性能的变量。决策变量应尽量少，它应是那些有 较大调节余地的变量。3.因变量因变量是决策变量的函数，用来进一步描述系统的行

22、为或持性。这是系统中不能自由变化的那部分参 数，它们服从于代表系统性能的那些方程式。状态变量即是决策变量的因变量。4数学模型数学模型表现性能函数与决策变量之间的关系5不等式约束这种方程把解的区域限制在一定区域中进行，同时也减少了计算的工作量。6.等式约束这种方程可用来消去一部分决策变量，从而使问题降阶为低维的问题。n为决策变量的数目，s为等式约束的数目，则最优化问题有解的必要条件为：s0(3-3)由此，优化问题表达为：求出满足约束条件并使目标函数J达到最小时的决策变量U及相应状态变量X的值。由于状态变量X不是独立的，目标函数J只是决策变量U的函数。在以后的讨论需要说明的是：任何最大值问题对以很

23、方便池变为最小值问题：如:maxf(x ) = min-f(x)不论什么样的约束条件：，均可化为式(3 2)和(3-3)( X )匚0-4(X) 0*) 0 u(X ) - yMO如：a )常数 相当于 音启(X) 相当于以(X) W0相当干卷*)相当于、最优化问题的类型食品加工过程的最优化问题较多.研究、开发、设计方面食品加工过程单元、流程结构过程最佳参数的确定；系统的可行性分析、技术经济分析和决策的最优化设备及系统可靠性的最优设计； 厂址选择的最优化分析和决策。.过程运行、管理和控制力面系统节能、降耗、挖潜改造中的最优化分析及决策运行过程最佳操作参数的分析及确定，生产系统的最佳安排（原料分

24、配、人力调配，施工计划；生产系统经济效益和能耗的预测、分析及最优决策；挖掘、技改的投资分析及最优决策.下面举几个例子说明如何将这些问题用数学方程式来表达。现求得每年的生产费用 J与压力Xi、温度X2的函数关系为：八，二:I- HLs 一5二二一,、3n2Tl.在数学上，Xi、X2可任意取值，但在程中，对Xi、X2必须予以约束，最简单的约束为：即（1=1、2）此过程优化问题可表述为：tn in7 （60 10才15文？/jrf-3工，一2二】工？约束条件：与仇（ 二八2）例32J（生产计划最优化问题）莱食品加工厂同时生产 A、B两产品，它们需经过三种设备的加工， 其所需工时如下所示。设备 I、n

25、、出每天可使用的时间分别不超过12h、10h、8h 。产品A、B的利润随市场变化而波动，如果预测未来某时间内A、B利润分别为4干元/和6千元/ t,则应如何安排生产、使全厂的利润最大？有关数据如下：解:设每天生产产品 A Xit , B x 2t,则 总利润为：f（x） =4000 Xi,十 6000 x 2根据题意，可知Xi , X 2必须满足如下约束条件：3金 + 4i2设备每天工作时数1210 E故，最优化问题表述为:mi nJ = - （40001 + 6000 xa约束条件：3工1+4尽12+ 3孙1041rl + 2父28Hl20.工2）。二、最优化问题求解的一般步骤和方法1选择优

26、化方法的主要依据对某一持定的优化问题选择合适优化方法的主要依据为：目标函数的特性；约束条件的性质；决策变量和状态变量的数日。优化问题求解的一般步骤优化问题求解的一般步骤如下：由最优化的概念和意识，深入分析对象的特点、关系，来确定优化的目标 *根据对象的内在规律，选择和确定相应的变量，模型。 建立目标函数及约束条件的数学根据工程实际的需要及数学模型的状况，确定计算要求的精度和终止计算的准则，选择合适的优化 方法。根据数学模型和采用的最优化方法，求出满足约束条件下的最优目标函数值和相应的最优解。根据最优目标值和员优解，再用工程技术知识分析最优值和最优解的合理性、可行性，对解和目标 值进行相应的调整

27、。对某些大型和复杂问题，在可能条件下.还应进行一定的灵敏度分析。.优化问题求解的方法优化问题求解的方法称为优化方法。优化问题的性质不同，求解的方法也不同，优化方法按不同的标 准、可以分五类：(1)无约束最优化和有约束最优化问题按有无约束条件来划分，优化方法可分为无约束最优化和有约束最优化。无约束最优化 在寻找目标函数最小值时，对于决策变量没有任何附加约束条件，称为无约束优化， 它是最优化技术的基础。有约束最优化在决策变量受到直接或间接的变化范围限制时目标函数仅在可行域中有意义称为有约束最优化问题。约束条件又分为等式约束和不等式约束。(2)单变量最优化和多变量员优化 化。单变量最优化是最简单的优

28、化问题,(3)间接优化方法和直接优化方法按决策变量的数目多少分，可以分为单变量最优化和多变量员优 多变量最优化问题往往可以降维应用单变量的最优化问题来解决。按解算方法划分.最优化方法可分为直接优化方法和间接优化方 法。直接优化方法；又称数值计算方法,它不必用显函数关系表达式来表达目标函数，而利用一些已知点的数值和函数在菜一区域的性质，来确定下一步汁算的点，然后逐步搜索逼近最优点。间接优化方法：又称解析法，把一个最优化问题用数学方程式表达出来，然后求解析解，再根据可 行域内解的值及其物理意义确定最优解。(4)线性规划和非线性规划按照目标函数及约束条件的数学特点，可将最优化问题分为线性规划和非线件规划。线性规划：当目标函数及约束条件均为线性方程时，这类最优化问题称为线性规划。非线性规划：当目标函数及约束条件中至少有一个非线性方程时，称为非线性规划。大多数工程优 化问题属于这一类。(5)连续规划、整数规划及混台规2L 按照变量的性质不同，最优化问题可分为连