高三数学专题二数形结合思想

1、专题二数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻 划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化， 使抽象思维和形象思维有机结合 .应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意 义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征一、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结.数形结合，数形转化常从以下几个方面：(1)集合的运算及文氏图(2)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象，导数的几

2、何意义(3)解析几何中方程的曲线(4)数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线、数式的结构特征或解析 几何方法等；.取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元 转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。(二)2008年高考预测.在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上， 把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是 选择、填空等小题。.从近三年全国高考卷来看，全国卷与其它省市卷相比，涉及数形结合的题目略少，预测2008年可能有所加强。因为对数

3、形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是 对学生思维品质和数学技能的考查，是考纲明确的一个命题方向。复习建议.加强对数学概念的复习，深刻理解定义以及数、式的几何意义，真正夯实双基；.加强作图能力的训练，解题先想图，以图助解题，养成数形结合的习惯；.注意知识间的联系、综合与交汇，提倡一题多问，一题多解，多题一解，培养发散思维和归纳概 括的习惯，重视数学思想方法在解综合题中的指导作用。二、考点回顾.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究 图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。“

4、数缺形时 少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识 的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法， 可以有效提升思维品质和数学技能。. “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相 结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为 用好数形结合思想打下坚实的知识基础。.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的

5、方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。.在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数 形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千 般好，数形分离万事休”。二、经典例题剖析2 2、(1 ) (2007 浙江)设 f (x)x , x 1g(x)是二次函数，若f(g(x)的值域是0,f ),则g(x)x, x 5,故选Do、5点评：本题考查椭圆的第二定义，考查数形结合和综合运用解析几何知识分析解题的能力。(07(6)(3)

6、下面给出的四个点中，到直线 x-y+1=0的距离为 ,且位于*十丫 10,表示的平面区域2x-y 1 0内的点是A . (1, 1)B. (1, 1)C. (1, 1)D, (1, 1)解析：由点到直线的距离公式及二元一次不等式组表示平面区域的几何意义即可求得，此题也可由排除法得到结论。(X +y-1 1 .解法2:由题意须/X 有解,-x = kx 11中k=-1时无斛，k#1时,x=1;k 11中k=1时无解，kw时，若x=，即k1.点评：解法2中，把方程解的讨论问题转化为两个函数图像交点的问题，利用 k的几何意义易得解,这是最常用的方法，较之法 1要简捷得多，体现了数形结合的优越性。A,

7、 B, C的个数(不同的顺序图33.设集全 AUbIJC =1,2,3,4,5,且 Ap|B=1,3,求有序集合组算不同的组)。解析：借助文氏图(图 3)可知，三个集合 A、B、C把全集U分成 八个部分，需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5三个数放到如图中 五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。按1、3是否属于C分四类：(1)1、3 皂 C; (2)1 C C 且 3 皂 C;(3)3 C C 且 1 正 C; (4)1 3 C共有53 X 4=50种。点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。4.解三角不等式组2_ 、 _4 cos x - 3 2

8、tan x -1 分析：利用三角函数的图像或三角函数线(如图期上的解再写出全部。4)求解，先求出一个周解答: .24cos x -3 一 一tan x -1 :二 3 jcosx之 或2tan x ：二 1cos x -jiji由图得解集为：x|k二- -x - k： 一(k Z)66点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简 捷、局效。5.已知xy0,并且4x 2 -9y 2 =36 .由此能否确定一个函数关系y=f(x) ?如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由.分析：4x 2 -9y 2 =36定是函数关系，函数中一个在解析

9、几何中表示双曲线白方程，反映了变量x、y之间的对应关系，但还不一xy0呢？画出图形(如图5)则一目了然。解：因为 4x2 9y2 =36 ,22皿yx故=-1-049解得x -3或x 之3,又xy0Y；0或箕0y =f(x)=4x2 -4 9(x 3)4x2 -4 9(x 0,y0)4卜面想要通过导数确定过第一象限点P(x0,y0) (0 xo1)切线的斜率，就要建立x与y的函数关系,结合图形(如图6)可知:y=2小x2 (0 x1,y2)6 .已知关于x的实系数二次方程 x2+ax+b=0有两个实数根 a , 8证明：(I )如果 I &2,3 那2,2 a 4+b且 b 4;y=x2+ax

10、+b的图像(如图 7)易(n )如果 2 | a 4+b且 b 4|B么 I &2,3 . 2分析：借助函数图像讨论方程的解是很直观有效的方法，由函数2, 3 U0证明：根据韦达定理 I b | = a 3 I. 4因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上，| a 2,3.0,即 4+2a+b0, 2a-(4+b);4-2a+b0, 2a4+b.-2 a 4+b(n )由 2 a 0即 22+2a+b0f(2)0 .及 4-2a+b0 即(-2)2+(-2)a+b0,f(-2)0 .由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根a ,物落在(-2,2

