高三数学高考考点解析平二面角与距离的题型与解法全国通用

1、二面角与距离高考考纲透析：熟练掌握求二面角的大小，空间距离的求法 局考热点：求二面角每年必考，作为解答题可能性最大，空间距离则主要是求点到面的距离 知识整合：.二面角的平面角的作法：定义三垂线定义垂面法.点到平面的距离求法有：体积法直接法，找出点在平面内的射影，可转化为平行.转化思想：例如求一个平面的一条平行线上一点到这个平面的距离较难时 线上其他的点到这个平面的距离热点题型1求点到平面的距离如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AECiF所截面而得到的，其中AB=4 ,BC=2, CCi=3 , BE=1.(I )求BF的长；(n )求点C到平面AECiF的距离.C1解法 1:

2、(I)过 E 作 EH/BC 交 CCi 于 H,贝 U CH=BE=1 , EH/AD ,且 EH=AD.又. AF/EC1,FAD= ZC1EH. RtAADFRtAEHC1.DF=C1H=2.BF = BD2 DF2 =2 6.(n )延长 C1E与CB交于G,连AG ,则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM AG ,垂足为M ,连CM , 由三垂线定理可知 AGgM.由于AG,面CMC,且AGU 面 AEC1F,所以平面 AEC1FXW C1MC.在 RtAC1CM 中， 作CQ，MC1，垂足为Q,则CQ的长即为C到平面 人55的 距离.FAA“ 一-一QD E5M GC

3、1HC由里=BG 可得,BG =1,从而 AG =$AB2 +BG2 =,17. CC1 CG412由/GAB =/MCG 知,CM =3cosMCG = 3cosGAB = 3 x, 17,1712CM CC1CQ 二MC132 . 1221117解法2: (I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D (0, 0, 0), B (2, 4, 0), A (2, 0, 0) , C (0, 4, 0), E (2, 4, 1), C1 (0, 4, 3).设 F (0, 0, z).AEC1F为平行四边形，二由AEC1F为平行四边形z：C1二由 AF =EC得,(2,0,z) =(2,0,2),

4、.z =2.F (0,0,2).EF =(一2,4,2).于是| BF |= 2而,即BF的长为2、,6.e/cy/B(II)设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF ,故可设n1 =(x, y,1).ni AE=0#ni AF =0, ,bxx+4My+1=012Mx+0 xy+2 =0即,4y +1 = 0,-2x +2=0,x f1 y-4又CC1 =(0,0,3)，设CC1与n1的夹角为a,则 TOC o 1-5 h z CC1 n134 .33cos-=ICC1| mi 31. 1133164.334,33. C 到平面 AEC 1F 的距离为 d =| CC1 I

5、 cosa = 3 父=3311热点题型2定义法作二面角的平面角已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形， AB/DC, / DAB = 90：PA _L底面ABCD ,且PA=AD=DC= -AB=1 , M 是 PB 的中点.(I )证明：面 PAD，面PCD;(n)求AC与PB所成的角；(m)求面 AMC与面BMC所成二面角的大小18.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分12分.方案一：(I)证明： PAXW ABCD , CDXAD ,由三垂线定理得： CD PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线 A

6、D , PD都垂直,.CD,面 PAD.又 CD U面 PCD, ,面 PADXW PCD.(II)解：过点 B 作 BE/CA ,且 BE=CA , 则/ PBE是AC与PB所成的角.连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE= 41 ,又 AB=2 ,所以四边形 ACBE为正方形.由PAX面ABCD得/ PEB=90BE cos - PBE =PBJ. AC与PB所成的角为10 arccos.5在 RtA PEB 中 BE= V2 , PB= 5 ,垂足为N,连结BN.,又 AC=CB,(m)解：作 AN CM , 在 RtPAB 中，AM=MB .AMC BMC, .BN CM ,故/ A

7、NB为所求二面角的平面角. CBXAC ,由三垂线定理，得 CBXPC, 在 RtAPCB 中，CM=MB ,所以 CM=AM.在等腰三角形 AMC中，AN MC= JCM 2 (2C)2 AC ,2V 2 6AN -,52_2_ 2c AN BN - ABAB=2 , . COSZANB =故所求的二面角为,2、 arccos(- ).AN BN方法二：因为 PAXPD, PAXAB , AD XAB ,以A为坐标原点 AD长为单位长度，如图建 立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0, 0, 0) B (0, 2, 0), C (1, 1, 0), D (1, 0, 0), P (0, 0,

