高三数学章末综合测试题平面向量、数系的扩充与复数的引入

1、2013 届高三数学章末综合测试题（6）平面向量、数系的扩充与复数的引入、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）已知向量 a, b且AB = a+2b, BC =-5a + 6b, CD = 7a-2b,则一定共线的三点是（A.A, B,B.B,C.B, C,D.C,解析A 由题意 BD=2a+4b=2AEA,B, D共线.2.设P是 ABC所在平面内的一点,BC + BX = 2前则()A.B. PC+ PA = 0C.PB+PC=0.D. PA+PB + PC = 0解析 B 因为BC + BA = 2BP),所以点P为线段AC

2、的中点，故选 B.已知O是 AB叫在平面内一点,D为BC边中点，且2OA施OC= 0,那么（）A.A0= OD B.A0= 2ODC.A0= 3OD D . 2AO= OD解析 A由2OAf OB OC= 0可知，O是底边BC上的中线 AD的中点，故AO= OdA.a= (1,2) , b=( -2, 4) , | c| 二乖.若(a+b) - c = 5,则 a 与 c 的夹角解析C a+b=( 1, 2) = a,所以a与c的夹角即a+b与c的夹角的补角.5、宜a+b , c 55兀 D.61,兀设 a + b 与 c 的夹角为 0 ,则 cos 0 =-;=f=；= = ,故 0 =,|

3、a + b|c| 也x 巡 23一右、，2兀 夹角为工-.35.已知代一3,0） , B（0,2） , O为坐标原点，点 C在/AO咕，且/ AOC= 45。，设OC=入OAv Ob入e r）,则入的值为（1A . 1 B. 3 C.122 D. 3解析 A如图，过C作CHx轴于点E,则 | OEf=|CEf = 2,所以 Oc=OOb=入 O/vOb 即 Ot 入 OA 所以( 2,0)=入(3,0),故入=2.故选A.36. （2011 湖南十二校联考）平面上有四个互异的点 a b、c D,满足（AB-BC -（AD-CD=0,则三角形ABC是（.直角三角形B.等腰三角形.等腰直角三角形D

4、.等边三角形解析b (Afe-BC) (Ab-CD = (Afe-BC (超前=(Ab-Bc)- AC= ( Ab-的（曲的 = |AB|2|的2=0,故|AB = |BC,即abb等腰三角形.（2011 杭州月考）已知定义在复数上的函数f （x）满足f（x）=J：.、一 ix R,x,x?R,f (1 + i)=(0 C解析 C (I +i) ?R, . f(1 +i) =(1 i)(1 +i)=1 i 2=2.8.如图所示，非零向量OA = a, oB=b,且 BCLOA C为垂足，若oC =入a(入w0),则入=（A.a - bB.|a|b|C.D |a|b|.a - b解析bCOA,即

5、 bCoC? (OC-OB) - oC=0? |oC|2-oB - oC = 0,即入2| a|2入a b = 0,解得 入= 2.|a|a 1 i（2011 济南一模）设a是实数，且1a-2-是实数，则a=（） TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark52 o Current Document -A. 2 B .1 C . 1 D . 2解析 B 因为丁十 二- = 十二=考一学i是实数，所以 a=- 1. 1 + I 22222.已知点A（ 2,0）、B（3,0）,动点P（x, y）满足pA pB=x：则点P的轨迹是（）A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .

6、抛物线解析 D -. PA=(-2-x, -y) , P=(3-x, -y), PA - P = x： ( -2-x)(3 x) + y2=x2,化简得 y2=x+6.已知向量a = （1,1） , 2a+b= （4,2）,则向量a, b的夹角为（）A.解析由 a= (1,1 ) , 2a+b=(4,2),得 b= (4,2) -2(1,1) =(2,0).设向量 a,b的夹角为 a 220,则cos 而厂=勾2= 2 兀e=y. （2011 宝土氐质量调查）已知点A, B, C在圆x2+y2=1上，满足2OAAB+AC=0（其中O为坐标原点），又| AB| = | OA ,则向量BA&向量反