11、)之外，则与若a或3落在(-2,2)外,则由于1b|= “3 另47个根3或a必须落在(-2,2)内，则与、式矛盾.综上所述a ,掴落在(-2,2)内.点评：这是1993年全国高考题的压轴题，标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两根，再由已知求出的范围，再转化为a、b的关系，有一定的难度。但是利用数形结合，由二次函数的图象讨论实根分布问题，就容易多了，其压轴功能就大打了折扣。7.求函数y = x2 +1 x -a | +1的值域。分析：本题需要去绝对值化为分段函数，再按直线x=a相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效帮助解题。丘x2 x -a 1解：y = f (x)=x

12、 -x a 1/1、2 3(x ) a24(x-1)2 3 a24(x - a)(x :二 a)1(1)当a W时，如图2一 1、3y - f (-7)=二一a24_11(2)当a 时，如图10 2,13知，y _ f( ) = 一 a243综上所述：当a一一时，值域为-a,)4 11 2当一一 a时，值域为一+a,+b)24点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论。28. (2006 福建)已知函数 f(x) = x +8x, g(x) =6ln x+ m.(I)求f (x)在区间&,t+l上的最大值h(t);(II)是否存在实数 m,使得y = f(x)的图象与y = g(x)的图象有且只有

13、三个不同的交点？若存在,求出m的取值范围；若不存在，说明理由。分析：本题是利用导数方法讨论单调性、最值和方程的解的问题，这些都离不开函数的图象，要通过 画图或想着图一步步解答。解：(I) f(x) =-x2+8x = -(x-4)2+16.当t4时，(如图11) f (x)在&,t十1上单调递减,h(t) = f(t)=-12 8t当 t 4t+1,即 3 4t 4 时,h(t) = f (4) =16;当t +1 4,即t 3时，f (x)在k,t +1】上单调递增，h(t) = f(t 1) - -(t 1)2 8(t 1) - -t2 6t 7;2I2 6t 7,t 3, |综上，h(t

14、)=116,3 t 4(II)函数y=f(x)的图象与 y = g(x)的图象有且只有三个不同的交点(如图12),即函数欠x) = g(x) - f (x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。7 (x) = x2 -8x 6ln x m,26 2x2 -8x 6 2(x-1)(x-3)z C、(x) =2x -8 = =-(x 0),x xx当xw(0,1)时，於(x) 0汨(x)是增函数；当 xw(0,3)时，*(x) 0.二要使文x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即 7 :二 m 0, (*(x)最小值=m+6ln 3-150,所以存在实数 m ,使得函数y = f

15、 (x)与y = g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15 -6ln 3).点评：本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。三、强化训练(一) 选择题 TOC o 1-5 h z .设集合 A =|x|x-2 2,x R , B = y|y = -x2,-1xax恒成立，则实数 a的取值范围是（）22a,b R ,a2 2b25.33a 1= 6,则a+b的最小值是C. - 3-4x-4y-10 = 0上至少有三个不同点到直线l ：ax + by =0 的距

16、离为 2 J2 ,则直线l的倾斜角的取值范围是JT JI,12 4 一 , 一12 12C.冗0勺6. ( 2007 安徽)函数f (x) =3sin图象C关于直线11x= n对称;12函数f (x)在区间I 12 12 J内是增函数;由y =3sin 2x的图象向右平移 -个单位长度可以得到图象C .3以上三个论断中，正确论断的个数是（A. 07. （ 2007浙江）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是（C. 5A. 38 .（ 2005 辽宁）已知y = f （x）是定义在 R

17、上的单调函数，实数 # x2，九# 一1,+ x =x_,若 | f(xj f(x2)|f(。) f(P)|,则()A. 0 0C. 0 一：二 19 .（ 2006北京）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1,2）上的任意Xi,X2（Xi / X2）,| f （Xi） f（X2） 14 X2 Xi | 恒成立”的只有（）1（A） f（X）=（B） f（X）=|X|X（C） f（X）=2X（D） f（X）= X2. （ 2006辽宁）直线 y=2k与曲线9k2X2+y2=18k2 X （k w R,且k。0 ）的公共点的个数为（）（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4. （ 2007天津

18、）.在R上定义的函数f（X）是偶函数，且f（X）= f（2X）,若f （X）在区间1,2上是减函数，则f（X）（）A.在区间-2, -1上是增函数，在区间3,4上是增函数B.在区间-2,-1上是增函数，在区间3,4上是减函数C.在区间-2, -1上是减函数，在区间3,4上是增函数-2, -1上是减函数，在区间3,4上是减函数若FA FB TC交,12.（2007全国II） .设F为抛物线y2=4X的焦点，A, B, C为该抛物线上三点,FA +1FB| FC =A. 9C. 4（二） 填空题.若关于X的方程X2 -4|x|+5 = m有四个不相等的实根，则实数 m的取值范围为 一一一一 a a

19、 a,a 至b. （ 2006浙江）对a,b= R,记则maXa,b）=,则函数b,a bf （x ）=maX |x+1 , x -2|l（Xe R ）的最小值是. （ 2006湖北）关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0 ,给出下列四个命题：存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根其中假命题的个数是1.设奇函数f(x)的定义域为(-8, 0)U(0, +8)且在(0, +8)上单调递增，f(1) = 0,则不等式f x(x)2 m(x2 -1)对满足m E 2的所有m都成

