高考数学知识点汇编(考前必看)

1、高考数学易错知识点汇第一部分 集合与逻辑用语1.1集合中元素的三个特征：确定性，互异性，无序性. 1.2集合的有关性质：任何一个集合是它本身的子集,记为.空集是任何集合的子集,记为. 空集是任何非空集合的真子集. ,；. （在讨论的时候不要遗忘了的情况）. 元素的个数：. 含个元素的集合的子集个数为；真子集(非空子集)个数为；非空真子集个数为.1.3原命题: ；逆命题: ；否命题: ；逆否命题: ；互为逆否的两个命题是等价的.1.4若且,则是的充分非必要条件(或是的必要非充分条件).1.5常见结论的否定形式原结论否定原结论否定是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至

2、少有个至多有个小于不小于至多有个至少有个对所有,成立存在某,不成立或且对任何,不成立存在某,成立且或第二部分 函数、导数2.1映射:是： “一对一或多对一”的对应. 2.2函数: 是特殊的映射.特殊在定义域和值域都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.2.3函数的三要素：定义域、值域、对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先原则.2.4函数定义域:使函数有意义的自变量取值范围.如:分母;偶次根式被开方数非负;对数真数,底数且；零指数幂的底数；实际问题有意义；若定义域为,复合函数定义域由解出；若定义域为,则定义域相当于时的值域.2

3、.5求值域常用方法: 配方法(二次函数类)；分离常数法；换元法(特别注意新元的范围). 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域； 不等式法；单调性法；数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； 判别式法（慎用）：导数法(一般适用于高次多项式函数).2.6求函数解析式的常用方法：待定系数法(已知所求函数的类型)； 代换(配凑)法； 方程的思想-对已知等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。2.7函数的奇偶性和单调性 函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等； 若是偶函数,那么；定义域含零的奇函数必过原

4、点()； 判断函数奇偶性可用定义的等价形式：或； 注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应在确定定义域的前提下先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个(如定义域关于原点对称即可). 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； 确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和观察法(用于小题)等. 复合函数单调性由“同增异减”判定. （提醒：求单调区间时一定要先求定义域）2.8函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移-“左加右减”（对而言）；上下平移-“上加下减”(对而言).翻折变换：；. 对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称

5、点仍在图像上. 证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然.函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称； 若函数对时，或恒成立,则图像关 于直线对称； 若对时,恒成立,则图像关于直线对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)； 函数与的图像关于直线对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)； 函数与的图像关于原点成中心对称；函数, 的图像关于点对称；函数与函数的图像关于直线对称；曲线：,关于,的对称曲线的方程为(或；2.9导数的定义：在点处的导数记作.2.10常见函数的导数公式:(为常数)；.； ；.2.11导数的四则运算法则：；.2.1

6、2复合函数的导数：.2.13函数在点处的导数的几何意义是指：曲线在点处切线的斜率, 即曲线在点处的切线的斜率是,切线方程为.2.14函数在点处有导数,则的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.但函数的曲线在点处有切线,则在该点处不一定可导.如在有切线,但不可导.2.15导数的应用： (1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数；如果,那么为减函数；如果在某个区间内恒有,那么为常数； (2)求可导函数极值的步骤：求导数；求方程的根；检验在方程 根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得最大值；如果左负 右正,那么函数在这个根处取得最小值； (3)求

7、可导函数最大值与最小值的步骤：求在内的极值；将在各极值点的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.第三部分 数列3.1由求, 3.2等差数列(为常数) ；3.3等差数列的性质： ,； (反之不一定成立)；特别地,当时,有； 若、是等差数列,则(、是非零常数)是等差数列； 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 仍是等差数列； 等差数列,当项数为时,；项数为时,且；. 首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题,转化为解不等式 (或).也可用的二次函数关系来分析. 若,则；若,则； 若,则Sm+n=0；S3m=3(S2mSm)；.3.4等比数

8、列.3.5等比数列的性质 ；若、是等比数列，则、等也是等比数列； ；(反之不一定成立)；. 等比数列中(注：各项均不为0)仍是等比数列. 等比数列当项数为时,；项数为时,.3.6如果数列是等差数列,则数列(总有意义)是等比数列；如果数列是等比数列, 则数列是等差数列； 若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列； 如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项； 三个数成等差的设法：；三个数成等比的设法：.3

9、.7数列通项公式的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知(即)求用作差法：. 已知求用作商法：. 若求用迭加法. 已知,求用迭乘法. 已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：形如, (为常数)的递推数列可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后, 再求.形如的递推数列可以用 “取倒数法”求通项.3.8数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法.公式：； ；常见裂项公式； ； 常见放缩公式：.第四部分 三角函数4.1终边与终边相同；终边与终边共线；4.2弧长公式：；扇形面积公式：；弧度().4.3三角函数符号(“正号”