7、方向上的投影为（1_1A . 1 B. 1 C. 2 D 2解析 c 由 2OAAfe+AC(Oaf岫+(OAfAC = O拼Oc= 0,得Ob=Oc即q b, C三点共线.又|AB = |Oa=1,故向量BM向量 西向上的投影为IBAcOS T-= 2.32二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上 ）.设向量 a与 b 的夹角为 0 , a=(3,3) , 2b-a=(-1,1),则 cos 0 =解析 .2= (3,3) , 2b-a=(-1,1) , .-=(1,2),acos 0 =.|a|b|3 ：11010 .咯案】花.如果复数Z=甘（冲的实部和虚部互

8、为相反数，则b的值等于解析 z =2-bi 1-i 2-b 2+ bUi 1-i2-b 2+bI ,由2-=2-，得 b=0.【答案】15. (2011 宣城调研)已知i是虚数单位，复数 z满足不3=2i ,则z =解析由题意得，“白t一1 316.对于n个向量as 32,，an,若存在n个不全为零的实数 k1, k2,，kn,使得，an是线性相关的.按此规定，能使向量k1a1 + k2a2+ kn3n=0 成乂,则称向量 a1，32,31 = (1,0) , a=(1 , 1), a3= (2,2)是线性相关的实数k1, k2, k3的值依次为(只需写出一组值即可).解析根据线性相关的定义，

9、k2+2k3 = 0,得 k1(1,0) +k2(1 , 1) + k3(2,2) =0? ”k2+2k3=0,令 k3=1,则 k2=2, k1 = - 4, kb k2, k3的一组值为一4,2,1.【答案】-4,2,1三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)如图，在任意四边形 ABC由，E为AD的中点，F为BC的中点，证明：解析 因为F为BC的中点，所以BF+ CF= 0,连接 AF DF,则有 AB+ DC= Ab+ DO BF+ CF=AB+ Bf+ Dc Cf= Af+ DF 而Af= Ae+Ef Df=招 Ef,又E为AD的

10、中点，所以A& DE= 0.所以 Af+ Df= Ae+ Ef+ DeEf= 2EF,所以 AB+ Db= 2ef18. (12分)计算下列各式的值:解析(1)(2)2+4i；4i 1 2UT2=4= 2i.2i2 + 4i 2 + 4i(2)1 + i2 =2i =2 i.+ i 3 =次+ i 3= i i = 0.2D是CB的中点，E是AB上一点，且19. (12 分)已知 AB8, / C是直角，GA CB,AE= 2EB 求证：ADL CE解析建立如图所示的直角坐标系,设 A(a,0),则 R0, a), E(x, y).D是 BC的中点， D& a；即(xa, y) = 2( -x

11、, a-y),x- a= 2x, -|y=2a2y,ax = 3.I y = |a.3. Ab= Jo, a 卜(a,0) = j-a,.AEZLCE,即 ADL CEa 2 a _ .AD, CE= ax -+ -ax - = 0.3 3220. (12 分)已知点 A(2,0)、R0,2)、C(cos a,sin a), O为坐标原点，且 0Voe v(i)若|oA+oC| =,求oB与oC的夹角;(2)若 aC BC,求 tan a 的值.解析 (1)由已知可得OA = (2,0),1a =1,OC = (cos a , sin a ),且 I OA + OCI =17,72 + cos

12、 a2+ sin 2 & =，7,化简得 cos0V a Tt , sin a又. oB = (0,2) , cos加 oC .3|0B| OC|兀,. oB, oc(2) AC = (cos a 2, sin a ) , B= (cos a ,sin由 AC，BC,得(cos a 2, sin a ) (cos a即(cos a 2)cos a + sin a (sina 2) = 0,化简得,sin a + COS a12sin 2 a+ cos2 a + 2sina COS2Sin a+ cos2 a + 2sin sin a +COS ac COS14即 3tan 2 a +8tan

13、a +3 = 0,4 7解得 tan a =一一33由得，Sin a COS a =8LT兀.0 且 0V a Tt ,- |COS a | , tan a4+y7321. (12分)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆x2+y212x+32=0的圆心为 Q过点R0,2)且斜率为k的直线与圆 Q相交于不同的两点A B(1)求k的取值范围;(2)是否存在常数k,使得向量 oA+oB与pQ共线？如果存在，求出 k的值；如果不存在，请说明理由.解析 (1)圆的方程可写成(x 6)2+y2=4,所以圆心为 Q6,0),过R0,2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2,代入圆的方程得2,一、 2 一 _x + (kx + 2) -12x + 32=0,整理，得(1 + k2)x2 + 4(k-3)x+36=0.直线与圆交于两个不同的点 A B等价于222A