20、立。求x的取值范围。2.求函数y=H二的最大值。2 x( 2006 春上海)设函数 f(x)= x2 4x5 .(1)在区间2, 6上画出函数f(x)的图像；(2)设集合A = x f (x) 5 , B=(吗-2U0, 4U6, +妙).试判断集合 A和B之间的关系,并给出证明;(3)当k 2时，求证：在区间已知 acos a +bsin a =c, acos 3 +bsin 3 =c(ab w0, a wkn, kC Z)求证:2 二c2 cos = -T72 a2 b25,已知二次函数y=f1 (x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2 (x)的图象与直线y=x两个交点

21、间的距离为8, f (x) =f1 (x) +f2 (x).(1)求函数f (x)的表达式;(2)证明：当a3时，关于x的方程f (x) =f (a)有三个实数解.6. ( 2006 浙江)设 f(x)=3ax 2+2bx+c,若 a+b+c=0, ,f(0) 0, f(1) 0,求证:a(I )a0且-2v a v-1 ; (n)万程f(x)=0在(0, 1)内有两个实根.(四)创新试题. 求函数u = T2t+4十6W的最值。.设函数f (x) = a x 2+8x+3 (a ,f x =!|x-21 x _21 x 二2，1如右图 fmin(x)=f J23 .设 u=x2-1,化原式为

22、：|u|2|u|=-k,画出函数y=|u|2-|u|的图象，看使u1的解的个数，可知假命题的个数为0。4.解析：由已知画出 y=f(x)的图象可知:当 xC(-1, 0) U (1 , +8)时 f(x)0当 xC (-8, -1)u (0, 1)时 f(x) -1-1 241616. .fx(x-1)V 0成立，则必有20vx(x-1) 1,解之得:21 - 174x0 或1 x21174解答题1 .解：原不等式化为(x2-1) m- (2x-1 ) 02x2-2x-1 v 0解之，x的取值范围为1 +*7 x0且2+xw0sin -I sin -i - 0- -1 x 1 ,故可设 x=c

23、os 0 , 。C0,兀,则有 y=可看作是动点cos 3 2 cos 二-(-2) X=cos0-0 , sin 0 ) ( 0 0,兀)与定点A (-2, 0)连线的斜率，而动点 M的轨迹万程,0 (j =sin 0M (cos0,兀,即 x2+y2=1 (yC0, 1是半圆。设切线为 AT, T为切点，|OT|=1 , |OA|二2k AT1,30kAM2,-4-1 ,又1MxM5,2当一1 E4K 1 ,即2 k W6时，取*=忙乂g(X)min =2 一k* 2 -20k 36k -10 2 -64 1.2216 (k -10) 64,二(k -10) -64 0 .D 当上人6时，

24、取x = 1 ,g(x)min = 2k 0 .2由、可知，当 k2 时，g(x)0, x-1, 5.因此，在区间1,5上，y =k(x+3)的图像位于函数 f(x)图像的上方.解法二：当 xw1, 5时，f (x) = x2 + 4x+5 .y =k(x 3), /日 2:2得 x2 +(k 4)x+(3k 5) =0 ,y - -x 4x 5,令=* 4)2 4(3k 5)=0 ,解得 卜=2或卜=18,在区间1, 5上，当k =2时，y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1, 8);当k = 18时,y =18(X +3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.如图可知，由于

25、直线y =k(x+3)过点( 3, 0),当k2时，直线y =k(x+ 3)是由直线y=2(x + 3)绕点(3,0)逆时针方向旋转得到.因此，在区间1,5上，y = k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.4 .分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明：在平面直角坐标系中，点 A (cos a ,sin a )与点B (cos 3 ,sin 3 )是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：| AB | 2=(cosc cos 3

26、 )2+(sin a sin 3 )2=2 - 2cos( a - 3 )又单位圆的圆心到直线l的距离d =，|c|.a2 b2一(一| AB | )一cos 2=d2 即2-2cos(：)I _ d2ca2 b2c2 . , 2 a b5 .分析用数形结合思想求 f (x) f (a) =0解的个数.=x2解 (1)由已知，设 f1 (x) =bx2,由 f1 (x) =1, 得 b=1 .f1 (x).k设f2 (x) =- (k0),则其图象与直线 y=x的交点分别为 A (k, k) , B ( k, k),由|AB|=8 ,x1. f2(x) = 8 ,故 f (x)X(2)由 f (x) =f (a),即 8 = x2+a2+8.=x2+8. X得 x2+ 8 =a2+ 8 , x ax2+a2+目的大致图象(如图所示)，其中 af2(X)的图在同一坐标系内作出f2 (x) =8和f3 (x)=Xf3下的抛物线.f2(X)与f3(X)的图象在第三象限有一个交点,象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线,(x)的图象是以(0, a2+8)为顶点，开口向 a即 f (x) =f (a)有一个负数解.又 f2 (2) =4 , f3 (2) = 4+a 2H,当 a3 时, a2, f3 (2)在f2 (x)图象的上方.f (x) =f (a)有两个正数解.f3