10、)规律记忆口诀：“一全二正弦,三切四余弦”.4.4三角函数同角关系中(八块图)：正、余弦三兄妹、”的关系.如等.4.5诱导公式可用奇变偶不变，符号看象限概括，公式中a为锐角.4.6角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：； 等；“”的变换：；4.7重要结论：其中；重要公式；.4.8正弦定理：； 余弦定理：； 三角形的内切圆半径；三角形面积公式：；射影定理：.4.9中,易得：,注意：三角形中正、余弦定理边角互化的方法.,. ,. 锐角中,类比得钝角结论.第五部分 平面向量5.1设,. (1)；(2) 若为非零向量，则.5.2平面向量基本定理：如

11、果和是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数、,使.5.3平面向量数量积的定义，其中是向量夹角，要求两向量有共同起点.其几何意义是等于的长度与在的方向上的投影的乘积；注: 为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.5.4平面向量数量积的坐标表示：若,则； 若,则，注意：.5.5向量夹角公式：设,则；5.6三点、共线与共线存在唯一的实数，使得存在实数、使得且.与共线的单位向量.5.7 不共线；同向或有；反向或有.5.8三角形中向量性质：是中边的中线； 为的重心； 为的垂心；为内心；所在直线过内心. 第六部分 不等式6.1掌握课本上的几个不等式性质:(1)对称性：a

12、bbb，bcac.(3)加法法则：abacbc.(4)乘法法则：ab，c0acbc. ab，c0acb，cdacbd.(6)同向同正可乘性：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)(8)开方法则：ab0eq r(n,a)eq r(n,b)(nN，n2)(9)若,则(真分数的性质)注意：若,则.不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变. 如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.6.2掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意 用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴

13、标根法,零点分区间法.*解带参数的一元二次不等式时应注意三个讨论点：（1）二次项系数带参与讨论大小；（2）因式分解后两根带参讨论大小；（3）判别式带参与讨论大小6.3基本不等式：若,则(当且仅当时取等号)运用基本不等式求最值的注意点：“一正二定三相等 ”；常用的技巧为：拆、凑、平方等；变形：,，(当且仅当时,取等号).6.4含绝对值不等式：同号或有；异号或有 .6.5证明不等式常用方法：比较法：作差比较：.注意：若两个正数作差有困难,可通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证需证,只需证； 反证法：正难则反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的

14、. 放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：；.将分子或分母放大(或缩小) 利用基本不等式,如：.利用常用结论： ； (程度大)； (程度小)； （6）最值法,如：,则恒成立.,则恒成立.6.6求解线性规划问题的步骤是：(1)根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域,写出目标函数(判断几何意义)；(3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解.第七部分 直线和圆的方程7.1直线的倾斜角的范围是；7.2直线的倾斜角与斜率的变化关系(如右图)：7.3直线方程五种形式：点斜式：已知直线过点斜率为，则直线 方程为,它不包括垂直于轴的直线.斜截式：已知直线在轴上的截距为 和斜率，则直线方程为,它不

15、包括垂直于轴的直线. 两点式：已知直线经过 、两点,则直线方程为,它不包括垂直于坐标轴的直线. 截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为,它不包括垂直于坐标 轴的直线和过原点的直线.一般式：任何直线均可写成(不同时为0)的形式. 提醒：截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.7.4直线与直线的位置关系： 平行(斜率)且(在轴上截距)； 相交；(3)垂直.7.5直线系方程：过两直线：,：.交点的直线系方程可设 为；与直线平行的直线系方程可设为 ；与直线垂直的直线系方程可设为.7.6距离公式：点到直线的距离公式； 两条平行线与的距离是.7.7设三角形三顶点,则重心；7.8圆的标准

16、方程：. 圆的一般方程：.圆心为,半径为 圆的参数方程：(为参数),其中圆心为,半径为.圆的参数方程主要应用是三角换元：. 以、为直径的圆的方程；7.9点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点代入圆方程.点在圆外； 点在圆内；点在圆上.7.10圆上一点的切线方程：点在圆上,则过点的切线方程为：； 过圆上一点切线方程为.7.11过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线.7.12直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.相离相切相交7.13圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两

17、圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为,两圆的半径分别为：两圆相离；两圆相外切； 两圆相交；两圆相内切； 两圆内含；两圆同心.7.14过圆：,：交点的圆(相交弦)系方程 为.时为两圆相交弦所在直线方程.7.15解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成 直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).第八部分 圆锥曲线方程8.1三个圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义：椭圆：；双曲线：；抛物线：，其中为点到准线的距离.8.2求圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程：待定系数法；定义法.注1：中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为(对于

