高三数学一轮复习必备精品推理与证明

1、第十五章推理与证明考纲导读（一）合情推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中 的作用。了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）直接证明与间接证明了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题高考导航.推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。.推理与证明与数列、几何、等有关内容

2、综合在一起的综合试题多。第1课时合情推理与演绎推理基础过关.推理一般包括合情推理和演绎推理；.合情推理包括 和;归纳推理：从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理；归纳 推理的思维过程是：、.类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或,这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过 程；三段论常用格式为： M是巳,S是P;其中是,它提供 了一个个一般性原理；是 ,它指出了一个个特殊对象；是 ,它根 据一般原理，对特殊情况作出的判断 .合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公

3、理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法； 在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新 意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论 的推理过程.典型例题 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document - 33 .33 .33 3 n 0 .933 3例 1.已知：sin 30 +sin 90 +sin 150 =一； sin 5 +sin 65 +sin 125 = HYPERLINK

4、 l bookmark12 o Current Document 2通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题： .一= - （ * ）并给出（* ）式的证明O2 TOC o 1-5 h z 22-23斛：一般形式：sin a +sin (a +60 ) +sin (a +120 )= 2证明：左边1 -cos2 二 1 一cos(2,二 120 ) 1 -cos(2工: 240 ) HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 2221.cos2： cos(2：120 ) cos(2：240 )21_3-1cos2：-2 2一 3.sin2a= 3=

5、右边2-cos2： -cos2： cos120 -sin2： sin120 cos2cos240 -sin2： sin240-1cos2： -sin2： -1cos2：22223(将一般形式与成sin (. -60v) sin .工sin (. 60 )= 一，2o3sin (a -240 ) +sin (a -120 ) +sin a =一等均正确。)2变式训练 1：设 f0(x) =cosx, f(x) = f0 (x) , f2(x) = f1 (x),|, fn+(x) = fn (x) , n N,贝U f 2008 (x)=解：cosx,由归纳推理可知其周期是 4例2.在平面上，我

6、们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2 -a2 b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 缄LMN如果用g,S2,S3表示三个侧面面积，s4表示截面面积，那么你类比得到的结上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,所以在空间中我们可以选取有 3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A BCD且AB=a, AC=, AD=c,222则此三棱锥的外接球的半径是 r=、a b c。2例3.请你把不等式“

7、若22 a1a2ai,a2是正实数，则有+ a?ai至a1 + a? ”推广到一般情形，并证明你的结论。答案:推广的结论:a1 ,a2,，an都是正数,22曳.邑a2a3am2ana1a2 an ai证明:,an都是正数a22a2 ai _ 2a2 ai2 an i - an2an A2an- ai- 2ananai2aia22冬a32anand2an _aiaia2an3_1C i 222I x 1一22n2n -i n2n2n i答案：C。解析：用n=2代入选项判断。变式训练3：观察式子：i+2_,i2 Mz，贝u可归纳出式子为22 222 32 322 32 42 412n -i例4.有

8、一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b “平面口，直线a,平面 ,直线b /平面口 ,则直线b /直线a”的结论显然是错误的, 这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误 C.推理形式错误D. 非以上错误答案：Ao解析：直线平行于平面，并不平行于平面内所有直线。变式训练4: “AC,BD是菱形ABCD勺对角线，二AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的 大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分 第2课时直接证明与间接证明基础过关.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法一一分析法和综合法综合法一一；分析法一

9、一；.间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明 方法；反证法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成 立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）典型例题例 1.若 a,b,c 土匀为实数，且 a =x2 _2y 十匹,b =y2 _2zS,c =z2 _2x 记。 236求证：a,b,c中至少有一个大于 0。答案：(用反证法)假设a，b，c都不大于0,即a 0,b 0，c 0, .,.a+b+c。，这与假设 a+b+c0 矛盾，故a，b，c中至少有一个大于 0。变式训练1:用反证法证明命题a，bWN，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个