8、 1), M (0, 1,-).2(I)证明：因 Ap =(0,0,1),dC =(0,1,0)，故Ap DC =0,所以AP_LDC.又由题设知 AD，DC,且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线， 由此得DC，面PAD.又DC在面PCD上，故面 PADXW PCD.(n)解：因 AC =(1,1,0),PB =(0,2,-1), 故 | AC|=、2| 而|=V5,AC 而=2,所以 TOC o 1-5 h z AC PB .10 cos : AC, PB =.由此得AC与PB所成的角为arccos.5| AC | | PB |5(出)解：在 MC上取一点N (x, y, z),则存在

9、九w R,使NC =九MC,.11NC -(1 -x,1 -y,-z), MC -(1,0,1.x=1 ，y=1,z22一一一一_14要使AN _LMC,只需AN MC = 0即x z = 0,解得九=.25412可知当九=4时，N点坐标为(1,1,2)，能使AN WC=0.55 51 2-12此时，AN =( ,1, ),BN=( ,-1,)，有 BN MC =05 555由AN MC =0,BN MC =0得AN，MC, BN，MC.所以/ANB为所求二面角的平面 角.一一 .30 T .30 - T 4|AN| =，|BN|=,AN BN .555cos(AN,BN)= 倒 BN =-.

10、|AN | | BN |32 故所求的一面角为arccos(- ).热点题型3三垂线定理或逆定理作二面角的平面角 如图1,已知ABCD是上.下底边长分别为2和6,高为J3的等腰梯形，将它沿对称轴 OOi 折成直二面角，如图 2.(I )证明：ACXBOi；(n)求二面角 O AC 01的大小.D0A O 图1解法一(I)证明 由题设知 OAOOi, OB OO1.所以/ AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OALOB.故可以O为原点，OA、OB、OOi 所在直线分别为 X轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图3,则相关各点的坐标是 A (3, 0, 0), B (0, 3, 0), C (

11、0, 1, ,I n | | BOi |4所以 cos - =cos : n , BO1 =3即二面角 OACOi的大小arccos.4热点题型4二面角与探索问题如图，在长方体 ABCD ABiCiDi,中，AD=AA 1=1, AB=2，点E在AB上移动.(1)证明：DiEAiD;(2)当E为AB的中点时，求点 E到面ACDi的距离；(3) AE等于何值时，二面角 Di-EC-D的大小为:.AiBCDBEDiCi解法(一)(i)证明：: AEL平面 AAiDDi, AiDXADi, 1- AiDXDiE(2)设点 E 到面 ACDi 的距离为 h,在 ACDi 中，AC=CDi=J5, AD

12、i=J2,-=,而S&ce AE BC =2222- V D1 -AEC1c cc 1c-=一 S aec DDi = S ad1c h,3313,11 二一 h,. h =223(3)过 D 作 DHCE 于 H,连 DiH、DE,则 DiHXCE, 丁./DHDi为二面角 D1一 EC D的平面角.设 AE=x,贝U BE=2 -x在RtDQH 中” /DHD1JI-,.DH =1.4丁在RtAADE 中，DE = di+x2，,在RtDHE 中，EH = x,在 RtDHC 中 CH =瓜在 RMCBE 中 CE = Jx2 4x + 5. x13 = . x2 -4x 5 = x =

13、2 - . 3.B1AilDCBCiHE- AE =2 -1 二面角 D1 - EC解法(二)：以D为坐标原点，直线 标系，设 AE=x，则 Ai (1, 0, 1), 2, 0)-D的大小为.4DA, DC, DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐Di (0, 0, 1), E (1, x, 0), A (1 , 0, 0) C (0,(i)因为DAi，DiE = (1,0,1),(1,x,1)=0,所以 DAi 1 DiE.(2)因为E为AB的中点，则E (1, 1, 0),从而 DE =(1,1,-1), AC =(-1,2,0),AD1 =(1,0,1),设平面acd1的法向量为n = (a,b,c),nt n AC =0,n AD1 =0,a+2b =0 a = 2b -也即，得 ，从而n = (2,1,2),所以点E到平面AD 1C的距离为a+c=0 a=c TOC o 1-5 h z 一 | D1E n |2 1-21h =：=一|n|33(3)设平面 D1EC 的法向量 n =(a,b,c) , CE =(1,x2,0), D1C