18、椭圆)；注2：共渐近线的双曲线标准方程为(为参数,).8.3求动点的轨迹方程的常用方法：（1）直接法（列等式）；（2）定义法：利用圆锥曲线的定义；（3）代入法（相关点法或转移法）；（5）参数法；（求解轨迹方程要检验是否存在不符合要求的点）8.4椭圆、双曲线的通径(最短弦)为,焦准距为,抛物线的通径为,焦准距为； 双曲线的焦点到渐近线的距离为.8.5抛物线特有的性质：（1）对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化计算.（2）焦半径公式：设为抛物线上任意一点,为焦点,则；上任意一点,为焦点，则.（3）抛物线的焦点弦（过焦点的弦）为,、,则有如下结论： ；,； .8.6直线与圆锥曲线的关系：法一：直接法

19、（通法）联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注：直线斜率不存在考虑了吗？消元得是“”还是关于“”的一元二次方程？联立双曲线、抛物线时是否有注意二次项系数？判别式验证了吗？弦长公式：法二：点差法弦中点问题步骤：设点；作差得；8.7解析几何与向量综合的有关结论： 给出直线的方向向量或已知直线的斜率或； 给出与相交已知过的中点； 给出已知是的中点; 给出已知与的中点三点共线; 给出以下情形之一： ； 存在实数,使； 若存在实数, 且；使已知三点共线. (6)给出已知,即是直角,给出已知是钝角或反向共线,给出已知是锐角或同向共线. 给出已知是的平分线. 在平行四边形中,给出已知是菱形. 在平

20、行四边形中,给出已知是矩形. 在中,给出已知是的外心(三角形的外心是外接圆 的圆心,是三角形三边垂直平分线的交点). 在中,给出已知是的重心(三角形的重心是三角形 三条中线的交点). 在中,给出已知是的垂心(三角形的垂心 是三角形三条高的交点).第九部分 立体几何9.1空间位置关系的证明几何法（首选）与向量法直线与直线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；方向向量共线.直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行线面平行；方向向量与法向量垂直.平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行；法向量共线.直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直性质

21、定理；方向向量与法向量共线.平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理；法向量垂直.9.2求解空间角向量法（首选）与几何法异面直线所成角的求法：向量法：，其中为两直线的方向向量；几何法：平移直线，构造三角形.直线与平面所成的角的求法：向量法：，其中分别为直线的方向向量与平面法向量；几何法：求解直线与其射影所成的角，在直角三角形中求解.二面角的平面角的求法：向量法：，其中为两个半平面的法向量几何法：定义法；三垂线法；垂面法.9.3求点到平面的距离：找或作垂线段，求距离；等体积法；向量法：，其中为平面法向量，为平面斜线的方向向量.9.4角的范围：异面直线所成角；直线与平面所成

22、角；二面角和两向量的夹角；直线的倾斜角；到的角；与的夹角.注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.9.5长方体的体对角线的计算公式：，其中为长、宽、高.注：正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；9.6球的体积公式,表面积公式.第十部分 排列、组合、二项式定理10.1排列数公式:,当时为全排列.10.2组合数公式：,.10.3组合数性质：；.10.4排列组合主要解题方法：优先法：特殊元素优先或特殊位置优先；捆绑法(相邻问题)；插空法（不相邻问题）；间接扣除法；(对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件 的所有情况去掉）多排问题单排法;相同元素分组可采用隔板法（适用与指标分配，每部分

23、至 少有一个）；先选后排,先分再排(注意等分分组问题)；涂色问题(先分步考虑至某一步时再分 类).分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成组问题别忘除以.10.5常用性质：；即；10.6二项式定理： 掌握二项式展开式的通项：； 注意第r1项二项式系数与第r1项系数的区别.10.7二项式系数具有下列性质：与首末两端等距离的二项式系数相等；若为偶数,中间一项(第项)的二项式系数最大；若为奇数,中间两项(第和项)的二项式系数最大. ；.10.8二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和，如展开式的各项系数和为,奇数项系数和为,偶数项的系数和为.第十一部分 概率与统计11.1等可能事件的概率公式：古典概型； 互斥事件有一个发生的概率公式为：；相互独立事件同时发生的概率公式为；独立重复试验概率公式；如果事件与互斥，那么事件与、与及事件与也都是互斥事件；如果事件、相互独立，那么事件、至少有一个不发生的概率是；（7）如果