10、能被 5整除。 那么假设的内容是答案：a，b中没有一个能被 5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2. 4ABC的三个内角A、R C成等差数列，求证：，+，=3一。a b b c a 一 b c答案：证明：要证，+3,即需证a+c+a+b+c=3。a b b c a - b - ca - bb c即证上+_a_ =1。a b b c又需证 c(b +c) 4a(a +b) =(a 4b)(b +c),需证 c2 +a2 =ac+b2ABC三个内角 A、B、C成等差数列。B=60 。由余弦定理，有 b2 =c2 +a2 -2cacos60即 b2 =c2 +a2 -ac。-

11、c2 +a2 =ac+b2成立，命题得证。 TOC o 1-5 h z 变式训练2:用分析法证明：若 a0,则；a2 T 7万2aU-2。 a2a答案：证明：要证a2 +-拒之a-2,a2a只需证 Ja2 +-1 -+2 a +1 +J2 o , a2a,a0,一.两边均大于零，因此只需证（ja2 +口+2）2至（a+1十收）2a2a只需证 a2+4 +4Ja2 +a2 +1（a2 起）， -a22 aa2 2a2即证a2-2 ,它显然成立。，原不等式成立。a例 3.已知数列 GnL an 20 , a1 =0 , an- +an+-1 =an2(n N ).一_111记 Sn =a +a2

12、+an Tn+-；+-1al(1 a1)(1 a2)(1 a1)(1 a2)(1 an)求证：当n w N钳，(1)an n-2；Tn 3o解：(1)证明：用数学归纳法证明.当n =1时，因为a2是方程x2 +x1=0的正根，所以a1 a2 . TOC o 1-5 h z 一 、一 . . .*假设当n = k(k n N )时，ak ak平，因为 ak1- ak - (ak 2 ak 2 _ 1) _(ak 1 ak 1- 1)= (ak 2- ak 1)(ak 2ak h1),所以ak书a2.即当n = k+1时，an c a书也成立.根据和，可知 an an+对任何nw N都成立.(2)

13、证明：由 ak；十 ak 书 一1 = a/, k=1,2j|,n-1 (n)2),得 a2 +(a2 +a3 +|加)一(n1) = a；.2因为 a1 =0,所以 Sn = n 1 an .由 an an+及 an+=1+a； -2anJ 1 得 a。n-2.(3)证明：由 ak，+ak由=1 + ak2 n 2ak,得w .(k =2,3,111, n -1 , n 3)1 ak 12ak所以Fa-(a 3),(1 a3)(1 a4)HI(1 an)2 a?于是二W 2- =%三(n 3)，(1 a2)(1 a3)川(1 an)2nJ(a| a2) 2nJ 2n-2 TOC o 1-5

14、h z 1故当 n3 时，Tn 1+1+1+义3,2又因为T1 ；T二t3,所以Tn 22 5 + 2 52,24 +54 23 5 + 2，53, TOC o 1-5 h z 5 一53一22一325 +552352+2253,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是1a*2.已知数列& 满足a1 = 2, an+ =n (nw N )，则a3的值为,1 - ana1a 3 III22007的值为3.已知f (x,1)=2 f (x)f(x) 2,f(1)=1 (xw N*),猜想f(x)的表达式为(A.4 f(x)=2x

15、2-2c.1B.f(x) = x+1； C.设:+1；D. f(x) =4.台某纺织厂的一个车间有技术工人(n W N冲)织布机，编号分别为mg ( m w N*)，编号分别为1、 2、 3、2.2x 1、m ,有 n1、2、3、ai j ：若第i名工人操作了第j号织布机，规定aai j则等式a41 +a42 +a43 +IIII +a4n =3的实际意义是(5.第4名工人操作了第3名工人操作了3台织布机;4台织布机;11.1已知 f ( n) =1 , 一-| -23n7.、第4名工人操作了、第3名工人操作了一一 3),计算得f(2)= 一,2n台织布机；n台织布机.一一 5f2, f(8)

16、W，f (16) 3 , f(32) 2 ,由此推测:当n22时，有.观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n至2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是Sn,按此规律推出：当n之2时，S与n的关系式4o-n =2 S =4n =3 S = 8n = 4 S = 12.观察下式：1=12, 2+3+4=3； 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72,，则可得出一般结 论： .函数f（x）由下表定义:x25314f(x)12345右 a0=5, an 书=f （an ） , n =0,1,2,| ,则 a2007 =-.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠

17、宝，第二件首饰是由6 颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形， 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4 所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝， 使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有 颗珠宝；则前n件首饰所 用珠宝总数为 颗.（结果用n表示）第1歹U第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123272510.将正奇数按下表排成 5列那么2003应该在第 行，第 列。.如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指

18、，3中指，4无名指，5小指，6无名指，.,一直数到2008时，对应的指头是（ 填指头的名称）.在数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,中，第 25 项为.观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n个图中有 个小正方形.14.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第瓷砖 块.（用含n的代数式表示）n个图案中需用黑色 .如图所示，面积为 S的平面凸四边形的第i条边的边长记为aMi=1,2,3,4),此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h(i=1,2,3,4 若电=至=% =包=卜， TOC o 1-5 h z 1234一42S .则.z (ihi )=2

19、2类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为 S(i =12,3,4), i4k此三棱锥内任一点 Q到第i个面的距离记为 Hid，2,3,4)若 MH十4则“ iHi = ( B )i 4a. 4yKB.3VC.2VD.hA,hB,hC , O到三边的距离依次为1a ,lb,lc,.设O是ABC内一点，U ABC三边上的高分别为hAhBhC,类比到空间，O是四面体ABCErt一点，四顶点到对面的距离分别为hA,hB,hC,hD , O到这四个面的距离依次为 la,lb,lc,ld ,则有111.在RtiABC中，两直角边分别为 a、b,设h为斜边上的电 则 ;=+二，由此类比: h a

20、b三棱锥S-ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为 a、b、c,设棱锥底 面ABC上的高为h ,则.18、若数列 右n是等差数列，对于bn =1 (a +a2十十an),则数列bj也是等差数列。类 n比上述性质，若数列 g 是各项都为正数的等比数列，对于 dn0,则dn=时，数列tn 也是等比数列。.已知 ABC三边a, b, c的长都是整数，且 a b 2)行首尾两数均为 n, 其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第n行(n2)中第2个数是 (用n表示)1 TOC o 1-5 h z 2243774511616III HYPERLINK l bookmark39 o Cur

21、rent Document 141152525166III IIIsin B sin C、，21.在 ABC中，sin A=,判断 ABC的形状并证明cosB cosC22.已知a、b、c是互不相等的非零实数.右用反证法证明二个万程 ax+2bx+c=0, bx+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设 . MBC中，已知3b =2j3asinB,且cosA = cosC ,求证：AABC为等边三角形。.如图，R(xi，yi)、P2(x2,y2)、Pn(xn,yn)(0y丫2yn)是曲线 C ：2y =3x(y之0)上的n个点，点A (a ,0) (i =1

22、,2,3n)在x轴的正半轴上，且AAAP是正三角形(4是坐标原点).(1)写出 a1、a2、a3 ；(2)求出点An (an ,0) (nW N*)的横坐标 为关于n的表达式并证明.推理与证明章节测试题答案1. an bn ambk akbm(a,b 0,m k=n,m,n,k N*)-1,32B.An 2n 1*f(2n) 一 (n N) 2n2 (n -2)2n (n -1) III (3n -2) = (2n -1)2,n N8.49. n(n 1)(4n-1)n. N*610.251,312.食指12.在数列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,中，第 25 项为

23、_7.13.n2 -3n 2214. 4n+815、B提示：平面面积法类比到空间体积法.1.提示：平面面积法类比到空间体积法1111=十 一十22. 22h a b c., - . * . 18、n；C| c2川gnN提不：等差数列类比到等比数列，算术平均数1bn = (a1n+*+an)类_.一 * .、f7T:*比到几何平均数dn=nq GlHqm N19.m(m 1)20.2_n -n 2221.解：sin Asin B sin CcosB cosC.sin AcosB sin AcosC = sin( A C) sin( B C) .sin C cos A sin B cos A = (sin C sin B) cos A = 0sin C sin B = 0, cos A = 0= A = 2所以三角形ABC是直角三角